Стандартное отклонение выборочной совокупности

При наличии выборочной совокупности стандартное отклонение обозначают (индексом п здесь указывают число определений). Стандартное отклонение выборочной совокупности больше, чем стандартное отклонение генеральной совокупности а, и вычисляется по формуле [c.141]

В химическом анализе содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (п З). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей нз всех мыслимых в данных условиях наблюдений. Соответственно различают выборочные параметры (параметры малой выборки) случайной величины, которые зависят от числа наблюдений, и параметры генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. Для практических целей можно считать, что при числе измерений /г = 20 30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а)—основного параметра — и стандартного отклонения малой выборки (я) близки (я ст). [c.26]

Для конечной выборки из п наблюдений выборочная средняя X представляет собой среднее арифметическое из п наблюдений но мере того, как п стремится к бесконечности, х в пределе приближается к генеральной средней д. Соответственно выборочное стандартное отклонение 5 приближается в пределе к стандартному отклонению совокупности а. Выборочное стандартное отклонение выражается уравнением [c.583]

Воспроизводимость — метрологический параметр, характеризующий случайную погрешность методики анализа. Показателем воспроизводимости служит величина стандартного отклонения воспроизводимости, т. е. корень квадратный из выборочной дисперсии или дисперсии генеральной совокупности, взятый со знаком плюс. [c.39]

Результаты химического анализа, как и присущие этим результатам погрешности, можно рассматривать в качестве случайных. Свойства случайных величин описываются законами математической статистики. В соответствии со сказанным, выборка, состоящая из результатов анализа (или выборка погрешностей), характеризуется определенной вероятностью Р и объемом п (или кратностью анализа). Выборка — дискретная (3-5 значений в случае химического анализа), конечнозначная и ограниченная величина с неравномерным распределением составляющих ее вариант. Распределение отклонений в выборочной совокупности несколько отличается от нормального распределения небольшие отклонения появляются реже, большие — чаще. Такое распределение отклонений называют 1-распределением, или распределением Стьюдента (статистика малых выборок). С увеличением числа параллельных определений -распределение все больше приближается к нормальному распределению, а выборочное стандартное отклонение — к стандартному отклонению генеральной совокупности (при генеральной совокупности и>20). [c.130]

Размерности математического ожидания и измеряемой величины совпадают. Размерность дисперсии соотносится с размерностью абсолютных отклонений и самой измеряемой величины как квадрат величины с ее первой степенью. Чтобы привести в метрологическое соответствие оценки отдельных значений измеряемой величины с абсолютными значениями отклонений, используют величину д/0( ) - В случае генеральной совокупности ее обозначают символом а и называют генеральным стандартным отклонением, а также просто стандартом и среднеквадратичным отклонением. Цля выборочной совокупности [c.818]

Трудность заключается в том, что стандартное отклонение генеральной совокупности обычно неизвестно и может быть лишь приблизительно определено для конечного числа измерений при помощи выборочного стандартного отклонения s, найденного из уравнения (26-4). Эту трудность преодолевают для гауссовского распределения с помощью величины t (известной как критерий t Стьюдента) [16], определяемой по формуле [c.576]

Воспроизводимость анализа — степень близости вариант, составляющих выборочную совокупность может быть охарактеризована как величина, обратная относительному стандартному отклонению [c.437]

Степени свободы. Для расчета выборочной дисперсии и стандартного отклонения выборки (в отличии от генеральной совокупности) можно использовать выражение [c.28]

При наличии выборочной совокупности вариант вычисляют стандартное (среднеквадратичное) отклонение 5 или диспер- [c.134]

Для характеристики рассеяния результатов в выборочной совокупности используют также стандартное отклонение [c.46]

Лучшей мерой невоспроизводимости совокупности из п результатов (при условии их нормального распределения) является выборочное стандартное отклонение 5 [c.36]

Выборочный размах особенно хорош для характеристики рассеяния в выборках малого объема (п < 10). Когда же наблюдений много (п > 10), он становится плохой оценкой рассеяния в генеральной совокупности, поскольку в отличие от стандартного отклонения он учитывает только два значения из всего ряда измерений. Величина размаха зависит от объема выборки при постоянной [c.38]

В соответствии с вышеприведенными правилами проведения выборочного контроля отдельные показатели качества принадлежат генеральной совокупности со средним Пт и стандартным отклонением от- Это условие выполняется с вероятностью Р, пока показатели качества беспорядочно рассеиваются внутри пределов [c.235]

Эти пределы называют верхней и нижней границами допуска. Для их определения целесообразно брать в таких случаях Р — 0,95. Текущая проверка условия, заданного выражением (12.32), ведется графически. Показатели качества, полученные на основе выборок, наносят на график, контрольную карту, в том порядке, в каком они возникают во времени. Таким образом получают последовательность точек, на основании которой можно сделать выводы о стабильности производственного процесса, а также об обоснованности выборочного контроля. Пока точки беспорядочно рассеиваются внутри контрольных границ (см. рис. 12.1), выполняется условие (12.32) и можно продолжать выборочный контроль. Один-единственный выход за контрольную границу означает, что полученный результат с вероятностью Р больше не принадлежит генеральной совокупности со средним (ЛТ и стандартным отклонением <тт- Исчезает основание для проведения выборочного контроля, поэтому нужно переходить на 100%-ную проверку и искать причину появления результата, выходящего за контрольную границу. Этот 100%-ный контроль проводится до тех пор, пока отдельные точки не будут рассеиваться в течение длительного времени внутри контрольных границ. [c.235]

Выборочное стандартное отклонение является экспериментально важным как оценка выбранного стандартного отклонения совокупности, которое при конечном числе измерений определить нельзя. При случайной выборке величина 5 с увеличением объема выборки все более и более приближается к о. Ана- [c.583]

Если в выражение (3.8) вместо значения стандартной погрешности генеральной совокупности о подставить значение выборочного стандартного отклонения S, мы получим величину [c.66]

Пример 1. при испытании материала на растяжение получены выборочное среднее прочности X = 24,5 кгс/мм и стандартное отклонение 5 = 0.5 кгс/мм на образцах в виде лопаток (п = 25). Определить с доверительной вероятностью а = 0,95 границы двустороннего толерантного предела, накрывающего 90% (Р = 0.90) значений прочности всей генеральной совокупности. [c.38]

Выборочное стандартное отклонение является важным для эксперимента как оценка искомого стандартного отклонения совокупности, которое при конечном числе измерений определить нельзя. При случайной выборке величина 5 с увеличением объема выборки все более и более приближается к а. Аналогично выборочная средняя X с увеличением объема случайной выборки все более приближается к генеральной средней ц. Хотя во многих практических работах стандартное отклонение из некоторого конечного числа наблюдений представляют как а, строго говоря, символ а следует сохранить для генеральной совокупности. [c.573]

Существует несколько мер рассеяния дисперсия, стандартное отклонение, относительные стандартные отклонения, размах и среднее абсолютное отклонение. Если выборочное распределение оценки имеет среднюю, равную соответствующему параметру генеральной совокупности, такую оценку можно назвать несмещенной оценкой параметра. [c.574]

Среднее арифметическое ряда параллельных анализов лучше характеризует результат анализа, чем отдельные значения, т. е. отягощено минимальной случайной ошибкой. Получив представительную выборочную совокупность результатов измерений (л>20), стандартное отклонение оценивают по дисперсии [c.111]

Для оценки одной из важнейших характеристик — воспроизводимости анализа — необходимо получить представительную выборочную совокупность результатов измерений (п > 20). Тогда стандартное отклонение можно оценить по величине дисперсии [c.158]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

Анализ табличных данных позволяет сопоставить значения выборочных и генерализованных дисперсий и стандартных отклонений. -Значения выборочных параметров колеблются около соответствующих значений генерализованных параметров, причем отклонение лервых от вторых тем значительнее, чем менее представительна соответствующая выборочная совокупность хг.ь х,-,2 л ,,. . Разница в значениях выборочных и генерализованн-ых дисперсий достигает 30%, а в значениях стандартных отклонений 15—20%. Отсюда следует, что применение выборочных параметров непредставительных выборок (п С 10) для оценки результатов анализа с помощью функции нормиррванного стандартного распределения Лапласа сопряжено с заведомыми ошибками. [c.92]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Пусть имеются две серии результатов анализа одного образца А и В, представленные в форме выборочных совокупностей с объ емами Па и пв. Если сравнение дисперсий 5л и с помощью Р-критерия показывает, что они значимо не отличаются друг от друга, закономерна постановка вопроса о том, значимо ли различие выборочных средних ха и Хв. Если выборочные средние отличаются лишь в силу случайного разброса, обе выборки можно считать принадлежащими одной генеральной совокупности. Это открывает возможность уточнения оценки математического ожидания и стандартного отклонения, поскольку число степеней сво- боды объединенной выборки больше, чем у обеих выборок А и В. Значимое различие выборочных средних свидетельствует о нали- [c.107]

Важно о етить, что все три величины — дисперсия, стандартное отклонение и относительное стандартное отклонение — характеризуют воспроизводимость результатов химического анализа. Иногда дисперсию выборочной совокупности обозначают не символом V (от англ. varian e), а (от англ. standard). [c.47]

Поскольку в аналитической химии число параллельных определений невелико (обычно выполняют два, три или пять определений), совокупность полученных результатов называют выборочной говокупностью или случайной выборкой то, следовательно, величины X и 5 будут соответственно именоваться выборочное среднее арифметическое значение и выборочное стандартное отклонение. Необходимо помнить, что систематические погрешности, выявленные при меньшей выборке, на фоне большей могут стать случайными и что математические ожидания (X) для различных по объему выборок также не совпадают. [c.128]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология