Бифуркаций теория

В настоящее время существуют различные точки зрения на природу возникновения хаотических колебаний. Теории особенностей гладких отображений и теории бифуркаций строго доказывают факт, что хаотические колебания могут возникать в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, число которых не меньше трех [143]. Примером может служить известная система уравнений Лоренца, связывающая скорость жидкости X с величинами У и характеризующими ее температуру [1441 [c.321]

Используя метод теории бифуркации [21], можно показать, что при В>В = А - - задача (30) —(32) имеет, по крайней мере, одно строго положительное периодическое по t решение, следовательно, эта задача не обладает свойством стабилизации решений. [c.112]

Перечень достижений естествознания XX в. фундаментальной важности был бы неполным без еще одного эпохального события, которое произошло совсем недавно - в конце 70-начале 80-х годов. Речь идет о возникновении нелинейной неравновесной термодинамики, или физики открытых систем. Ее становление обязано прежде всего И.Р. Пригожи-ну, разработавшему теорию динамических состояний макроскопических систем особого типа - диссипативных самоорганизующихся структур -и теорию бифуркаций, дифференцирующую беспорядочные флуктуации на обратимые (равновесные) и необратимые (неравновесные). Они составили основу для изучения явлений, суть которых определяется неразрывной связью макроскопических свойств большого ансамбля с индивидуальными свойствами микроскопических составляющих. В открытых системах, находящихся вдали от положения равновесия, могут протекать процессы, приводящие к спонтанному возникновению порядка из хаоса. Источником самопроизвольного конструирования пространственного и пространственно-временного порядка на всех уровнях структурной организации системы является необратимость бифуркационных флуктуаций. [c.10]

Для решения этой задачи предложено применить теорию бифуркаций. Рассмотрим в качестве примера реакцию взаимодействия кислорода с водородом на металлических катализаторах [4, 17], протекающую по механизму, состоящему из следующих стадий [c.87]

Известно, что аналитические и вычислительные методы являются полезными средствами для выяснения механизмов колебательных химических реакций (см., например, [1, 2]). Среди этих методов — аналитические методы теории возмущений, такие, как анализ устойчивости по линейному приближению и теория бифуркаций (см., например, [3]), которые используются для исследования топологии пространства решений, а также численные методы, в том числе моделирование и компьютерное моделирование. Недавно в качестве дополнительного средства для изучения моделей колебательных реакций был предложен новый метод расчета, известный как анализ чувствительности [4—6]. Анализ чувствительности обещает стать быстрым недорогостоящим способом изучения зависимости моделирований от параметров, имеющихся в модельных уравнениях. Это, по сути, численный метод исследования топологии решения в пространстве параметров. [c.422]

За последние два десятилетия естествознание сумело приблизиться к пониманию явлений спонтанного возникновения высокоупорядоченных структур во многих самых разнообразных физических, химических и биологических открытых системах. Было осознано существенное различие в природе равновесных и неравновесных процессов, выработан новый взгляд на случайность и необходимость, разработаны теория диссипативных самоорганизующихся структур и теория бифуркаций - необратимых флуктуаций, играющих конструктивную роль в возникновении порядка из хаоса. Это стало возможно благодаря созданной главным образом трудами И. Пригожина и его школы нелинейной неравновесной термодинамики. Открывшиеся новой наукой перспективы необычайно широки и многообещающи. Ее общие положения о процессах самоорганизации в открытых диссипативных системах, классических и квантовых, биологических и неорганических, легли в основу исследований во многих областях естествознания и гуманитарных наук. Становление нелинейной неравновесной термодинамики привело к качественным изменениям таких фундаментальных понятий в физике, как время и динамика. [c.88]

НИЯ заинтересованный читатель может найти в указанных выше работах). Мною также будет обсуждено использование анализа чувствительности для определения и описания структурной устойчивости многопараметрических моделей. Более стандартные топологические методы или методы, основанные на теории бифуркаций, для оценки структурной устойчивости обычно ограничены однопараметрическими системами уравнений — ограничение, которое сужает их применение к моделям реальных систем. [c.423]

Математический феномен, называемый бифуркации, был введен Пуанкаре [85]. Это явление, несмотря на СЕВОЮ специфичность, имеет весьма общие приложения [48]. Так как теория — это исследование получаемых решений при изменении параметров системы, то и появление, и исчезновение колебательных решений могут быть также изучены при помощи теории бифуркаций. [c.75]

Колебания представляют собой качественные характеристики динамической системы глобальный анализ и в частности, теория бифуркаций являются первостепенным способом распознавания таких характеристик динамической системы. С другой стороны, количественные аспекты колебаний, такие, как амплитуда и период, позволяют получить детальную информацию о каждом отдельном колебании. [c.78]

Согласно теории диссипативных систем и теории бифуркаций Пригожина, возникновение упорядоченной структуры из беспорядка означает неожиданное и резкое отклонение поведения системы от соответствующей термодинамической ветви, скачкообразное изменение свойств, получившее название "бифуркация". Возникновение бифуркаций связано с флуктуациями - беспорядочным, чисто случайным явлением, которое проявляется в определенных условиях и вызвано специфическими молекулярными свойствами микроскопических составляющих, т.е. тем, что по определению не учитывается равновесной термодинамикой и линейной неравновесной термодинамикой. В равновесных системах флуктуации симметричны, обратимы, случайны и образуют сплошной фон. Их эволюция может быть ограниченной и кратковременной, а поэтому они, как правило, не влияют на свойства системы. Известным исключением является флуктуация плотности, определяющая броуновское движение коллоидной частицы и классическое релеевское рассеяние света гомогенной средой. Общий характер равновесных процессов, в которых отсутствуют бифуркации, не зависит от особенностей внутреннего строения и взаимодействий микроскопических частиц. Именно благодаря этому обстоятельству равновесная термодинамика обладает единым теоретическим базисом - универсальной теорией, не учитывающей внутренних свойств элементарных составляющих и, следовательно, справедливой для всех процессов такого рода, и поэтому может строиться как наука исключительно на аксиоматической основе. [c.92]

Необратимые флуктуации и механизм самоорганизации белка. Предполагают, что в начальный период все флуктуации - периодические вращения атомных групп вокруг ординарных связей - являются беспорядочными и несинхронизированными друг с другом. В равновесных системах все флуктуации обратимы и согласно основной теории вероятности (так называемого закона больших чисел) составляют пренебрежимо малые поправки к средним значениям. За редким исключением (например, рассеяние света гомогенной средой и броуновское движение, вызываемые обратимыми флуктуациями плотности) они не коррелируют со свойствами системы и не оказывают влияние на ее переход в равновесное состояние В неравновесных системах среди множества обратимых, неустойчивых флуктуаций возникают необратимые флуктуации, оказывающие радикальное воздействие на эволюцию системы. Они не остаются малыми поправками к средним значениям, а существенно меняют сами эти значения, стирая различие между случайным отклонением и макроскопическим проявлением системы. При свертывании белка подавляющее большинство флуктуаций также обратимо и неустойчиво. Но некоторые из них приводят к сближению определенных аминокислотных остатков, и тогда те могут эффективно взаимодействовать между собой. По своим последствиям образующиеся контакты между валентно-несвязанными атомами могут быть подразделены на близко-, средне- и дальнодействующие. Флуктуации, приводящие к образованию первого вида, изменяют взаимное расположение атомных групп в пределах одного аминокислотного остатка второго вида - расположение остатка относительно соседних в последовательности третьего - относительно удаленных по цепи остатков. В зависимости от конформационного состояния белковой цепи по ходу ее сборки одни и те же флуктуации могут быть как обратимыми, так и необратимыми. Последними, т.е. бифуркационными, флуктуации становятся только в том случае, если каждая из них возникает в строго определенном месте последовательности бифуркаций между флуктуирующим клубком и трехмерной структурой. Обратимые флуктуации бесследно исчезают, а необратимые, стабилизированные специфическими невалентными взаимодействиями остатков, остаются в виде гигантских "застывших флуктуаций". [c.96]

Термодинамическая теория самоорганизации белка разработана на основе нелинейной неравновесной термодинамики, а именно, теории диссипативных систем и теории бифуркаций (см. гл. 1, 2). [c.586]

ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИИ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТАНГЕНЦИАЛЬНОЙ АЗЕОТРОПИИ [c.102]

При переходе от разреза к разрезу в общем случае траектории диаграммы равновесного испарения будут деформироваться. При этом ее топологическая структура может либо изменяться, либо оставаться неизменной. Здесь представляет теоретический и практический интерес разбиение пространства варьируемого параметра на области, которым соответствует одна и та же топологическая структура диаграммы. Общий подход к решению задач такого типа дается теорией бифуркаций- динамических систем [69]. [c.102]

Изменение топологической структуры диаграммы связано с изменением структуры рассматриваемого каркаса и определяется совмещением или расщеплением точек пересечения многообразий /Сг = 1. Последнее и определяет появление или исчезновение азеотропных точек на диаграмме в полном соответствии с теорией бифуркаций, а именно путем слияния в одну по крайней мере двух азеотропных точек или путем распада одной азеотропной точки по меньшей мере на две. [c.102]

Согласно теории бифуркаций динамических систем, вопрос об изменении топологической структуры диаграмм при переменных параметрах можно рассматривать при сколь угодно малых изменениях этих параметров около интересующих нас значений [69]. Если топологическая структура диаграммы при этом не меняется, то данная структура является грубой устойчивой. Если же малые изменения параметров приводят к изменению топологической структуры диаграммы, то такая структура называется тонкой, неустойчивой. [c.103]

Допустим, рассматривается диаграмма п-компонентной смеси при переменном давлении (температуре). При этом в общем случае все азеотропные точки диаграммы начнут перемещаться стой или иной скоростью вдоль элементов симплекса, на которых они расположены. Пока эти точки остаются в пределах тех же элементов симплекса и не появляется новых азеотропных точек, топологическая структура диаграммы равновесного испарения будет грубой, т. е. сохраняется. Если же в результате изменения давления (температуры) хотя бы один азеотроп исчезнет или появится, то топологическая структура при этом изменится. Давление или температура, соответствующие такому изменению структуры, и являются бифуркационными, а условию появления или исчезновения азеотропов, согласно теории бифуркаций, соответствуют особые точки, которые в дальнейшем будем называть тангенциальными азеотропами. Диаграммы с тангенциальными азеотропами относятся к классу тонких структур, подробно рассматриваемых в теории бифуркаций. [c.103]

Хотя до сих пор тангенциальная азеотропия кратности больше единицы не имеет экспериментального подтверждения, исследование этого явления с помощью теории бифуркаций представляет интерес, ибо позволяет уточнить некоторые положения теории топологических структур диаграмм открытого испарения. [c.111]

Теория бифуркаций Пуанкаре. Рассмотрим вязкую упругопластическую систему, медленное движение которой (ползучесть) описывается уравнением [c.171]

Известно [1 — 4], что в указанных системах возможны ситуации, когда в результате потери устойчивости на смену более простым режимам (однородным или одномерным — однородным в сечении реактора) рождаются более сложные устойчивые режимы — стационарные или периодические. Появление таких режимов изучается методами теории бифуркаций [5]. Эти режимы, в свою [c.96]

Связь между параметрами течения при захлебъгаании можно получить из уравнения (2.96), используя методы теории бифуркаций. Отметим, что в этом случае переменная, определяющая состояте дисперсного потока зависит от четырех параметров Удо, (Л о и либо И, так как является функцией к. Из соотношений (2.80) и (2.81) ясно, что вне зависимости от числа параметров, значения их в точках бифуркации определяются совместным решением двух уравнений N=0 и Л = 0. Используя для функции N выражение (2.96) и проводя необходимые вычисления, получаем [c.102]

Одну из попыток математически описать поведение системы, в которой наблюдаются хаотические колебания, представляет теория бифуркаций [141]. Бифуркцию можно определить как возникновение при некотором критическом значении параметра нового решения уравнений но мере удаления системы от состояния равновесия. В общем случае при возрастании некоторого характеристического параметра р происходят последовательные бифуркции. На рис. 7.15 показано единственное решение при р = р , но при р = Рч единственность уступает место множественным решениям [80]. [c.320]

Математически теория бифуркации весьма сложна. Кочень простой точно разрешимой ситуации приводит теория катастроф Рене Тома [142]. Эта ситуация применима к ситуации, когда описание объекта сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в потенциальном виде, т. е. = —-дУ дХ1, где [c.320]

В последние годы нашего века нелинейные явления вызывают особый интерес у специалистов самых различных областей знаний [1-5]. Как правило, внимание исследователей сосредоточено на термодинамическом и математическом аспекте проблемы. Например, применяют теории бифуркаций, нелинейных колебаний, методы неравновесной термодинамики. Парадокс изучения не слишком далеких от равновесия сложных физико-химических и технических систем (СФХТС), по моему мнению, заключается в том, что с усложнением системы усиливается ее линейность. В самом деле, основные законы природы линейны, либо описываются простыми уравнениями, в которых степень аргумента не выше четвертой. Сложные уравнения функциональных связей в природе скорее исключение, чем правило. Фундаментальные уравнения физики обычно имеют показатель степени при независимой переменной от 1 до 3. Законы типа Вина или Стефана-Больцмана встречаются крайне редко. Из теории планирования эксперимента известно, что Ф ТС описываются уравнениями линейного и квадратичного типа. [c.68]

Обсуждение механизмов структурного изменения может быть сделано количественным, используя теорию элементарных катастроф Тома [4]. На основании анализа универсальных разверток , соответствующих сингулярностям особого типа, эта теория дает математическую модель структурных изменений в окрестности точки бифуркации. Возможность использования теории элементарных катастроф для описания изменений молекулярной структуры впервые была отмечена Коллардом и Холлом [5]. Примером является функция /, определяемая уравнением (3), которая называется разверткой эллиптической омбилической точки [c.60]

Решения математической модели. Здесь также были получены множественные решения, включая устойчивый и неустойчивый предельные циклы. Осббый интерес в этом случае представляет возможность прекращения колебаний, т. е. контроля поведения системы. Кроме того, в данной работе авторы, ссылаясь на теорию бифуркаций Пуанкаре, показывают, что параметр Са играет в системе роль бифуркационного параметра. [c.27]

Бифуркационный анализ системы [112, ИЗ, 87]. Для того чтобы найти все решения, включая периодические, для математической модели системы в ППР, Уппал и др. [112] применили теорию бифуркаций. Для этого были использованы упрощенные формы уравнений, изучаемых Гарелом и Лапидусом [47] в частности, коэффициенты 2 и Ьз были приняты равными единице [c.27]

Прежде чем найти и подтвердить множественность решений, исследователи рассматривают наблюдаемые устойчивые решения будет ли это особая точка или колебательное решение в качестве единственного устойчивого решения системы. Такие заключения во многих случаях корректны, например в случае бимолекулярной модели (1968). Кроме того, исследователи предполагают, что если в одних экспериментальных условиях в системе имеется одна устойчивая особая точка, а в других — устойчивый предельный цикл, то для того, чтобы наблюдался устойчивый предельный цикл, необходимо, чтобы устойчивая особая точка стала неустойчивой. Во многих случаях такое предположение оправдывается, однако имеются примеры, в которых устойчивая особая точка и устойчивый предельный цикл существуют одновременно, разделенные неустойчивым предельным циклом. Очевидно, что теория бифуркаций может показать, что все возможные бифуркации приводят к появлению широкого набора разнообразных комбинаций устойчивых и неустойчивых, колебательных и неколебательных решений. В химической литературе этот факт четко установлен (Гарел [52]) известны также многочисленные подобные примеры в литературе по бифуркациям. Тем не менее даже в 1980 г. еще появлялись в химической литературе исследовательские работы, основанные исключительно на вторичном открытии роли бифуркаций (см., например, [111]). [c.76]

Современные методы прогнозирования основаны на использовании математического аппарата различной степени сложности. Различные методы количественного анализа и математического моделирования, включая элементы теорий бифуркаций и катастроф, содержатся и в настоящей работе. В то же время следует отметить, что эффективное згправление предприятием основано на умении квалифицированно принимать решения перспективного характера, которые не могут быть построены исключительно на математических расчетах и формализованных критериях в силу принципиальной неопределенности внешней среды в условиях рыночной экономики. [c.8]

Неплатежеспособность, т. е. утрату предприятием платежеспособности, следует рассматривать как скачкообразный переход сложной системы из одного состояния в другое. Изучением скачкообразных изменений, возникающих в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий, занимается математическая теория перестроек, более известная под названием теория катастроф . Основоположником данной концепции, основывающейся на теории особенностей Э. Уитни и теории бифуркаций динамических систем Ж. Пуанкаре [170] и А. Андронова [171, 172], признан Р. Томм. В нашей стране большое значение для распространения идей теории катастроф имели работы В. И. Арнольда и его известная книга Теория катастроф , в относительно доступной форме излагающая основы данной теории [173]. [c.174]

