Особая точка фокус

Неустойчивый фокус — соответствует двум комплексно-сопряженным корням уравнения (6.19), имеющим положительную действительную часть. Фазовая траектория является разворачивающейся от особой точки спиралью (рис. 6.9, в). Движение системы описывается уравнением (6.20), но в нем [c.181]

В описанных примерах мы имеем дело с различными типами особых точек, во всех трех случаях расположенных в начале координат. Для гармонического осциллятора без трения все фазовые кривые замкнуты, имеют форму эллипса. Они охватывают особую точку, называемую центром. Для затухающих колебаний особая точка является асимптотической точкой всех кривых, имеющих вид вложенных друг в друга спиралей. Такая точка называется фокусом. Наконец, при апериодическом затухании все кривые проходят через особую точку, именуемую узлом. [c.489]

Действительные части Яц Хг отрицательны, т. е. а( + 2 < 0. В системе происходят затухающие колебания особая точка, на которую накручиваются спиральные фазовые траектории, есть устойчивый фокус. [c.491]

Действительные части Яи Хг положительны, т. е. а, + 62 > 0. Особая точка есть неустойчивый фокус, соответствующий колебаниям, нарастающим по амплитуде. [c.491]

Рис. 15.5. Типы особых точек 1 — устойчивый узе.и, 2 — неустойчивый узел, 3 — устойчивый фокус, 4 — неустойчивый фокус, 5 — седло, 6 — центр

Д1 + >2 < О особые точки изменяют свой характер неустойчивый фокус центр устойчивый фокус. [c.492]

Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Движение вблизи положения равновесия имеет колебательный характер. Интегральные кривые на фазовой плоскости имеют вид спиралей, выходящих из особой точки. Этому типу особой точки дано название ф о-к у с. Особая точка является фокусом, если выполнены условия [c.434]

Частота малых колебаний вокруг особой точки типа фокуса выражается как [c.434]

Очевидно, что особая точка может быть фокусом только, если величина Фу х отрицательна. [c.435]

Из теории дифференциальных уравнений известно [160], что, в зависимости от вида интегральных кривых вблизи особой точки, различают 4 типа этих точек узел, седло, фокус и центр (рис. 136). Покажем, какие из этих возможностей осуществимы в треугольнике Гиббса . В азеотропных точках, а также в вершинах треугольника Гиббса [c.190]

В соотношениях (1У-12а) и (1У-12б) всегда 002 >0, в связи с чем особая точка О1 может иметь характер узла или фокуса 2) в особой точке О2 [c.189]

Координаты особых точек находят из соотношений (1У-4), (1У-5). В отличие от режима свободных колебаний при скачкообразных изменениях точки Оу и О2 никогда не попадают в начало координат. Стационарное состояние процесса при вынужденном движении, как и при свободных колебаниях, принципиально возможно только в особой точке О], имеющий характер узла или фокуса. [c.191]

Тогда, исходя из уравнения (1У-29а), получим, что коэффициент линеаризованного уравнения со <0 в точке (р2, 0) (т. е. для ближайшей к оси ординат особой точки), и соо>0 в точке (р2, 0) (т. е. особая точка О2 носит характер седла , а особая точка О1 — узла или фокуса ). [c.204]

Вследствие того что характер особой точки О2 инвариантен по отношению к изменениям параметров процесса, качественная структура фазовых портретов будет определяться в основном характером особой точки О1, которая может быть, согласно уравнениям (У-10а) и (У-106), только узлом или фокусом. [c.217]

Следовательно, вынужденное устойчивое движение системы регулирования, как и в случае свободных колебаний, принципиально возможно только в особой точке Оь имеющей характер узла или фокуса. [c.219]

При изменении характера движения в окрестности особой точки 0 с неустойчивого узла на неустойчивый фокус основные свой ства системы регулирования, характеризуемой законом U x, у), сохраняются амплитуда автоколебаний стремится к нулю, устойчивость обеспечивается при любых начальных условиях. В этом случае, как показано на рис. 46, может быть исключена структура, соответствующая разомкнутой системе, и уравнение регулятора будет таково [c.263]

Синтез САР с переменной структурой для модели, согласно уравнению (табл. 2, случай 5), будем вести для случая, когда особая точка О, представляет собой неустойчивый фокус [c.267]

Таким образом, для объектов, в фазовой плоскости которых находится более двух особых точек, при законе управления согласно уравнению (У1-9) обеспечивается одно положение равновесия и устойчивость при любых начальных условиях правее особой линии. При изменении характера движения в окрестности особой точки О1 с неустойчивого фокуса на неустойчивый узел, как это было показано в разделе 2 этой главы, необходимо усовершенствовать закон управления и7 х, у) и на некоторое время определяемое совокупностью координат л , у, размыкать систему. [c.276]

Предположим, что в окрестности особой точки 0 изменяется характер движения и особая точка 0 становится устойчивым фокусом. Рассмотрим синтез и поведение системы, характеризуемой законом управления иу х, у) для этого случая. Как видно из рис. 52, а—в, все рассмотренные выше свойства системы сохраняются. При изменении параметров объекта, если особые точки О2 и Оз приближаются к началу координат, свойства системы также сохраняются (рис. 53, а). [c.276]

Конструирование фазовой плоскости показано на рис. 55, а—в. Примем, что особая точка 0 будет устойчивым фокусом. Уравнение регулятора будет выглядеть так [c.278]

Если при изменении параметров объекта изменится характер движения в окрестности особой точки Оу и она из неустойчивого фокуса превратится в неустойчивый узел, то система может потерять устойчивость. Поэтому усовершенствуем закон [/3 будем на некоторое время, определяемое совокупностью координат X, у, размыкать систему. Фазовая плоскость системы в этом случае приобретает вид, показанный на рис. 58, а уравнение регулятора будет [c.280]

На рис. 59 приведены фазовые портреты для случаев, когда движение в окрестности особой точки О1 имеет вид неустойчивого фокуса или неустойчивого узла. Как следует из рис. 59, при некоторых значениях координат х, у система теряет устойчивость. [c.286]

Особая точка 01, определяющая номинальную температуру процесса обжига молибденитовых концентратов, является неустойчивым фокусом, так как [c.365]

Примеры решений рассматриваемых уравнений в форме фазовых портретов приведены на рис. 2.6 и рис. 2.7. Эти решения отличаются только значениями критерия Льюиса. На рис. 2.6 имеет место особая точка типа узла, а на рис. 2.7 — типа фокуса. Если значение Ь у превышает критическое (для режимов, приведенных на рисунках, Ь = 3,25), то возникает предельный цикл. С возрастанием числа предельный цикл расширяется и его асимметрия возрастает. На рис. 2.8 представлена зависимость формы предельных циклов от величины Таким образом, если уравнения (2.23) имеют единственное решение, то стационарные режимы соответствуют либо устойчивым узлу или фокусу, либо предельному циклу. [c.83]

Корни характеристического уравнения позволили определить наиболее реальные переходные характеристики (/) и п 1). Например, при чисто мнимых корнях характеристического уравнения (особая точка типа центра) = 1 полу-чаем незатухающие колебания п относительно с постоянной амплитудой. При обоих вещественных отрицательных корнях (особая точка типа устойчивого узла) (хт<У2 —1 имеем переходный процесс, характерный для апериодического звена второго порядка. Если корни комплексные с отрицательными вещественными частями (особая точка типа устойчивого фокуса) 1/2—1<цт<1, то имеет место затухающий колебательный процесс 5 = ( ), п = п 1). [c.147]

Особая точка типа фокус на фазовой плоскости ху [c.33]

При 4 2 > кокг подкоренное выражение отрицательно и особая точка — фокус, при обратном соотношении — узел. И в том, и в другом случае особая точка устойчива, так как действительная часть обоих корней характеристического уравнения отрицательна. [c.35]

Согласно этой теореме, на любой из главных изоклин системы, имеющей только простые положения равновесия, чередуются положения равновесия, для которых Д<0 (седла), с положениями равновесия, для которых Д > О (узлы или фокусы). Теорема Пуанкаре справедлива, если изоклина Р(х,у) = = 0 [или Q(x,y) =0] не имеет особых точек, т. е. таких точек, в которых одновременно равны нулю обе частные производные дР/дх и дР/ду (или соответственно dQldx и dQ/dy). [c.67]

Козффициенты р, д являются функциями параметров системы — в рассмотренном случае параметров аи аг, Ь Ъ . Области различных особых точек >добно представить на плоскости р, д (рис. 15.6). Корни Ки Яг имеют отрицательную действительную часть только при р > О, д > 0. Комплексные корни, соответствующие фокусам, находятся только в области д>/)74, т. е. между ветвями параболы д = />74, а область д < р /А соответствует узлам. Центры располагаются на положительной стороне оси ординат—при /) = 0, д>0. При изменении параметров системы изображающая точка может пересечь границу области. В этом случае происходит бифуркация. [c.492]

Так как Х1Х2 = > О, корни либо действительны и имеют одинаковые знали, либо комплексно-сопряженные. Следовательно, мы имеем дело со случаями 1, 2 или 5, 6 классификации, приведенной на с. 490. Особая точка, отвечающая стационарному состоянию, есть устойчивый или неустойчивый узел или фокус. Система становится неустойчивой при переходе параметра Ь через значений, удовлетворяющее условию [c.500]

Рассмотрим возможные структуры фазовых портретов только для случая Рр >0. Если выполняется условие а д то особая точка Оу имеет характер устойчивого фокуса, и движение вблизи нее носит колебательный характер. Область начальных условий, при которых движение системы регулирования устойчиво и сходится к особой точке Оу, сдвинутой относительно начала координат на величину х ограничивается интегральной траекторией ВСЕО2 (по аналогии с рис. 28, а). При других начальных условиях изображающая точка движется по фазовым траекториям, которые определяют неустойчивый процесс регулирования. [c.219]

Заметим, что формулы (13) справедливые всюду, кроме выколотых нулей V, могут использоваться для качественного анализа семейств (р, ф при Л 0. Например, поскольку q ) Л при Л О, то /i2 ос при Л О с такой же скоростью, как и в несжимаемой жидкости что же касается поведения hi при Л О, то в отличие от случая потенциального течения (при ро ф) = onst) возможно как hi О, так и /ii ос. Поскольку /i2 нигде не обращается в нуль (О д(Л) 1) то, в отличие от течения несжимаемой жидкости, различные линии тока не могут неограниченно сближаться, т. е. иметь особые точки типа узла, фокуса, а также предельные циклы. Это же справедливо и для линий (р = С в области, где Л / 0. [c.192]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология