Особая точка бифуркация

В главе V показано, что внешние параметры изменяют структуру диаграмм состояния вплоть до бифуркаций отдельных особых точек. Варьирование значений параметров в пределах, соответствующих диаграмме одной и той же структуры, деформирует области ректификации и смещает границы между ними. Последнее обусловлено тем, что азеотропные точки, через которые проходят граничные многообразия, в общем случае смещаются при изменении внешних параметров. [c.203]

Решением этой модели является устойчивая особая точка, в которой проявляются бифуркации, приводящие к появлению устойчивого предельного цикла. [c.35]

Допустим, рассматривается диаграмма п-компонентной смеси при переменном давлении (температуре). При этом в общем случае все азеотропные точки диаграммы начнут перемещаться стой или иной скоростью вдоль элементов симплекса, на которых они расположены. Пока эти точки остаются в пределах тех же элементов симплекса и не появляется новых азеотропных точек, топологическая структура диаграммы равновесного испарения будет грубой, т. е. сохраняется. Если же в результате изменения давления (температуры) хотя бы один азеотроп исчезнет или появится, то топологическая структура при этом изменится. Давление или температура, соответствующие такому изменению структуры, и являются бифуркационными, а условию появления или исчезновения азеотропов, согласно теории бифуркаций, соответствуют особые точки, которые в дальнейшем будем называть тангенциальными азеотропами. Диаграммы с тангенциальными азеотропами относятся к классу тонких структур, подробно рассматриваемых в теории бифуркаций. [c.103]

Следовательно, особые точки, соответствующие однократно тангенциальным азеотропам, могут иметь индекс 1 или —1. Тогда качественный характер хода траекторий открытого испарения в окрестности этих точек будет таким же, как и в случае простых особых точек типа седло или узел. Наличие однократно тангенциальных азеотропов типа седло-узел и положительно-отрицательное седло исключено. Аналогично может быть рассмотрена стадия образования двукратно тангенциального азеотропа с последующей разветвленной бифуркацией. Из рис. V, 7, иллюстрирующего этот случай, видно, что двукратно тангенциальный азеотроп является особой точкой типа седло. [c.114]

Замена м-пропанола н-бутанолом вызывает бифуркацию вершины, отвечаюшей спирту (Со), с образованием бинарного азеотропа (С1) на стороне спирт — эфир. Структура диаграммы фазового равновесия жидкость— пар системы н-пентанол-1 — вода — н-бутилацетат образуется в результате выхода тройного азеотропа (К ) на сторону вода — эфир с образованием особой точки типа неустойчивый узел (№, ) и превращения седловинной точки на стороне спирт — эфир в особую точку типа седло (Со), соответствующей эфиру. [c.108]

Допустим, что параметры системы изменяются таким образом, что условие (1.3.22) превращается в равенство. В этом случае особая точка будет лежать на границе устойчивых фокусов и узлов. При изменении знака неравенства (1.3.22) на обратный в системе происходит бифуркация — особая точка становится устойчивым узлом (рис. 1.14,11). [c.38]

Па рис. П.8 представлены кинетика изменения во времени концентраций переменных и 2/ и фазовые портреты системы (П. 2.7) при различных значениях параметров системы. Когда значения параметров изменяются так, что происходит переход через точку бифуркации (аг/(1 - - г) = 1), то вместо устойчивой особой точки (рис. П.8, а, б) в системе возникает предельный цикл — устойчивый автоколебательный режим (рис. П.8, в, г), которому теперь и передается устойчивость. [c.47]

Это имеет место вблизи точки бифуркации, когда одно из характеристических чисел р (или его вещественная часть) обращается в нуль и меняет знак. Одновременно меняется топология фазового портрета, в частности, число особых решений. [c.18]

Теперь, чтобы исследовать характер бифуркаций в полной системе (1.16), нужно изучить, как меняется тип особой точки в зависимости от параметров е, а, Ь и с всего лишь одного уравнения (1.18). В этом и состоит теорема сведения. [c.19]

При Л<Ль=2 имеется всего одно решение л =xФазовый портрет системы имеет тот же вид, что и на рис. 2.6 (особая точка — устойчивый узел). Система при этом не имеет триггерных свойств. При Л>2 появляются три стационарных состояния (рис. 2.7), крайние из них устойчивы (типа узла), среднее неустойчиво (седло). Величину л 1=1 также можно считать бифуркационным значением стационарных концентраций. Устойчивый узел преобразуется в седло и в его окрестности возникают два устойчивых узла. В терминах теории катастроф эта бифуркация соответствует сборке. [c.48]

Обсуждение механизмов структурного изменения может быть сделано количественным, используя теорию элементарных катастроф Тома [4]. На основании анализа универсальных разверток , соответствующих сингулярностям особого типа, эта теория дает математическую модель структурных изменений в окрестности точки бифуркации. Возможность использования теории элементарных катастроф для описания изменений молекулярной структуры впервые была отмечена Коллардом и Холлом [5]. Примером является функция /, определяемая уравнением (3), которая называется разверткой эллиптической омбилической точки [c.60]

Прежде чем найти и подтвердить множественность решений, исследователи рассматривают наблюдаемые устойчивые решения будет ли это особая точка или колебательное решение в качестве единственного устойчивого решения системы. Такие заключения во многих случаях корректны, например в случае бимолекулярной модели (1968). Кроме того, исследователи предполагают, что если в одних экспериментальных условиях в системе имеется одна устойчивая особая точка, а в других — устойчивый предельный цикл, то для того, чтобы наблюдался устойчивый предельный цикл, необходимо, чтобы устойчивая особая точка стала неустойчивой. Во многих случаях такое предположение оправдывается, однако имеются примеры, в которых устойчивая особая точка и устойчивый предельный цикл существуют одновременно, разделенные неустойчивым предельным циклом. Очевидно, что теория бифуркаций может показать, что все возможные бифуркации приводят к появлению широкого набора разнообразных комбинаций устойчивых и неустойчивых, колебательных и неколебательных решений. В химической литературе этот факт четко установлен (Гарел [52]) известны также многочисленные подобные примеры в литературе по бифуркациям. Тем не менее даже в 1980 г. еще появлялись в химической литературе исследовательские работы, основанные исключительно на вторичном открытии роли бифуркаций (см., например, [111]). [c.76]

Число решений. В случае нелинейных систем одна из интересных особенностей системы состоит в том, что появляется возможность получения множественных решений. В том случае когда система подвергается бифуркации, могут существовать такие интервалы параметров, в которых системе присуще только одно устойчивое решение, представляющее собой устойчивую особую точку практически во всех случаях. В ином же интервале параметров при реализации бифуркации системы эта особая точка в результате бифуркации дает множественные решения. Например, в простой двумерной системе Лефевра [66] единственная возможность бифуркации исходной устойчивой особой точки представляется в виде неустойчивой особой точки, окруженной устойчивым предельным л иклом. [c.77]

Козффициенты р, д являются функциями параметров системы — в рассмотренном случае параметров аи аг, Ь Ъ . Области различных особых точек >добно представить на плоскости р, д (рис. 15.6). Корни Ки Яг имеют отрицательную действительную часть только при р > О, д > 0. Комплексные корни, соответствующие фокусам, находятся только в области д>/)74, т. е. между ветвями параболы д = />74, а область д < р /А соответствует узлам. Центры располагаются на положительной стороне оси ординат—при /) = 0, д>0. При изменении параметров системы изображающая точка может пересечь границу области. В этом случае происходит бифуркация. [c.492]

Рис. V, 7. Образование граничного двукратно тангенциального азеотропа с индексом —I на двумерной сфере (случай 3-комионентных смесей) а—момент до слияния особых точек б—двукратно тангенциальный азеотроп в—вторичная бифуркация.

Рис. V, 7. Образование граничного двукратно <a href="/info/384636">тангенциального азеотропа</a> с индексом —I на двумерной сфере (случай 3-комионентных смесей) а—момент до слияния <a href="/info/92372">особых точек</a> б—двукратно <a href="/info/384636">тангенциальный азеотроп</a> в—вторичная бифуркация.

Таким образом, в рассматриваемой химической реакции возможны разные изменения переменных в зависимости от соотношения значений констант скоростей при 4 2 > кокх—затухаюш ие колебания концентраций переносчиков при 4 2 < кокх—монотонное бесколебательное приближение концентраций к стационарным. Соотношение параметров, при котором 4 2 = кок, соответствует бифуркации, т. е. изменению типа особой точки системы уравнений (1.3.2). [c.35]

Исследование устойчивости точки (О, 0) приводит к характеристическому уравнению, оба корня которого действительны и отрицательны при сг< ст и имеют разные знаки при ст>сг, т. е. в первом случае режим вымывания устойчив (устойчивый узел), во втором — неустойчив (седло). Исследование характера устойчивости особой точки (4.5) показывает (см. [П47]), что прип> 1 она может стать неустойчивой. На рис. 4.1 в плоскости параметров сг, б проведены линии бифуркации — границы потери устойчивости особой точки для л=2 и 3. При увеличении порядка ингибирования п область неустойчивости расширяется и в пределе при п- оо занимает все пространство левее кривой сгСб)=(т. [c.82]

Отметим также, что система ФХН при определенных параметрах испытывает бифуркацию, которая приводит к появлению в нуле сложной особой точки типа седло-фокус. При этом траектории в фазовом пространстве W, х, у могут иметь сложный многообходный характер. Соответствующие последовательности БИ носят признаки квазистохастичности и состоят из больших выбросов с различным числом малых осцилляций между ними (см. рис. 9.5, б -и 9.6,6). [c.181]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология