Ошибка первого рода

Эта вероятность тем меньше, чем выше уровень значимости, так как при этом увеличивается число отвергаемых гипотез. Одну и ту же статистическую гипотезу можно исследовать при помощи различных критериев значимости. Если вероятность ошибки второго рода равна а, то 1—а называют мощностью критерия. На рис. 17 приведены две кривые плотности вероятности случайной величины О, соответствующие двум конкурирующим гипотезам Н (а) и Н б). Если из опыта получается значение О>0 ь отвергается гипотеза Н и принимается альтернативная гипотеза Н, и наоборот, если О<0р. Площадь под кривой плотности вероятности, соответствующей справедливости гипотезы Н вправо от 0р, равна уровню значимости р, т. е. вероятности ошибки первого рода. Площадь под кривой вероятности, соответствующей справедливости Н влево от Пр, равна вероятности ошибки второго рода а, а вправо от ир — мощности критерия. Таким образом, чем больше р, тем больше 1—а. Для проверки гипотезы стремятся из всех возможных критериев вы-.бра ъ тот, у которого при заданном уровне значимости меньше [c.39]

Как отмечено выше, для ошибки первого рода нужно, чтобы А, < х < Аз, и, кроме того, х , > А, - X или х , < А, - X. Следовательно, в соответствии с формулой полной вероятности вероятность этого события равна [c.211]

Критическое значение коэффициента ранговой корреляции определяет вероятность у ошибки первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу о лучшем варианте, когда она верна). [c.154]

Ошибка первого рода состоит в отклонении нуль-гипотезы, когда она верна. Ее вероятность равна уровню значимости а. Вероятность правильного принятия нуль-гипотезы равна 1 — а. [c.436]

Аналогично, принятие гипотезы Но, когда она неверна (или отклонение Нх, когда она верна), называется ошибкой второго рода. Ее вероятность (/3) равна площади заштрихованного участка на рис. 12.1-10. Обратите внимание, что с уменьшением а вероятность ошибки первого рода уменьшается, а второго рода — возрастает. Вероятность ошибки второго рода /3 зависит также от разности Т и То чем она больше, тем /3 меньше. При Т = То величина /3 достигает максимального значения, равного 1 — а. Рис. 12.2-11 иллюстрирует возможные варианты принятия-отклонения гипотезы Но (Н1). Во избежание недоразумения следует подчеркнуть, что для любого статистического теста уровень значимости а (например, 5%) характеризует вероятность (1 — а в данном случае 95%) принятия нуль-гипотезы лишь в тех случаях, когда она действительно верна. В общем случае принятие нуль-гипотезы не означает, что ее вероятность равна 1 — а (95%, в нашем примере). [c.438]

Отсюда видно, что в зависимости от выбранного уровня значимости можно прийти к различным выводам гипотеза Но была отвергнута в первом случае и принята во втором. Заметьте, однако, что оба этих вывода справедливы В действительности, конечно, утверждение производителя (Но) либо верно, либо нет, но, к сожалению, истинное положение дел нам неизвестно (в противном случае прибегать к статистическим тестам не было бы необходимости). Таким образом, мы можем лишь обсуждать вероятность отклонения Но в случаях, когда она верна или неверна. При а = 0,05 Но была отвергнута. Следовательно, если Но на самом деле верна, существует 5%-ная вероятность ошибки первого рода если же Но неверна, то сделанное нами заключение было правильным. При а = 0,01 Но была принята. В этом случае мы не можем совершить ошибку первого рода, однако если в действительности Но неверна, мы совершаем ошибку второго рода. Вероятность этой ошибки Р(П) мы оценить не можем, поскольку значение генерального среднего неизвестно (в противном случае, опять же, необходимость в проведении теста отпала бы). Очевидно, что с увеличением а вероятность ошибки первого рода Р(1) уменьшается, поскольку диапазон допустимых значений выборочного среднего расширяется. При этом соответственно возрастает вероятность ошибки второго рода (при уменьшении а возрастает 0). Таким образом, при выборе уровня значимости необходимо руководствоваться ценой ошибки первого рода (см. также следующий пример). [c.440]