Развитие естественных наук далеко не сразу достигло уровня, необходимого для установления фундаментальных зависимостей между явлениями живой и неживой природы. Долгое время, вплоть до второй четверти XX в., физическое, химическое и особенно биологическое мировоззрения развивались в значительной мере независимо. Это был период раздельного естествознания, т.е. в значительной мере автономного существования трех его основных областей. Совершенствование их структурных организаций здесь происходило главным образом за счет локальных, возщкающих в пределах отдельных областей, бифуркационных изменений, резко обрывавших термодинамические ветви кумулятивного накопления научных данных. Локальными физическими бифуркациями можно считать, например, становление термодинамики и статистической физики, создание теории электромагнитного поля и теории относительности, разработку квантовой механики. Эти и ряд других выдающихся достижений физики открывали пути к изучению совершенно новых явлений, приводили к качественно новым понятиям, к коренному пересмотру существовавшего физического мировоззрения. Конечно, локальными они оставались недолго, но их воздействие на другие области естествознания осуществлялось через изменение структурной организации физических знаний, физического мировоззрения. [c.29]

В химии после возникновения первого собственного научного мировоззрения локальными бифуркациями, безусловно, следует считать создание классической теории химического строения, стереохимии углеродных молекул, периодической системы элементов. На структурную организацию биологических знаний существенно повлияло возникновение вирусологии, хромосомной теории наследственности, теории мутаций, классиче- [c.29]

Обратимся теперь к развитой И. Пригожиным нелинейной неравновесной термодинамике, важнейшими составными элементами которой являются, как отмечалось, теория диссипативных систем и теория бифуркаций [43]. К непременным условиям возникновения упорядоченной структуры в диссипативной системе следует отнести, во-первых, наличие обмена с окружающей средой веществом и/или энергией во-вторых, состояние системы должно находиться далеко от положения равновесия, где наблюдается нелинейность термодинамических уравнений движения, нарушение соотношения взаимности Онсагера и принципов локального равновесия и минимума производства энтропии Пригожина в-третьих, отклонение системы от равновесного состояния не может быть представлено путем непрерывной деформации последнего и, следовательно, отнесено к одной термодинамической ветви. Это условие будет соблюдаться в том случае, если малые изменения на входе вызывают большие отклонения на выходе или, иными словами, когда значения градиентов соответствующих термодинамических параметров (температуры, давления, концентрации) превышают критические величины. И, наконец, в-четвертых, организация упорядоченной макроскопической структуры должна быть результатом как случайного, так и детерминистического кооперативного (согласованного, синэргетического) движения микроскопических частиц. [c.91]

Согласно теории бифуркаций, переход цепи из состояния статистического клубка в строго детерминированную трехмерную структуру начинается с практически одновременного появления на разных участках цоследовательности независимых друг от друга необратимых флуктуаций. Первый этап структурирования таким образом включает немногочисленный ряд параллельно идущих независимых процессов формообра- вания как бы несвязанных друг с другом отдельных фрагментов. Чтобы Щ)оцессы могли совершаться действительно независимо, необходимо предположить конформационную гетерогенность природных аминокислотных последовательностей - чередование в белковой цепи структурно жестких [c.247]

III. Степень вытянутости (или свернутости) гибкой или полужесткой макромолекулы можно характеризовать параметром р, равным отношению расстояния между концами макромолекулы h к ее контурной длине L. В покоящихся системах имеется довольно простая корреляция между наиболее вероятным значением р = (р) (р также распределено по закону Максвелла) и параметром Флори /. Однако, как было показано в лаборатории физической химии полимеров ИВС АН СССР и независимо де Женном, с позиций термодинамики и физической кинетики, параметр р имеет более фундаментальное значение, чем / дело в том, что — и тут в игру вступает теория диссипативных структур и бифуркаций Пригожина, развитая за последние 5 лет — по достижении некоторого критического значения р (причем, совершенно неважно, каким путем оно достигнуто) даже изолированная макромолекула теряет устойчивость по отношению к распределению поворотных изомеров и распрямляется (т. е. приобретает полностью транс-конформацию). В ансамбле многих макромолекул (большой системе) этот эффект резко усиливается, что наиболее убедительно было показано Келлером. [c.5]

В терминах теории Пригожина при р система претерпевает бифуркацию и переходит с термодинамической на нетермодинамическую ветвь, где устойчивой формой становится НМС типа КВЦ или нематической фазы. [c.6]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология