Среднее значение генеральное

Содержание активного хлора в хлорной извести составляет (%) 37,11 37,18 37,23 37,15. Среднее значение генеральной совокупности (а = 50) 37,02. Установить, существует ли значимое различие между выборочным средним и средним генеральной совокупности. Ответ различие значимо при Р = 0,95. [c.143]

Выборочный коэффициент корреляции. Выборочный коэффициент корреляции г определяется так же, как и генеральный коэффициент г, только при этом используются выборочные средние и дисперсии. Допустим, что проведено п испытаний и при каждом отмечались значения двух случайных величин. Если через х и у обозначить средние значения [c.127]

Отсюда видно, что в зависимости от выбранного уровня значимости можно прийти к различным выводам гипотеза Но была отвергнута в первом случае и принята во втором. Заметьте, однако, что оба этих вывода справедливы В действительности, конечно, утверждение производителя (Но) либо верно, либо нет, но, к сожалению, истинное положение дел нам неизвестно (в противном случае прибегать к статистическим тестам не было бы необходимости). Таким образом, мы можем лишь обсуждать вероятность отклонения Но в случаях, когда она верна или неверна. При а = 0,05 Но была отвергнута. Следовательно, если Но на самом деле верна, существует 5%-ная вероятность ошибки первого рода если же Но неверна, то сделанное нами заключение было правильным. При а = 0,01 Но была принята. В этом случае мы не можем совершить ошибку первого рода, однако если в действительности Но неверна, мы совершаем ошибку второго рода. Вероятность этой ошибки Р(П) мы оценить не можем, поскольку значение генерального среднего неизвестно (в противном случае, опять же, необходимость в проведении теста отпала бы). Очевидно, что с увеличением а вероятность ошибки первого рода Р(1) уменьшается, поскольку диапазон допустимых значений выборочного среднего расширяется. При этом соответственно возрастает вероятность ошибки второго рода (при уменьшении а возрастает 0). Таким образом, при выборе уровня значимости необходимо руководствоваться ценой ошибки первого рода (см. также следующий пример). [c.440]

Пусть даны два средних значения и х , которые получены из двух независимых друг от друга серий измерений с 711 и Ид. Оба средних значения различаются на незначительную величину. Следует проверить, объясняется ли это различие только случайной ошибкой, т. е. принадлежат ли оба средних значения генеральной совокупности с одним и тем же средним значением 1. Проверяемая гипотеза будет Х1 = Цз = Предварительно необходимо исследовать, суш ествует ли разница между средними квадратичными ошибками обеих серий 1 и [c.141]

Функции распределения можно строить и для средних значений Xi. .. Хт, полученных в Tij параллельных определениях, а не только для исходных данных. Тогда каждую серию измерений объемом можно рассматривать как выборку из одной и той же генеральной совокупности. Математически можно показать, что общее среднее этих выборок х равно среднему значению генеральной со- [c.49]

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности. Чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию Фишера (см. гл. II, 11). Если рассчитанное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то влияние рассматриваемого фактора нет оснований считать значимым. Если же рассчитанное значение критерия Фишера окажется больше табличного, то рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних. В дальнейшем будем полагать, что выполняются следующие допущения 1) случайные ошибки наблюдений имеют нормальное распределение 2) факторы влияют только на изменение средних значений, а дисперсия наблюдений остается постоянной эксперименты равноточны. [c.75]

НОСТИ между выборочным средним и средним значением генеральной совокупности лежат примерно в Р случаях в пределах — м (/ ) Ом и + и (Р) а . Итак, [c.54]

Таким образом, л а, 5 я г а . Статистическую оценку приближенности этих равенств производим путем нахождения доверительных интервалов для экспериментальных величин х я з, т. е. таких наименьших интервалов, в которых с заданной надежностью будут определены а и а. Доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности вычисляем как [c.237]

Пример 4. Генеральное стандартное отклонение при измерении понижения температуры замерзания А/ с помощью термометра Бекмана составляет стд< = 0,003°С. Сколько нужно криоскопических измерений, чтобы коэффициент вариации при определении среднего значения величины At на уровнях А ]=Д 1 = = 0,25°С и Хг = А г = 0,5°С не превышал 0,5% [c.831]

Масс-спектрометрический анализ сложных смесей, как правило, позволяет определить их групповой состав и распределение некоторых типов соединений по молекулярным весам. Структурная информация, содержащаяся в масс-спектре, при этом используется не полностью. Число индивидуальных соединеиий, содержащихся в сложных смесях, таких, как нефтяные фракции, концентраты и т. п., очень велико, поэтому установить индивидуальные особенности строения каждого соединения в смеси невозможно. Однако, рассматривая каждый тип соединений в смеси как определенную статистическую выборку из общей генеральной совокупности соединений данного класса, можно оценить средние значения и распределения некоторых структурных элементов молекул так же, как определяется молекулярно-весовое распределение по интенсивностям пиков молекулярных ионов. [c.205]

Рис. д. 186. Среднее значение ц и стандартное отклонение о генеральной совокупности, представленные на сетке вероятностей . [c.443]

Определить, существует ли значимое различие между выборочным средним значением при определении массовой доли (%) серы в каменном угле 2,10 2,12 2,13 2,15 2,15 и средним генеральной совокупности ц, = 2,15% для п = 80. [c.140]

В таблице значений коэффициента Стьюдента (см. табл. 7.1) для / = 4 и р = 0,95 приведено /р / = 2,78, что больше рассчитанного. Следовательно, среднее значение с не отличается значимо от среднего р генеральной совокупности. [c.140]

Таким образом, математическое ожидание среднего значения X есть генеральное среднее /х исходной величины X. Также можно показать, что [c.423]

Установлено, что генеральная совокупность результатов анализа на содержание фосфора в чугуне подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а=0, а=0,02%. Найти вероятность того, что результат единичного анализа не превысит 0,45%, если среднее значение шести параллельных анализов равно 0,41%. [c.141]

Все сказанное выше относится к генеральной совокупности наблюдений (измерений). Однако в действительности в условиях анализа никогда не бывает слишком большого числа параллельных определений. В обычных условиях проводят 4—5 параллельных анализов. Кроме того, истинное значение измеряемой величины 1 также очень редко известно точно. Поэтому вместо и берут среднее значение из нескольких определений х [c.65]

Неравенство Чебышева используется в тех случаях, когда распределение результатов и случайных ошибок анализа заведомо отличается от нормального. С помощью этого неравенства удается получить загрубленные статистические оценки для генерального среднего л по выборочному среднему х, если известно значение генеральной или по крайней мере выборочной дисперсии. [c.96]

Для задачи, сформулированной в предыдущем примере, рассчитайте вероятность ошибки второго рода и мощность теста для выборки объемом п = 9 и 27. Примите уровень значимости а = 0,05 и предположите, что истинное значение генерального среднего равно 0,31 г (напоминаем, что в действительности эта величина никогда не бывает точно известна). [c.440]

В отличие от предыдущего случая, теперь мы знаем, что истинное значение генерального среднего равно 0,31 г. Для п = 9 ситуация может быть представлена в виде рис. 12.1-12. [c.440]

Среднее значение выборки X является оценкой математического ожидания генеральной совокупности и в большинстве случаев наилучшим образом соответствует истинному значению измеряемой величины. Рассчитывается как [c.11]

Оно представляет собой тот предел, к которому стремится среднее х при неограниченном увеличении объема выборки. Таким образом, математическое ожидание является как бы средним значением для генеральной совокупности в целом, почему и называется иногда генеральным средним. При отсутствии систематических погрешностей математическое ожидание [c.43]

Пока измерений достаточно много, среднее арифметическое х представляет собой, как правило, достаточно хорошее приближение для среднего значения // из генеральной совокупности. [c.34]

Здесь ip,n — коэффициент Стьюдента, значения которого зависят как от числа вариант п (от числа выполненных определений), так и от доверительной вероятности Р. Доверительная вероятность представляет собой вероятность нахождения арифметического среднего й генеральной совокупности в пределах доверительного интервала нвы6 е- Чаще всего выбирают Р = 0,95 или Р = 0,99. Некоторые значения коэффициента Стьюдента приведены ниже [c.134]

Величина X в генеральной совокупности является случайной и, как правило, подчиняется нормальному закону распределения. Например, статическая прочность материала определенной марки имеет некоторое среднее значение X и дисперсию о, составляющую около 10% от X. Разброс связан не только с погрешностью измерения X, а также со случайным изменением свойств материала. Будем считать, что дисперсия для генеральной совокупности известна и при выборочном контроле требуется оценить среднее значение X и сопоставить его с X. [c.46]

При сравнении данных прежде всего интересен вопрос о равенстве (близости) средних значений 1 и Х2 сравниваемых результатов, а уже затем — об их воспроизводимости. Можно предполагать, что задача сравнения воспроизводимости результатов может возникнуть лишь после того, как оказалось, что при оценке на глаз средние значения несколько различаются. При корректной статистической проверке гипотез, напротив, решение о принятии (или отклонении) нулевой гипотезы хх — х невозможно без оценки значений стандартных погрешностей обоих сравниваемых результатов. Кроме того, как уже отмечалось сравнивать средние можно только если дисперсии 2 и 2 обоих экспериментов однородны, т. е. когда оба результата принадлежат к генеральным совокупностям, отличающимся лишь характеристикой центра. [c.90]

Из теории вероятности [8] известно, что средние значения х для ряда выборок из одной и той же генеральной совокупности будут подчиняться также нормальному закону распределения, как и генеральная совокупность среднее значение распределения х будет совпадать с X, а дисперсия средних значений а (л) будет тем меньше, чем больше объем п выборки а (л) —а 1п. [c.46]

Распределение среднего значения х нормального распределения гри известном генеральном среднем р. и известной генеральной дисперсии ст является нормальным распределением с /ЛО [c.221]

ТО дисперсии незначимо отличаются друг от друга и, следовательно, гипотеза о том, что дисперсии 5 ср и 5 ад принадлежат одной и той же генеральной совокупности, верна. Тогда использовать модель нецелесообразно, так как она обладает одинаковой прогнозирующей способностью со средним значением, но использовать в качестве модели постоянную величину проще. Наоборот, если [c.46]

Действительно, пусть предполагается, что некоторая выборка с параметрами (х, 5 ) принадлежит к генеральной совокупности с параметрами Ц,а ). При этом можно выдвинуть гипотезу о том, что среднее значение параллельных измерений является оценкой истинного значения (т. е. Зс = ), а выборочная дисперсия — оценкой генеральной ( = а ). Эти предположения приводят к условиям [c.69]

Можно показать, что среднее значение концентрации диспергируемого компонента в пробе в точности совпадает с объемной (или весовой) долей этого компонента в общем объеме смеси Для суждения о том, является ли различие сравниваемых проб смеси случайным, или оно указывает на существование систематического отклонения, сравнивают среднее значение <7 и генеральную дисперсию с соответствующими величинами, определенными экспериментально. Сравнение возможно при соблюдении двух условий. [c.168]

Для статистического анализа необходимо отбирать не менее 10 проб. Сравнивая среднее значение д и генеральную дисперсию с соответствующими значениями, определенными эксперимен- [c.204]

В разделе 26-2 мы рассмотрели стандартное отклонение а, которое связано с вероятной ошибкой единичного наблюдения. Если из генеральной совокупности извлекаются серии случайных выборок объемом п, то среднее значение разных групп из п наблюдений будет показывать все меньшее рассеяние по мере увеличения п. При увеличении п среднее каждой выборки в пределе приближается к генеральному среднему [I, а рассеяние стремится к нулю. Можно показать 2, что дисперсия среднего обратно пропорциональна числу п, или [c.588]

Сравнение случайных погрешностей двух или более экспериментов — обычная задача для исследователя. Следует подчеркнуть, что экспериментальные данные можно сравнивать только тогда, когда их дисперсии однородны. В этом случае, если средние значения не выходят за доверительные границы, результаты совпадают, т. е. принадлежат к одной и той же генеральной совокупности. Различие средних значений при однородных дисперсиях свидетельствует [c.84]

Для построения доверительного интервала необходимо знать распоеделение этой оценки. Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально, можно показать (например, используя свойство линейности нормального распределения), что х также имеет нормальное распределение со средним значением гПх [c.37]

Если на специальной миллиметровой бумаге по оси ординат отложить процентные доли всех результатов измерений, значения которых ниже предельного значения I/ , а по оси абсцисс — значения уи то при нормальном распределении вероятностей от 10 до 90% полученных точек расположатся на прямой. При построении зависимости в логарифмических координатах прямую получают в сл(учае нормального логарифмического распределения. Угол подъ ема прямой тем больше, чем меньше ст (колоколообразная кривая с острой вершиной). Значению 50% на оси ординат соответствует на оси абсцисс величина р. генеральной совокупности, т. е. ее среднее значение. Точкам перегиба колоколообразной кривой при р, 1сг соответствуют суммарные частоты 15,9 и 84,1%. Исходя из этих значений ординат, на оси абсцисс получают отрезок т. е. 2а, и отсюда легко находят а — стандартное отклонение [c.445]

Полученный результат затем умножают на inin lini + tii), где п и ri2 — числа результатов определений в обеих сериях. Кроме того, п = п + п2, т = 2. Рассчитанное значение сравнивают с соответствующим /-критерием (табл. Д.38), причем нужно использовать f=ni + ti2 — 2 (см. уравнение (505)). Если t>t(P, f), расхождение между обоими средними результатами генеральных совокупностей значимо с вероятностью Р ( Xi fi2)- [c.471]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

Для проверки гипотезы о среднем значении и вычисления доверительного интервала в одномерном случае обычно используется статистика, получающаяся в результате деления разности между выборочным средним значением в и гипотетическим математическим ожиданием 0 генеральной совокупности на средкеквадратическое отклонение а. Если выборка произведена из совокупности (0, ), то величина [c.41]

Нетрудно себе представить, что для того чтобы оценка генеральной средней была несмещенной, средние значения слоев при вычислении генеральной средней должны быть пропорцио-.нальны объемам слоев. Таким образом [c.631]