Что такое статистический тест для проверки гипотезы, как он осуществляется Объясните значения терминов уровень значимости, нуль- и альтернативная гипотезы, ошибка первого рода, ошибка второго рода, мощность теста. [c.457]

На выработку решений оказывают влияние две основные особенности, присущие человеку. Первая характерна для ис-следователя-оптимиста, вторая —для пессимиста, обладающего более критическим складом ума. Оптимист склонен к принятию рискованных решений он может отвергнуть правильную гипотезу (Но, нулевую гипотезу) и принять альтернативную, более-обещающую, но неверную. Такой ошибочный отказ от правильной нулевой гипотезы Но называется ошибкой первого рода (ошибкой I). Чрезмерно оптимистичный исследователь скорее всего попытается свести риск к минимуму, ошибочно отвергая правильную нулевую гипотезу и принимая без достаточных на то оснований некорректную альтернативную нулевую гипотезу. Необоснованное принятие некорректной нулевой гипотезы называется ошибкой второго рода (ошибкой П). Пессимист поступил бы обратным образом он попытался бы свести к минимуму риск от ошибки I и пошел бы на больший риск в отношении ошибки П. [c.29]

Для принятия решения можно использовать критический уровень Le, который определяется через максимально допустимое значение для ошибки первого рода а и стандартное отклонение UQ чистого отклика у при условии равенства нулю предельного среднего чистого отклика (ys=0) (на этой стадии обсуждения наличие систематических погрешностей исключается). Математически критический уровень выражается уравнением [c.45]

Пусть, например, гипотеза, которая подлежит испытанию, состоит в том, что с изменением некоторого процесса выход продукта не увеличивается. Тогда, принимая, что выход увеличивается, когда в действительности этого нет, мы совершаем ошибку первого рода, но утверждение, что выход не увеличивается, когда фактически имеет место обратное явление, приводит к ошибке второго рода. [c.660]

С ростом числа промежуточных средних одновременно возрастает и риск появления ошибки первого рода (см. разд. 7.1, а также табл. 8.1). Поэтому бывает целесообразно отказаться от обычных представлений, найти фактический уровень значимости и обсудить его. Для попарной проверки средних в литературе иногда применяется расширенная форма -критерия [уравнение (7.7)]. При этом множественном критерии качество проверки снижается гораздо быстрее, чем при критерии Дункана. Поэтому для попарного сравнения средних при т > 2 множественный 1-критерий не рекомендуется [c.147]

Каждому статистическому критерию соответствует критическая область 3(ф), статистическая характеристика чаще всего в виде достаточной статистики Т(х), допустимая ошибка первого рода а и альтернативная гипотеза. [c.15]

Из нескольких критериев с фиксированным объемом выборки, обеспечивающих заданные ошибки первого рода а, считают лучшими те, которые имеют наименьшую величину ошибок второго рода /3, а следовательно, наименьшую величину вероятности Ш ф) отвержения основной гипотезы, когда в действительности верна альтернативная гипотеза. Величина Щ(ф) называется мощностью критерия. [c.16]

Статистический критерий для проверки простой гипотезы /iq относительно простой альтернативы hi называется наиболее мощным, если при данном объеме выборки и заданной ошибке первого рода а (которая в данном случае часто называется также уровнем значимости) обеспечивает наибольшую мощность по сравнению с любым другим критерием уровня а-, т.е. для такого критерия справедливы следующие зависимости [c.16]

Ошибки первого рода, или риски поставщика а, а также ошибки второго рода, или риски потребителя / при пуассоновском законе могут быть найдены с помощью следующих выражений [c.53]

Если для исследуемого явления или процесса сформулирована та или иная гипотеза (ее обычно называют основной и обозначают символом Яо), необходимо сформулировать правило, согласно которому гипотеза должна быть проверена на состоятельность, т.е. принята или отвергнута. Это правило называется статистическим критерием (или просто критерием). В общем случае на основе экспериментальных данных строят некоторую статистику, значение которой при состоятельности гипотезы Щ с большой вероятностью находится в некотором интервале значений. Вьшадение значения статистики из этого интервала маловероятно, если гипотеза Щ состоятельна. Соответствующую малую вероятность называют уровнем значимости и обычно обозначают через а, а множество выпадающих значений носит название критической области в отличие от области допустимых значений, при которых гипотеза не отвергается. Ошибку, связанную с отклонением верной нулевой гипотезы из-за попадания статистики в критическую область, называют ошибкой первого рода. Вероятность ее, как следует из изложенного, равна а. [c.225]

При проверке гипотез можно совершать ошибки двух типов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна. Вероятность такой ошибки не больше принятого уровня значимости. Например, гфи р=0,05 можно совершить ошибку первого рода в пяти случаях из ста. Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимается, а на самом деле она неверна. Вероятность ошибки второго рода зависит от характера проверяемой гипотезы, от способов проверки и от многих других причин, что сильно усложняет ее оценку. [c.43]

Вероятность ошибки первого рода Не адекватно 0,0008 0,004 Не адекватно [c.229]

Односторонняя гипотеза (так же, как и двусторонняя) может не выполняться в а-100 /о случаев. Таким образом, имеется определенный риск, получив результат, выходящий за доверительные границы, отклонить верную гипотезу //о. Ошибка отклонения правильной гипотезы носит название ошибки первого рода (или риска исполнителя), так как от принятия неправильного решения страдает сам исследователь, выполняющий измерения. В практике измерений, когда необходимо выделить слабый сигнал среди сильного шума (фона, помех), ошибке первого рода соответствует так называемая ложная тревога (шум принимается за сигнал). [c.71]

При секвенциальном анализе на основании п наблюдений мы должны сделать выбор между двумя альтернативными гипотезами ц = jIq и ц, = или продолжить наши испытания. Допустим, что вероятность принятия неверной гипотезы [X = j,j, когда в действительности [j,=[iq, меньше некоторой небольшой величины а и соответственно вероятность принятия гипотезы j,== io, когда [д, = [х , меньше некоторой величины р. В первом случае говорят, что мы делаем ошибку первого рода , во втором случае— ошибку второго рода . [c.177]

Если известно, что одно из неравенств а1 >а2 или а1 <аг заведомо невозможно, то и рассматривать необходимо лишь одну и половин критической области (см. рис. 16). Например, р = 0,05 при двустороннем критерии соответствуют критические значения 0с,025 и 00,975, Т. е. значимыми (неслучайными) считаются 0, принявшие значения 0 <0о,о25 и 0 >0о,э75. При одностороннем критерии значимости одно из этих неравенств (например, 0 <0а,о25) заведомо невозможно и значимыми будут лишь О >0о,9 5- Вероятность последнего неравенства равна 0,025, и, следовательно, уровень значимости будет равен 0,025. Такпм образом, если при одностороннем критерии значимости использовать те же критические числа, что и при двустороннем, этим значениям будет соответствовать вдвое меньший уровень значимости. Обычно для одностороннего критерия берут тот же уровень значимости, что и для двустороннего. При этих условиях оба критерия обеспечивают одинаковую ошибку первого рода. Для этого односторонний критерий надо выводить из двустороннего, соответствующего вдвое большему уровню значимости, чем тот, что принят. Чтобы сохранить для одностороннего критерия уровень значимости р = 0,05, для двустороннего необходимо взять р = 0,10, что дает критические значения [c.40]

Положение уровня выбраковки сигнала выбирается таким образом, чтобы вероятности ошибок I и И рода были достаточно малы. Назовем ошибкой второго рода ошибку переоткрытия, т. е. ошибку, в результате которой компонент в пробе обнаружен, когда на самом деле его нет. Иными словами, допустить ошибку второго рода — принять сигнал фона за сигнал искомого компонента. Такая ошибка может возникнуть за счет большой флуктуации фонового сигнала. Вполне очевидно, что вероятность такой ошибки тем меньше, чем выше от среднего фонового сигнала уровень дискриминации и чем ниже шум — размах колебаний фона. Допустить ошибку первого рода — принять сигнал определяемого компонента за сигнал фона, т. е. это ошибка недоот-крытия компонента или ошибка пропуска аналитического сигнала. Поскольку выбраковка сигналов происходит на уровне дискриминации, ошибка I рода тем меньше, чем выше предел обнаружения Ут1п по отношению к уровню дискриминации. Если считать, что сигналы фона и сигналы в непосредственной близости от него распределены по одному закону и их стандартные отклонения приблизительно равны Оу,ф ау.тш, можно положить расстояние между сигналом фона и уровнем дискриминации, определяющим вероятность ошибки II рода, равным расстоянию между пределом обнаружения и уровнем дискриминации, определяющим вероятность ошибки I рода. [c.98]

Как уже упоминалось в вводной части разд. 2.4, аналитические результаты необходимы для проверки тех или иных гипотез. Часто возникает вопрос соответствует ли неизвестная сущность известной или гипотетической сущности Например, можно задаться вопросом привел ли эксперимент по выведению новых видов растений к новому сорту яблок, обладающих повышенным содержанием витамина С по сравнению со стандартным сортом В этом случае проверка выполняется путем определения содержания витамина С в ряде образцов. Далее рассматривают, соблюдается ли неравенство [1станд—[Ановый сорт= 0. Если статистический критерий с достаточной вероятностью свидетельствует о существовании различия, то нулевая гипотеза ( Хстанд — (гновый сорт = 0) отвергается и принимается альтернативная гипотеза ( существует различие ). Вероятность ошибки первого рода составляет а (для одностороннего предела) или 2а (для двустороннего предела). В случае одностороннего критерия проверяется только один предел (верхний или нижний). Примером может являться изучение образца, в котором содержание следового компонента не должно превышать некоторый установленный уровень. В этом случае допускаются любые значения ниже верхнего предела и нижний предел не играет никакой роли. [c.42]

Проверяемая гипотеза отбрасывается, если ошибка первого рода может появиться в менее чем 100а = 1% всех случаев (т.е. Р > 0,99). Тогда рассматриваемое различие считается значимым. [c.115]

Проверяемая гипотеза принимается, когда ошибка первого рода возможна в более чем 100а = 5% всех случаев (т.е. Р < 0,95). Тогда рассматриваемое различие считается незнанимым. [c.115]

Из уравнения (7.1) получим Р = 4, 3 /2,1 = 4,19. Для f = 11 степеней свободы в табл. А.5 нет число го значения. Для интерполяции нанесем н график табулированные значения Р Р, /1, /2 в зависимости от 1//1 и найдем Р Р = О, 95 /1 = /2 = 11) = 2,82, а также Р Р = 0,99 /1 = /2 = 11) = 4,46 (рис. 7.1). По существующим правилам (см. с. 115) нет оснований для принятия решения, так как Р(Р = 0,95 /1 = /2 = 11) < Г < Р(Р = 0,99 /1 = /2 = 11). Поэтому для метода с меньшей случайной ошибкой — метода директрисы — были проведены даильнейшие исследования, в результате которых получилось стандартное отклонение = 2, 4% с /2 = 24 степенями свободы. Из уравнения (7.1) получили Р = 4, 3 /2, 4 = 3,21 интерполяцией, аналогично рис. 7.1, нашли Р Р = 0,99 / = 11 /2 = 24) = 3,09. Поскольку Р > Р(Р = О, 99 /1 = 11 /2 = 24), различие в воспроизводимости между обоими методами оказывается установленным с риском не более допустимой ошибки первого рода, равной 100а = 1% следовательно, метод директрисы имеет меньшую случайную ошибку. [c.117]

Найденная таким образом величина х сравнивается с процентной точкой хи-квадрат-распределения Х Р,1) (табл. А.4). Если есть тп серий измерений, то число степеней свободы для х (Р, /) берется равным / = т — 1. Проверяемая гипотеза отбрасывается с ошибкой первого рода 100а% = 100(1 - Р)%, если Х > /) Это значит, что некоторые из имеющихся оценок принадлежат- [c.120]

Вычисленную по уравнению (7.7) величину сравнивают с процентной точкой -распределения t P,f) (табл. А.З, с. 244). Проверяемую гипотезу fii = fij = fi надо отбросить с ошибкой первого рода 100а = 100(1 — Р)%, если t > t P,f). Между обоими средними ii и Х2 в таком случае проявляется значимое различие. Разность между обоими средними считается незначимой, если t < t P, f). Критерий t можно сделать более чувствительным, если для случайной ошибки взять значение s", полученное из предыдущих измерений, с большим числом степеней свободы /. Конечно, это значение s должно сохранять строгую эквивалентность, т. е. оно должно быть получено из одной и той же партии проб, одним и тем же аналитическим методом и в одинаковых условиях проведения эксперимента. Уравнение (7.7) тогда принимает следующий вид [c.122]

Так как Р > (Р /1 /2), нуль-гипотезу следует отбросить с 100а < 1% возможной ошибкой первого рода. Дисперсии и следует рассматривать как различные из них получают для стандартных отклонений меж- и внутрилабораторноИ воспроизводимости следующие значения [c.154]

Ошибка первого рода ложная тревога) приводит к напрасному прекращению эксплуатации объекта, его браковке, в связи с чем эту ошибку называют также перебраковкой. Ошибка второго рода - пропуск сигнала, т.е. разрешение к дальнейшему применению негодного материала, изделия, объекта. Тяжесть, а следовательно и стоимость ошибок второго рода, обычно неизмеримо более высоки по сравнению с тяжестью ошибок первого рода. Если, например, стоимость напрасно забракованного сварного шва принять равной некоторой условной единице, то согласно имеющимся оценкам стоимость ошибки второго рода, т.е. пропуска дефектного сварного шва, в топливно-энергетическом комплексе обходится в пятьдесят тысяч раз дороже. [c.226]

Статистические методы часто используются для того, чтобы получить полол<ительный или отрицательный ответ на конкретный вопрос, касающийся значимости данных. Ответ определяется доверительной вероятностью, указывающей степень определенности ответа. Этот метод известен как метод проверки гипотезы 2. Обычный метод заключается в создании нуль-гипотезы, которая устанавливает, что не имеется никакого значимого различия между двумя рядами данных или что изучаемая переменная оказывает незначительное влияниена них. Чтобы получить положительный или отрицательный ответ, выбирается, например, доверительная вероятность 95% или 99% того, что ответ является правильным. К выбору уровня значимости следует подходить очень внимательно. Если выбирается слишком высокая доверительная вероятность (например, 99,9%), то можно пропустить значительное влияние изучаемой переменной. Такая ошибка назывется ошибкой первого рода, или ошибкой [c.591]

Этой трудности удается избежать, используя Q-кpитepий 2 , который является относительно строгим и статистически обоснованным. Q определяется как отношение отклонения несовместимого значения от его ближайшего соседа ко всему диапазону значений. Если значение превышает определенные табличные значения, которые зависят от числа наблюдений, то спорное значение можно исключить. Табличные значения Q соответствуют 90%-ному доверительному пределу того, что ошибки первого рода не имеется. Однако для небольшого числа наблюдений, например от трех до пяти, Р-крнтерий позволяет исключить только очень резко выделяющиеся значения. И поэтому [c.618]

В этом случае очевидны отрицательные технико-экономические последствия при ошибке первого рода, (забракование кондиционной продукции) они выражаются в неоправданных затратах яа передел, снижение производительности установки, нарушения ритмичной работы предприятия при ошибке второго рода (процуск брака) наносится ущерб в сфере применения нефтепродуктов. Вероятность ненадежного контроля качества тем выше, чем ниже точность метода контроля и ближе значение контролируемого параметра к браковочной границе. Последнее условие реализуется достаточно часто, поскольку выцуск продукции с большим запасом качества невыгоден для поставщика. [c.30]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология