Классическая механика материальной точки

Квантование энергии, волновой характер движения микрочастиц, принцип неопределенности — все это показывает, что классическая механика совершенно непригодна для описания поведения микрочастиц. Так, состояние электрона в атоме нельзя представить как движение материальной частицы по какой-то орбите. Квантовая механика отказывается от уточнения положения электрона в пространстве она заменяет классическое понятие точного нахождения частицы понятием статистической вероятности нахождения электрона в данной точке пространства или в элементе объема с1У вокруг ядра. [c.12]

С точки зрения классической механики в системе, образованной атомами и молекулами, атомы рассматривают как материальные точки и, следовательно, приписывают им три степени свободы. Двухатомная молекула имеет шесть степеней свободы. Приближенно иногда можно считать молекулу жесткой, т. е. полагать расстояние между атомами фиксированным. Тогда d = и число степеней свободы двухатомной молекулы равно пяти. Пусть число степеней свободы молекулы /. Таким образом, f — число независимых координат, которые необходимы для определения пространственного положения всех атомов, образующих молекулу. Значения / для молекул разного типа приведены ниже. [c.25]

Постоянная Планка А связана с классическим понятием действия Это так называемый квант действия Собственно кванта действия нет в классической механике Масса частицы имеет один и тот же смысл что в классической, что в квантовой механике Классическая и квантовая потенциальные функции тождественны Собственных чисел нет в классической теоретической механике материальных точек В квантовой механике они отождествляются с возможными для частицы в данном потенциальном поле уровнями энергии [c.101]

Классическая механика рассматривала чистое движение материальной точки и общие законы движения, соверщенно не принимая во внимание свойства самого движущегося тела, В квантовой механике пришлось встретиться с такими особенностями движущихся объектов, которые делают невозможным одновременное измерение импульса и координаты с любой степенью точности. Принципиально невозможно полностью изолировать частицу от окружающей среды, рассматривать ее вне времени и пространства — их неразрывная связь составляет фундаментальное свойство природы. [c.26]

В классической механике состояние системы в данный момент времени считается определенным, если известны положения всех входящих в нее материальных точек и их скорости (либо импульсы), а также связи, ограничивающие возможные перемещения этих точек. В квантовой механике ситуация оказывается более сложной. Предполагается, что мы не можем точно указать положение каждой частицы в системе, эти положения могут быть известны нам лишь с вполне определенными вероятностями их появления (при измерении). Квантовое состояние считается заданным, если задана некоторая функция пространственных переменных частиц и времени, которая позволяет вычислить по определенным правилам не только указанные вероятности, но и все остальные характеристики системы частиц. Такая функция, называемая функцией состояния, или волновой функцией, очевидно, должна удовлетворять некоторому уравнению (или уравнениям), которое необходимо ввести наряду с правилами, позволяющими вычислить все требуемые характеристики системы. Это уравнение по аналогии с уравнениями классической механики может быть названо уравнением движения. [c.18]

Однако надо сделать одно важное разъяснение В классическом случае, в принципе, всегда можно экспериментально найти положение равновесия системы Это можно сделать, расположив материальные точки где-то в районе одного из минимумов и предоставив им затем возможность двигаться, слегка придерживая их, чтобы при спуске в яму они не сильно разгонялись При очень медленном движении система плавно спустится в минимум и затем около него замрет Тогда можно все равновесные геометрические параметры системы (расстояния между точками, углы итд) измерить Таким образом, дня классической системы вычисленное положение минимума может быть непосредственно сопоставлено с экспериментом и в этом смысле является наблюдаемой величиной Совсем иначе происходит в квантовой механике В адиабатическом приближении можно пользоваться понятием потенциальной поверхнос- [c.160]

Колебательные состояния простых многоатомных молекул. В классической механике многоатомная молекула может быть представлена системой материальных точек, колеблющихся около их равновесных положений во внутримолекулярном силовом поле. В первом приближении внутримолекулярный потенциал пропорционален квадратам относительных смешений ядер атомов из положений, соответствующих равновесной конфигурации молекулы. В этом случае потенциальная и кинетическая энергия могут быть представлены в виде суммы квадратов величин, называемых нормальными координатами (см. Приложение 4). [c.59]

Выражение для энергии (3.5) приводит к дифференциальному уравнению движения его интегрирование при учете начальных условий позволяет найти уравнение траектории движения материальной точки х = х 1). Таким образом, решение уравнений движения классической механики (в нашем случае представленных первым интегралом движения — энергией) приводит к определенной функции, описывающей зависимость динамических величин от времени, и позволяет в каждый момент времени вычислить значения этих динамических величин. [c.14]

В классической механике с помощью уравнений движения, например уравнений Ньютона, можно совершенно точно установить, как будет двигаться тело (для простоты будем говорить о материальной точке), если известно, что в некоторый момент времени оно находится в определенном месте и имеет определенную скорость. Иными словами, заданные координаты и скорость определяют состояние материальной точки. Для того чтобы задать состояние системы N точек, нужно задать координат и 2Ы составляющих скорости (скорость — вектор) этих точек. В квантовой механике для описания состояния системы микрочастиц введена так называемая волновая функция. Мы познакомимся сначала с одним из самых простых и наиболее употребительных в квантовой химии случаев — координатным представлением, в котором волновая функция рассматривается как функция координат, а также времени. [c.37]

Наиболее употребительные имитационные методы, такие, как метод молекулярной динамики (МД) или Монте-Карло (МК), основываются на прямом моделировании систем, взаимодействующих с заданными потенциалами материальных точек, моделирующих в рамках классической механики атомы системы, и их целью является решение основной задачи статистической механики — вычисление свойств тел и систем по атомным (молекулярным) данным. Возможности такого моделирования определяются совершенством моделей, качествами вычислительных алгоритмов, мощностью ЭВМ. Если еще недавно были доступны системы всего из нескольких десятков атомов, то теперь возможны численные эксперименты с сотнями тысяч взаимодействующих частиц. Поскольку ясно, что ограничения по числу частиц — обязательная черта этих методов, представляется естественным их применение с максимальной эффективностью к исследованию систем с малым параметром, т. е. микро-гетерогенных, в частности адсорбционных, систем. [c.81]

Современная теория строения атома уже ие рассматривает электрон как материальную точку, движущуюся по законам классической механики. Доказано, что электроны сочетают в себе свойства частицы (корпускулы) и волны, так как подвергаются дифракции. Под электронной орбитой в волновой механике понимают лишь ту сферу вокруг ядра, в которой нахождение электрона наиболее вероятно. [c.44]

Давайте вернемся к движению материальных точек, немного задержимся и в виде примера более внимательно чем, казалось бы, положено для популярной статьи, рассмотрим конкретную задачу о движении двух частиц, между которыми действует сила, зависящая от расстояния между ними. Слово частица , естественно, является условным наименованием. Как оказывается, результат применим, скажем, к движению планеты Меркурий вокруг Солнца или Луны вокруг Земли кроме того, это могут быть реальные частицы (например, электрон и протон, если их движение можно было бы описывать с помощью классической механики). [c.170]

В современной квантовомеханической теории атома электрон уже не рассматривается как материальная точка, движущаяся по законам классической физики. Квантовая механика атома основана на признании, что атомные частицы как микрочастицы обладают одновременно и корпускулярными и волновыми свойствами. Волновые свойства частиц могут не учитываться лишь в тех случаях, когда их размеры велики по сравнению с длиной волны. Наряду с другими свойствами электрона должны учитываться и его волновые свойства. [c.48]

Движение каждой молекулы газа определено законами механики (в первом приближении — классической). Поэтому в принципе, интегрируя уравнения движения всех молекул, входящих в состав газа, можно было бы найти траекторию каждой из них. Однако подобный расчет очень труден. Уже интегрирование уравнений движения трех взаимодействующих материальных точек (задача трех тел) является весьма сложной задачей, в общем случае не решенной. Пути решения задачи четырех тел еще даже не намечены [14]. [c.27]

Классическая механика в некотором смысле может рассматриваться в качестве предельного частного случая квантовой механики. Она справедлива в тех случаях, в которых можно пренебречь соотношением неопределенностей. В то же время в классической механике возникает ряд специфических понятий, отсутствующих в квантовой механике. Это понятие материальной точки, траектории частиц, причинного описания процессов (в смысле динамического описания согласно законам Ньютона) и т. д. [c.39]

Для определения Т квантовая механика предлагает следующую процедуру. Когда установлено, какая именно молекулярная система (молекула, группа молекул) будет рассматриваться и в каких точках пространства расположены ее атомные ядра, надо записать полную энергию С/ всех входящих в систему электронов, причем так, как если бы все они были просто материальными точками, подчиняющимися законам классической механики и электродинамики. Таким образом, если молекула состоит из ядер с атомными номерами Z. ( =1,2,. . . , п и электронов, то V есть сумма кинетической энергии электронов и потенциальной энергии их электростатического притяжения к ядрам и отталкивания друг от друга [c.8]

Изложенная процедура отыскания Т дополняется в квантовой механике идейно сходной процедурой вычисления физических величин, характеризующих систему. Такой величиной К может быть, например, электрический дипольный момент молекулы, который характеризуется положением центра тяжести электронного облака по отношению к центру тяжести ядерных зарядов, или ее энергия, которая, как уже упоминалось, складывается из кинетической энергии электронов и потенциальной энергии их отталкивания друг от друга и притяжения к ядрам. Выражение для К нужно опять написать как функцию координат и скоростей, а точнее — импульсов всех ее частиц, понимаемых как материальные точки, подчиняющиеся классической, неквантовой физике. В нем вместо проекции импульса электрона на координатную ось надо обозначить операцию дифференцирования по этой координате, [c.10]

Таким образом, в данной задаче, в отличие от предыдущей, решения существуют при всех Е > 0. Эти решения, однако, различаются по своему поведению справа от точки разрыва для потенциала над потенциальной ступенькой г )и представляет собой линейную комбинацию двух экспонент от мнимого аргумента, или, что то же, линейную комбинацию синуса и косинуса кх, тогда как под ступенькой - это затухающая экспонента стремящаяся к нулю тем быстрее, чем больше X, т.е. чем ниже соответствующий уровень энергии. В классической механике такому потенциалу отвечало бы два типа движения при Е > У материальная точка (шарик) двигалась бы, например, слева направо (от некоторого значения х < О при г = 0) равномерно со скоростью, равной ее скорости в момент времени г = О и кинетической энергией т /2 далее при прохождении над ступенькой ее энергия не менялась бы, а скорость уменьшалась скачком до величины у = рт Е-Уо), а при Е = У она в этой точке останавливалась бы. При Е <У картина иная дойдя до ступеньки, материальная точка отражается от нее и с такой же (по абсолютной величине) скоростью, что и у,, идет назад. [c.35]

Рассмотрим один частный, но интересный пример Как уже упоминалось, размеры адер составляют величины порядка 10 см Порадок длин химических связей равен 10 см Таким образом, размеры адер на пять порядков меньше типичных межатомных расстояний в молекулах Ядра поэтому вполне можно считать материальными точками В классической физике считается, что точность соответствующего макроскопического измерения ограничивается лишь погрешностью выбранного для этой цели прибора На само же понятие расстояния между двумя точками никаких ограничений не накладывается Другими словами, если с учетом ошибок измерения в одном эксперименте получим число 1,1 м, а в другом 1,12056 м, то просто констатируем, что второй эксперимент гораздо точнее первого, но при этом и в том, и в другом случае не возникает никаких сомнений, относятся ли эти числа к одному и тому же понятию или нет Принципиально иная ситуация обнаруживается в квантовой механике Непосредственно с экспериментом в силу принципа соответствия сопоставляется не длина связи как некоторый отрезок прямой, проходящей через две точки, а соответствующий интеграл — матричный элемент Значение этого матричного элемента будет зависеть от вида волновых функций V и н/, находящихся под знаком интеграла Вид последних для молекул целиком определяется выбранной для данного коикретяого случая моделью молекулы Так как разные модели реально различаются друг от друга не только на качественном, но и на количественном уровнях (вспомним замечание о решении обратных задач, см 2 3), становится ясно, что даже если при заданных параметрах модели удастся совершенно точно решить уравнение Шрёдингера, окончательное значение матричного элемента будет нести в себе все те неизбежные погрешности, которые вызваны как несовпадением самой модели с истиной , так и субъективным моментом при уточнении параметров модели [c.104]

Мы еще вернемся к подробному изложению основных постулатов квантовой механики. А пока что покажем, как с точки зрения квантовой механики формулируется проблема движения материальной частицы ее классическая формулировка изложена [c.15]

Двухмассовая система. Элементарная теория удара твердых тел классической механики основана на допущении, предложенном Ньютоном, что относительная скорость соударяющихся материальных точек после удара пропорциональна их относительной скорости перед ударом. Коэффициент пропорциональности, в этом случае называемый коэффициентом восстановления, определяют опытным путем. Коэффициент восстановления к в зависимости от свойств соударяющихся тел изменяется от О до 1. Значение к = О соответствует абсолютно неупругому удару, когда после удара относительная скорость соударяющихся тел равна нулю, т. е. тела движутся совместно. При к I удар является абсолютно упругим, относительная скорость соударяющихся тел сохраняет свою величину, но меняет знак. При значениях к, отличных от О и 1, удар называют не вполне упругим. [c.89]

Применяя представления классической механики к молекулярным системам, атом уподобляют материальной точке и приписывают ему три степени свободы (здесь число степеней свободы — число независимых переменных, определяющих положение механической системы в пространстве). Предполагается при этом, что атомы как классические механические объекты различимы и могут быть пронумерованы . Положение -го атома можно задать радиусом-вектором Г с декартовыми составляющими XI, у1. 21. Число степеней свободы системы из N атомов составляет ЗМ. Число степеней свободы уменьшается, если на систему наложены связи при наличии к связей число степеней свободы становится равным ЗЫ — к (например, для модельной жесткой двухатомной молекулы предполагается постоянным расстояние между атомами, т, е, = 1, число степеней свободы составляет 5, тогда как в общем случае нежесткой молекулы оно равно бит, д,). [c.73]

Однако идея де Бройля послужила только началом создания квантовой механики. Она рассматривала поведение микрообъекта, свободного от силового поля. В действительности же материальные частицы, например электроны, всегда находятся в поле действия определенных сил. С этой точки зрения электроны в атоме движутся в центрально-симметричном поле, для которого потенциальная энергия зависит только от расстояния до ядра. Законы движения в поле центральных сил образуют основу атомной механики решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается на результаты, относящиеся к движению одной частицы в поле центральных сил. На основе гипотезы де Бройля австрийский ученый Шрёдингер (1925—1926) интуитивно использовал волновое уравнение классической механики в качестве модели для описания поведения электрона в атоме. Из учения о колебаниях и волнах известно, что распространение волны вдоль координатной оси х (рис. [c.37]

Уравнение Шредпигера. Классическая механика основана на постулатах Ньютона. Основное уравнение, определяющее движение материальной точки, не выводится, а именно постулируется. Аналогичное имеет место и для квантовомеханического уравнения движения Шредингера. Чтобы лучше понять интерпретацию уравнения Шредингера, полезло напомнить основные идеи классической механики Ньютона. [c.183]

Следует отметить, что уравнение Шрёдингера, как и основные законы термодинамики, нельзя вывести из каких-либо общих физических принципов. Однако, исходя из классического выражения для энергии, при помощи ряда правил (непонятных с точки зрения классической механики) можно прийти к урав-, нению Шрёдингера ( вывести его). Этот прием не имеет ничего общего с обычным дедуктивным выводом, к которому привыкли в классической физике. Единственный критерий того, имеет ли найденное уравнение физический смысл (т. е. описывает ли оно реальное поведение материальных частиц), заключается в сравнении величин, вычисленных при помощи этого уравнения и определенных экспериментально. [c.13]

Хорошо известно, что электрон играет фундаментальную роль в химических процессах, в образовании или пеобразовании химических связей. Между тем именно о свойствах электрона мы узнаем очень много нового,— и, с точки зрения классики, неожиданного,— благодаря квантовой механике. Мы знаем, что электрон — это не классическая частица в смысле материальной точки механики Ньютона. Мы знаем, что поведение электрона управляется квантово-механическими законами, что он представляет собой сложное образование, имеющее и волновую и корпускулярную природу. [c.247]

Общепринятое сейчас и подтверждаемое опытом истолкование физического смысла амплитуды фазовой волны было дано Борном (1926) квадрат этой амплитуды пропорционален вероятности нахождения материальной частицы, описываемой фазовой волной, в данный момент в данной точке (тот момент и та точка, к которым относится данное значение > >). В случае нескольких частиц <1 2 измеряет конечно вероятность данной их конфигурации в данный момент. Таким образом квантовая механика дает ответ не на вопрос, каково будет точное положение и состояние частиц (и образованных из них атомных или молекулярных систем) в заданный момент, а лишь на вопрос, какова будет вероятность каждого из таких положений и состояний она дает не строго дефинированное описание, как классическая механика, а довольствуется более скромной задачей давать вероятностное или статистическое описание. [c.72]

Ко времени создания Борном динамической теории кристаллической решетки классическая механика уже располагала решением задачи о малых колебаниях около положения устойчивого равновесия системы взаимодействующих материальных точек. Известно было, что в случае собственных решений этой задачи все материальные точки системы колеблются синфазно. Из теории упругости известно, кроме того, что в случае собственных колебаний упругого тела возникают стоячие волны. Все тело при каждом собственном колебании разбивается узловыми поверхностями на ряд областей при этом, хотя материальные точки в двух соседних областях двигаются в каждый момент времени в противоположных направлениях , все точки тела колеблются в одной фазе. Слова в противоположных направлениях мы выделили кавычками, чтобы подчеркнуть, что эти слова имеют точный смысл лишь в одномерном случае. В случае конечного кристалла мы имеем дело с конечным числом материальных точек иприменимост , классической теории колебаний системы материальных [c.13]

В предыдущих параграфах мы уже указывали на существование ряда явлений, из которых следует, что представление об электронах, как механических частицах, не может быть сохранено. Понятие об электронах, как частицах, движущихся подобно материальным точкам классической механики по определенным траекториям, возникло на основании тех опытов, которые в начале этого столетия были произведены над электронными пучками и над отдельными быстрыми электронами. В вакуумной трубке можно с помощью диафрагм получить достаточно резко ограниченный пучок электронов. При воздействии на этот пучок, например, магнитного поля он искривляется так, как должны искривляться траектории отдельных заряженных частиц, на которые действует магнитная сила. Метод сцинтиляций позволяет регистрировать отдельные электроны, попадающие в определенное место флуоресцирующего экрана. В камере Вильсона можно заснять следы быстрых электронов. Но наряду с этими явлениями в двадцатых годах нынешнего столетия были открыты другие явления, обнаружившие волноЛ>1е свойства электронов. Было установлено, что электроны при прохождении через кристаллы и при отражении от них обнаруживают свойства дифракции, вполне аналогичные тем, которые присущи рентгеновым лучам. Как показал де-Бройль, можно получить согласие с опытом, если допустить, что пучок однородных по скоростям электронов характеризуется частотой V и длиной волны X, связанными с кинетической энергией электронов и их количеством движения М соотношениями [c.87]