Множественность решений

Анализ кривых зависимостей фактора эффективности от модуля Тиле показывает, что для гранул пористого катализатора область множественных решений соответствует сочетаниям больших значений Р и 7, редко встречающихся на практике. [c.162]

Множественность решений означает, что можно найти 1 ) (х), отличную от нуля, которая удовлетворяет полученным условиям. При г ) (х) = О суш ествует только одно решение (х) = Т х). Исследование решения последнего дифференциального уравнения с указанными граничными условиями было выполнено Амундсоном [131 и привело к следующему критерию единственности стационарного профиля [c.162]

Аналогичным образом можно доказать неустойчивость промежуточных стационарных режимов и в том случае, когда множественные решения появляются вследствие сильного ускорения реакции ее продуктами или торможения исходными веществами. [c.117]

Характер переходов между режимами зависит от того, попадает ли величина в интервал <Г <Г 3x0 где задача с фиксированными значениями Со, 7 о имеет множественные решения. Возможные режимы при 4,5 > 0 >2 таковы же, как и в случае 3. [c.138]

Наряду с этим, необходимо отметить следующее. Как показывают теоремы У1-2 и У1-3, любой теплообменник в оптимальной структуре ТС может быть заменен любым количеством параллельных прямоточных и (или) противоточных аппаратов без изменения общей поверхности теплообмена, что предполагает множественность решения. Это основная причина применения метода последовательного приближения для определения необходимых уело-, ВИЙ оптимальности структуры. Для выбора определенной структуры используется дополнительный критерий — минимальное количество аппаратов (п. 5 методики синтеза внутренней подсистемы с использованием диаграммы энтальпии потоков). [c.246]

Из этих трех режимов практический интерес имеет высокотемпературный, поскольку в нем, несмотря на низкую температуру исходной реакционной смеси, такую что W Tx , 0) 0, достигаются высокая температура внутри реактора и высокая степень превращения. Необходимые для осуществления этого режима параметры процесса можно определить, анализируя построенную в пространстве этих параметров бифуркационную поверхность, ограничивающую область множественности решений задачи (4.16) — (4.17). Проекция этой поверхности на плоскость Гщ — Тк, рассчитанная при значениях параметров, соответствующих рис. 4.8, изображена на рис. 4.10. В заштрихованной области (а) такой плоскости система (4.16) —(4.17) имеет три решения. В данном случае интерес представляет левая граница этой области, на которой возможен переход от неэффективных низкотемпературных режимов к высокотемпературным, а время контакта в высокотемпературных режимах минимально и равно т . [c.113]

Предположим, что кинетические закономерности описываются уравнениями (1,21). Тогда графики функций (11,11) и (П,12) будут иметь вид, изображенный на рис. П-1 (для трех различных значений скорости потока д). Точки пересечения соответствуют значениям Са, для которых Мв = Мл, и представляют собой стационарные состояния. Множественные решения возможны только для достаточно малых потоков. В частности, можно отметить, что при условиях, соответствующих линии В, сравнительно малые возмущения скорости потока д могут сдвинуть стационарное состояние в начало координат и полностью погасить цепную реакцию. [c.29]

Во-первых, необходимо отметить, что, хотя множественные решения требуют равенства функции нулю при некоторых зна- [c.34]

Очевидно, что это условие приводит только к слабо заниженным результатам значение коэффициента теплопередачи, при котором и (УСр) = 1, находится почти на границе между единственным и множественным решением. [c.40]

Даже когда учитываются такие явления, как противоток, и допускается возможность неединственности решений, появление множественных стационарных состояний в общем не обязательно и зависит от значений параметров, характеризующих изучаемую систему. Численные исследования уравнения (VI, 12), проведенные Раймондом и Амундсоном (1964 г.) дают единственное либо множественные решения в соответствии с выбранными значениями параметра. Предполагается, что кинетика описывается уравнением реакции первого порядка, которое с учетом линейного соотношения (VI, 11) дает [c.130]

Результат численного интегрирования уравнения (VI, 20) воспроизведен для случая множественности решений на рис. 1-10 для следующих групп параметров [c.132]

Пример У1-2. Решить уравнение (VI, 40) с граничными условиями (VI, 14), когда скорость реакции выражается простым уравнением первого порядка, R = = кС. Существуют ли значения к, при которых возможны множественные решения [c.133]

Множественные решения возможны для случая /г < 0. Если, например, k = —DnV(4L ), то уравнение (VI, 46) можно записать следующим образом [c.135]

Следовательно, значения й, которые удовлетворяют уравнению (VI, 58а), являются собственными значениями, и при таком выборе параметров результатом будут множественные решения в форме (VI, 47а) для любых 2. [c.136]

Предположим теперь, что имеются множественные решения уравнения (VI, 40) с граничными условиями (VI, 43). Обозначим эти решения и Сг(2) и определим разность [c.137]

Выберем один из приведенных столбцов, например в обозначениях Г], сохраняя знак выражения скорости реакции. Можно сделать вывод, что для уравнения (VI, 20) множественности решений не существует, если выполняется условие [c.140]

Результаты численного интегрирования для этой задачи дают множественные решения, если = 12,3-10 . Следует указать, что полученный результат не [c.144]

Сравнивая получепный результат с Со 10 моль/см , приходим к выводу, что в нашем случае переход к множественным решениям встречается в 38 раз чаще. [c.149]

Поскольку описание промежуточной фазы трубчатого реактора идеального вытеснения всегда ведет к единственному профилю, любая неединственность должна быть результатом множественности решений уравнений (VI, ЮОв) и (VI, ЮОг). Эти алгебраические соотношения идентичны по форме уравнениям (II, 71в) и (II, 71г) [c.149]

Для исследователя такой результат важен не только вследствие того, что при этом возможны множественные решения, но и потому, что он обнаруживает высокую чувствительность системы к относительно малым изменениям доли рецикла /, скорости потока и или константы скорости реакции к (в действительности — температуры), особенно при высокой степени превращения. Исследуемая система дает на выходе Се < 0,01 моль/фут при / = 0,78 и = = 0,82 моль/фут при / = 0,73. Это означает, что степень превращения уменьшается от 99 до 45% вследствие снижения доли рецикла только на 6%. Одним из методов, с помощью которого можно избежать множественности стационарных состояний, является выбор наклона линии рецикла, большего, чем наклон реакционной линии на всем промежутке [c.221]

Когда конкретная кинетика обусловливает возможность множественности решений, появятся они в действительности или нет зависит от размера частиц катализатора. [c.246]

Таким образом, для всех 7 и Оа существует только одно единственное решение. Однако для экзотермической реакции (/3 > 0) могут иметь место множественные решения для некоторой совокупности параметров. [c.227]

Если Р у) — немонотонная функция у в области (1,1 ), то она имеет локальный максимум при /щах локальный минимум при Ут п- Множественные решения существуют тогда и только тогда, когда [c.228]

Температура в перемещающейся зоне возрастает постепенно и ее профиль приобретает форму пика. Следует отметить, что квазигомогенная модель идеального вытеснения не может описать рассмотренное явление правильно в области множественных решений, где может происходить зажигание, либо потухание реакции. В этом случае необходимо учитывать продольный перенос тепла и вещества. [c.162]

В литературе имеются примеры и более сложных множественных решений. Так, в работе Ариса и Амундсона [11] рассматриваются появляющиеся одновременно в двумерных системах множественные особые решения и множественные предельные циклы. [c.77]

К другим недостаткам уравнений локального состава относится взаимная корреляция параметров j и наличие проблемы неоднозначности решения уравнений относительно параметров и относительно предсказываемой взаимной растворимости компонентов. Даже когда взаимная растворимость компонентов бинарных систем, входящих в многокомпонентную, рассчитывается однозначно, возможна множественность решения относительно составов жидких фаз в многокомпонентной системе [2291. [c.210]

При описании свойств системы в полном концентрационном интервале разные наборы параметров не равноценны. Это следует уже из того, что число возможных наборов для разных составов бинарной системы часто не совпадает. Вопросы множественности решений уравнений локальных составов, дискриминации решений рассмотрены в работах [238, 2391. При наличии подробных данных в полном концентрационном интервале бинарной системы поводом для отбраковки того или иного набора параметров может служить -более высокое, чем у другого набора параметров, значение Q, неестественные для системы значения расчетных предельных коэффициентов активности, в расслаивающейся системе — присутствие ложных экстремумов на расчетной кривой (х) последнее проанализировано в работе [2391. [c.214]

Одну из попыток математически описать поведение системы, в которой наблюдаются хаотические колебания, представляет теория бифуркаций [141]. Бифуркцию можно определить как возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений но мере удаления системы от состояния равновесия. В общем случае при возрастании некоторого характеристического параметра р происходят последовательные бифуркции. На рис. 7.15 показано единственное решение при р = р , но при р = Рч единственность уступает место множественным решениям [80]. [c.320]

Ван-Хирден [12] проанализировал устойчивость сложных процессов в аппаратах с кипящим слоем и отметил, что множественность стационарных профилей может быть следствием только множественности решений уравнений, описывающих граничные условия. Это, кстати, ясно и из сказанного выше. Поэтому исследование устойчивости в этом случае будет таким же, как и для аппаратов идеального перемешивания. В частности, для реакции первого порядка [w = /с ехр ( ElRT) С] критерий единственности имеет вид [c.162]

По сравнению с данным значением U/ q p) = 1,6, при котором возможны множественные решения, опредс.ченне (а) очень грубое, а определение (б) вполне приемлемое. Переход от единственности к множественности стационарного состояния происходит, вероятно, при Ul(q p) 2. Большая точность расчетного оиреде.г е-ния (б) обусловлена тем, что температура реактора в стационарном состоянии близка к значению, которое соответствует максимуму dR/dT. Подтвердить это можно путем вычисления Т из уравнения (II, 86) [c.46]

Так как термин стационарное состояние означает только условие, при котором все производные по времени от переменных состояния равны нулю, то для исследования устойчивости и множественности решений необходимо более точно определить систему. Выше было показано, что для трубчатых реакторов идеального вытеснения возможны только единственные профили. Однако когда процессы в реакторе более сложны, существует возможность появления множественных стационарных состояний [Ван Хирден (1958 г.)1. Противоточное движение может быть результатом не только рецикла или управления с обратной связью, но и эффектов обратного перемешивания, как это показано в экспериментальных работах Вика и Вортмейера (1959 г.). Вика (1961 г.), Падберга и Вика (1967 г.), а также Вика, Падберга и Аренса (1968 г.). [c.130]

То, что модели частиц катализатора могут иметь такой характер, было в действительности понято даже раньше, когда вычисление факторов эффективности, проведенное Карберри (1961 г.), Тинклером и Метцнером (1961 г.), а также Вейзом и Хиксом (1962 г.), дало множественные решения для некоторых областей значений модуля Тиле. Робертс и Саттерфильд (1966 г.) установили, что это справедливо также для изотермической каталитической модели [c.132]

Существешшм достоинством представления равновесий жидкость-пар на основе гибридной нейронной сети является исключение итерационных расчетов и множественности решений в ходе определения составов равновесных жидких фаз. Последнее обстоятельство значительно упрощает и решение задачи расчета и моделирования процесса гетероазеотропной ректификации смесей. [c.75]

Схема реакции 15, 30]. При математическом моделировании этой реакции, рассматриваемом ниже, были получены различные решения. Было показано, что для некоторых значений параметров, кроме трех особых решений, двух устойчивых и одного неустойчивого, существует и предельный цикл (множественность решений). Реакция исследовалась несколькими группами ученых. Модель Буассонада [15] состоит из двух частей, первая из которых описывает концентрационные колебания. При этом введение дополнительной схемы привело [c.14]

Математические решения. Билоус и Амундсон обсуждают множественные решения системы и при этом рассматривают следующие три возможности в плоскости решений единственная особая точка, две особые точки и три особые точки. Рассмотрена устойчивость этих осо- [c.26]

Решения математической модели. Здесь также были получены множественные решения, включая устойчивый и неустойчивый предельные циклы. Осббый интерес в этом случае представляет возможность прекращения колебаний, т. е. контроля поведения системы. Кроме того, в данной работе авторы, ссылаясь на теорию бифуркаций Пуанкаре, показывают, что параметр Са играет в системе роль бифуркационного параметра. [c.27]

Тогда как в ранних моделях Селькова существует единственный предельный цикл, более поздние его модели имеют множественность решений как колебательных, так и неколебательных. И эти последние математические модели чрезвычайно интересны, так как это самые ранние модели биохимических колебаний, которые четко показывают наличие решений более сложных, чем простой предельный цикл. Такие решения характерны для большинства химических колебательных реакций, за исключением систем в моделях ППР. [c.37]

Прежде чем найти и подтвердить множественность решений, исследователи рассматривают наблюдаемые устойчивые решения будет ли это особая точка или колебательное решение в качестве единственного устойчивого решения системы. Такие заключения во многих случаях корректны, например в случае бимолекулярной модели (1968). Кроме того, исследователи предполагают, что если в одних экспериментальных условиях в системе имеется одна устойчивая особая точка, а в других — устойчивый предельный цикл, то для того, чтобы наблюдался устойчивый предельный цикл, необходимо, чтобы устойчивая особая точка стала неустойчивой. Во многих случаях такое предположение оправдывается, однако имеются примеры, в которых устойчивая особая точка и устойчивый предельный цикл существуют одновременно, разделенные неустойчивым предельным циклом. Очевидно, что теория бифуркаций может показать, что все возможные бифуркации приводят к появлению широкого набора разнообразных комбинаций устойчивых и неустойчивых, колебательных и неколебательных решений. В химической литературе этот факт четко установлен (Гарел [52]) известны также многочисленные подобные примеры в литературе по бифуркациям. Тем не менее даже в 1980 г. еще появлялись в химической литературе исследовательские работы, основанные исключительно на вторичном открытии роли бифуркаций (см., например, [111]). [c.76]

Число решений. В случае нелинейных систем одна из интересных особенностей системы состоит в том, что появляется возможность получения множественных решений. В том случае когда система подвергается бифуркации, могут существовать такие интервалы параметров, в которых системе присуще только одно устойчивое решение, представляющее собой устойчивую особую точку практически во всех случаях. В ином же интервале параметров при реализации бифуркации системы эта особая точка в результате бифуркации дает множественные решения. Например, в простой двумерной системе Лефевра [66] единственная возможность бифуркации исходной устойчивой особой точки представляется в виде неустойчивой особой точки, окруженной устойчивым предельным л иклом. [c.77]

Еще больше интересных примеров множественных решений можно получить для трехмерных систем. Более того, некоторые из этих систем (моделей) характеризуются разными наборами множественных решений для разных интервалов параметров. Наиболее полный анализ подобных случаев рассмотрен Гарелом и Росслером I54, 123]. [c.77]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология