Ошибка второго рода

Эта вероятность тем меньше, чем выше уровень значимости, так как при этом увеличивается число отвергаемых гипотез. Одну и ту же статистическую гипотезу можно исследовать при помощи различных критериев значимости. Если вероятность ошибки второго рода равна а, то 1—а называют мощностью критерия. На рис. 17 приведены две кривые плотности вероятности случайной величины О, соответствующие двум конкурирующим гипотезам Н (а) и Н б). Если из опыта получается значение О>0 ь отвергается гипотеза Н и принимается альтернативная гипотеза Н, и наоборот, если О<0р. Площадь под кривой плотности вероятности, соответствующей справедливости гипотезы Н вправо от 0р, равна уровню значимости р, т. е. вероятности ошибки первого рода. Площадь под кривой вероятности, соответствующей справедливости Н влево от Пр, равна вероятности ошибки второго рода а, а вправо от ир — мощности критерия. Таким образом, чем больше р, тем больше 1—а. Для проверки гипотезы стремятся из всех возможных критериев вы-.бра ъ тот, у которого при заданном уровне значимости меньше [c.39]

Для ошибки второго рода нужно, чтобы х> А2 или л<А , и, кроме того, А, - X < х < Аз - X. Поэтому вероятность ошибки второго рода равна [c.211]

Значение [3 соответствует вероятности ошибки второго рода. Величина 8 равна (Т — То)/(с/л/й) отсюда следует, что если Т То, то /3 — 1 — о. [c.438]

Аналогично, принятие гипотезы Но, когда она неверна (или отклонение Нх, когда она верна), называется ошибкой второго рода. Ее вероятность (/3) равна площади заштрихованного участка на рис. 12.1-10. Обратите внимание, что с уменьшением а вероятность ошибки первого рода уменьшается, а второго рода — возрастает. Вероятность ошибки второго рода /3 зависит также от разности Т и То чем она больше, тем /3 меньше. При Т = То величина /3 достигает максимального значения, равного 1 — а. Рис. 12.2-11 иллюстрирует возможные варианты принятия-отклонения гипотезы Но (Н1). Во избежание недоразумения следует подчеркнуть, что для любого статистического теста уровень значимости а (например, 5%) характеризует вероятность (1 — а в данном случае 95%) принятия нуль-гипотезы лишь в тех случаях, когда она действительно верна. В общем случае принятие нуль-гипотезы не означает, что ее вероятность равна 1 — а (95%, в нашем примере). [c.438]

Отсюда видно, что в зависимости от выбранного уровня значимости можно прийти к различным выводам гипотеза Но была отвергнута в первом случае и принята во втором. Заметьте, однако, что оба этих вывода справедливы В действительности, конечно, утверждение производителя (Но) либо верно, либо нет, но, к сожалению, истинное положение дел нам неизвестно (в противном случае прибегать к статистическим тестам не было бы необходимости). Таким образом, мы можем лишь обсуждать вероятность отклонения Но в случаях, когда она верна или неверна. При а = 0,05 Но была отвергнута. Следовательно, если Но на самом деле верна, существует 5%-ная вероятность ошибки первого рода если же Но неверна, то сделанное нами заключение было правильным. При а = 0,01 Но была принята. В этом случае мы не можем совершить ошибку первого рода, однако если в действительности Но неверна, мы совершаем ошибку второго рода. Вероятность этой ошибки Р(П) мы оценить не можем, поскольку значение генерального среднего неизвестно (в противном случае, опять же, необходимость в проведении теста отпала бы). Очевидно, что с увеличением а вероятность ошибки первого рода Р(1) уменьшается, поскольку диапазон допустимых значений выборочного среднего расширяется. При этом соответственно возрастает вероятность ошибки второго рода (при уменьшении а возрастает 0). Таким образом, при выборе уровня значимости необходимо руководствоваться ценой ошибки первого рода (см. также следующий пример). [c.440]

Для задачи, сформулированной в предыдущем примере, рассчитайте вероятность ошибки второго рода и мощность теста для выборки объемом п = 9 и 27. Примите уровень значимости а = 0,05 и предположите, что истинное значение генерального среднего равно 0,31 г (напоминаем, что в действительности эта величина никогда не бывает точно известна). [c.440]

Что такое статистический тест для проверки гипотезы, как он осуществляется Объясните значения терминов уровень значимости, нуль- и альтернативная гипотезы, ошибка первого рода, ошибка второго рода, мощность теста. [c.457]

На выработку решений оказывают влияние две основные особенности, присущие человеку. Первая характерна для ис-следователя-оптимиста, вторая —для пессимиста, обладающего более критическим складом ума. Оптимист склонен к принятию рискованных решений он может отвергнуть правильную гипотезу (Но, нулевую гипотезу) и принять альтернативную, более-обещающую, но неверную. Такой ошибочный отказ от правильной нулевой гипотезы Но называется ошибкой первого рода (ошибкой I). Чрезмерно оптимистичный исследователь скорее всего попытается свести риск к минимуму, ошибочно отвергая правильную нулевую гипотезу и принимая без достаточных на то оснований некорректную альтернативную нулевую гипотезу. Необоснованное принятие некорректной нулевой гипотезы называется ошибкой второго рода (ошибкой П). Пессимист поступил бы обратным образом он попытался бы свести к минимуму риск от ошибки I и пошел бы на больший риск в отношении ошибки П. [c.29]

График вероятности ошибки второго рода в зависимости от возможных значений О называется кривой рабочей характеристики испытания. Такие кривые очень важны при определении объема испытания, необходимого для отклонения неверных гипотез. [c.483]

Теперь предположим, что гипотеза неверна и что X действительно равно некоторому другому значению Х . Тогда мы желаем исследовать вероятность того, что о будет иметь абсолютное значение, меньшее, чем а, или что гипотеза не будет отклонена, когда она неверна (ошибка второго рода). [c.483]

Пусть, например, гипотеза, которая подлежит испытанию, состоит в том, что с изменением некоторого процесса выход продукта не увеличивается. Тогда, принимая, что выход увеличивается, когда в действительности этого нет, мы совершаем ошибку первого рода, но утверждение, что выход не увеличивается, когда фактически имеет место обратное явление, приводит к ошибке второго рода. [c.660]

Отметим, что с увеличением п и при постоянном t,Q-d величины —t — dVn п t — dVn уменьшаются (или возрастают при отрицательных значениях d) и, следовательно, вероятность того, что 1 попадет между ними, приближается к нулю. Это означает, что для больших п вероятность того, что неверные гипотезы не будут отклонены (т. е. ошибка второго рода) очень мала. [c.661]

Отсюда ошибки второго рода определяются формулой [c.20]

Ошибка второго рода [c.22]

При произвольном выборе г использование рассмотренных в разд. 1.3 критериев может привести к чрезмерно большим ошибкам второго рода, т.е. к забракованию чрезмерно большого количества годной продукции, либо приему большого количества негодной. Поэтому такие критерии непосредственно для статистического контроля качества продукции, как правило, не используются. Для построения плана контроля качества и надежности используются два критерия, один из которых обеспечивает проверку с заданным уровнем значимости гипотезы ф фо, а другой — с требуемым уровнем значимости — гипотезы ф фх. [c.22]

Ошибки первого рода, или риски поставщика а, а также ошибки второго рода, или риски потребителя / при пуассоновском законе могут быть найдены с помощью следующих выражений [c.53]

Точно так же можно получить явные выражения для других параметров. Ошибки второго рода /3 можно получить с помощью соотношения [c.57]

Ошибка второго рода определяется выражением [c.58]

После того как это условие окажется выполненным, величине А присваивается значение, равное Ах. С помощью процедуры ПИЭ ( Л/) определяются вероятности окончания испытаний, значения средней продолжительности контроля Тср(А) и оперативной характеристики Р(А) при А = А . Величине /3 — фактическому значению ошибки второго рода — присваивается значение С(А1). Значения а, И о(р = > ). [c.82]

Принятие неверной нулевой гипотезы носит название ошибки второго рода, соответствующую вероятность обозначают через р. Вероятность тг = 1 — Р отклонения основной гипотезы при верной альтернативной носит название функции мощности критерия. Чем больше значение ж, тем более мощным считается критерий. Обычно задают значение а и стремятся получить возможно больше значение к. [c.225]

При проверке гипотез можно совершать ошибки двух типов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна. Вероятность такой ошибки не больше принятого уровня значимости. Например, гфи р=0,05 можно совершить ошибку первого рода в пяти случаях из ста. Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимается, а на самом деле она неверна. Вероятность ошибки второго рода зависит от характера проверяемой гипотезы, от способов проверки и от многих других причин, что сильно усложняет ее оценку. [c.43]

Адекватность описания определялась сравнением остаточного значения функции отклонений на одну степень свободы с табличным значением / -критерия. Из таблицы видно, что практически единственным вариантом, который дает описание, близкое к адекватному, является четвертый вариант. В третьем варианте очень велика вероятность ошибки второго рода, т. е. возможность принять гипотезу об адекватности, когда она неверна. Кинетические параметры, найденные методом анализа концентраций, могут быть использованы для вычисления скоростей реакций. Кинетическое уравнение для [c.228]

Отвергая нулевую гипотезу, тем самым принимают альтернативную. Альтернативная гипотеза распадается на две аг >а2 и а <.а2. Если одно из этих неравенств заведомо невозможно, то альтернативная гипотеза называется односторонней и для ее проверки применяются односторонние критерии значимости (в отли-чне от обычных, двусторонних). При проверке гипотез очень важно учесть априорную информацию о возможных значениях оцениваемых параметров, выяснить,.что один из сравниваемых параметров не может быть больше другого. Иногда этот факт вытекает из постановки задачи. Например, изучая изменение чистоты реактива, заранее знаем, что в связи с разло кением на свету чистота его с Течением времени может только уменьшиться. Такая информация даст возможность при проверке гипотезы применить одностороннпй критерий значимости, который имеет меньшую ошибку второго рода, чем соответствующий двусторонний. [c.40]

Положение уровня выбраковки сигнала выбирается таким образом, чтобы вероятности ошибок I и И рода были достаточно малы. Назовем ошибкой второго рода ошибку переоткрытия, т. е. ошибку, в результате которой компонент в пробе обнаружен, когда на самом деле его нет. Иными словами, допустить ошибку второго рода — принять сигнал фона за сигнал искомого компонента. Такая ошибка может возникнуть за счет большой флуктуации фонового сигнала. Вполне очевидно, что вероятность такой ошибки тем меньше, чем выше от среднего фонового сигнала уровень дискриминации и чем ниже шум — размах колебаний фона. Допустить ошибку первого рода — принять сигнал определяемого компонента за сигнал фона, т. е. это ошибка недоот-крытия компонента или ошибка пропуска аналитического сигнала. Поскольку выбраковка сигналов происходит на уровне дискриминации, ошибка I рода тем меньше, чем выше предел обнаружения Ут1п по отношению к уровню дискриминации. Если считать, что сигналы фона и сигналы в непосредственной близости от него распределены по одному закону и их стандартные отклонения приблизительно равны Оу,ф ау.тш, можно положить расстояние между сигналом фона и уровнем дискриминации, определяющим вероятность ошибки II рода, равным расстоянию между пределом обнаружения и уровнем дискриминации, определяющим вероятность ошибки I рода. [c.98]

Ошибка второго рода состоит в принятии нуль-гипотезы, когда она неверна. Вероятнсть такого события обозначается 0. [c.436]

Трехкратное увеличение объема выборки привело к более чем двукратному увеличению мощности теста. Таким образом, при заданном уровне значимости увеличение объема выборки уменьшает вероятность ошибки второго рода и увеличивает мощность тестл, т. е. вероятность правильного отклонения нуль-гипотезы. [c.441]

Ошибка первого рода ложная тревога) приводит к напрасному прекращению эксплуатации объекта, его браковке, в связи с чем эту ошибку называют также перебраковкой. Ошибка второго рода - пропуск сигнала, т.е. разрешение к дальнейшему применению негодного материала, изделия, объекта. Тяжесть, а следовательно и стоимость ошибок второго рода, обычно неизмеримо более высоки по сравнению с тяжестью ошибок первого рода. Если, например, стоимость напрасно забракованного сварного шва принять равной некоторой условной единице, то согласно имеющимся оценкам стоимость ошибки второго рода, т.е. пропуска дефектного сварного шва, в топливно-энергетическом комплексе обходится в пятьдесят тысяч раз дороже. [c.226]

Эта вероятность тем меньше, чем выше уровень значимости, так как при этом увеличивается число отвергаемых гипотез. Одну и ту же статистическую гипотезу можно исследовать при помощи различных критериев значимости. Если вероятность ошибки второго рода равна а, то 1 — а назьшают мощностью критерия. На рис. 16 приведены две кривые плотности вероятности случайной величины 9, соответствующие двум конкурирующим гипотезам Н(а) и Н(6). Если из опыта получается значенвд [c.43]

Как указывалось, чисто детерминистское описание задачи, принципиально лежащее в основе геометрического подхода к проблеме распозцавапия, не соответствует реальной действительности. На самом деле все величины, входящие в обучающую последовательность любой задачи, являются случайными величинами. Это относится как к выходным параметрам, характеризующим катализатор, так и к значениям его свойств. Ошибки в первом случае могут привести к неправильному отнесению катализатора к тому или иному классу, ошибки второго рода приводят к смещению положения реализации, т. е. катализатора, относительно координатных осей в гиперпространстве признаков. Поэтому задача прогнозирования приобретает вероятностный характер и требует статистического подхода. Статистический подход, вместе с тем, является мощным методом анализа сложных явлений, где детерминированные функции связи либо априори неизвестны, либо, из-за своей сложности, практически не могут быть установлены. Именно к такой категории явлений в большинстве случаев можно отнести химические процессы, протекающие на гетерогенных катализаторах. [c.102]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология