Химические системы, описываемые нелинейными уравнениями

В этой области значений волнового числа возможны периодические в пространстве и не зависящие от времени решения, соответствующие появлению диссипативных структур. Для возникновения диссипативных структур необходимо, чтобы коэффициенты и Dy были существенно различны, а параметры и S не слишком далеки от своих бифуркационных значений. Если скорости диффузии очень велики, то неустойчивость возникает при больших Х = (1/А)[О ОуУ/ , так что практически система остается однородной. Если в точечной системе брюсселятора возмущения нарастают колебательно и рост амплитуды этих колебаний ограничивается предельным циклом, то распределенная система имеет неустойчивость колебательного типа. В этом случае рост возмущений в распределенной системе (IV.2.17) может также привести к устойчивому во времени и неоднородному по пространству распределению концентраций веществ хну. Как и в случае неустойчивости седлового типа, рост возмущений ограничивают диссипативные процессы в системе, которые описываются нелинейными членами в уравнениях химических реакций (отсюда название — диссипативные структуры). Кроме того, в такой системе могут возникнуть автоволновые процессы типа стоячей и бегущей волны. [c.98]

В принципе, могут быть разные механизмы такого влияния. Например, хорошо известно, что даже малые возмущения могут вызвать большие последствия в нелинейных системах. Часто химические реакции описываются нелинейными кинетическими уравнениями, и поэтому при определенных условиях малые возмущения вполне могут вызвать большие эффекты. В этих лекциях не обсуждаются такие нелинейные эффекты. Речь идет только об элементарных химических актах. [c.10]

Мембраны в общем случае следует рассматривать как распределенные системы, кинетическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями (1.26) или (1.27). В таких системах вдали от равновесия возмущения, являясь функцией времени и координаты, могут развиваться, конкурируя со стабилизирующими их диссипативными эффектами, обусловленными нелинейностью химических реакций. Анализ устойчивости подобных систем методом линеаризации достаточно сложен. В частности, для однородных в пространстве, но периодических во времени распределений концентраций в одномерной системе с одной переменной х получено следующее решение [4] для возмущения [c.37]

Разнообразие явлений, которые уже найдены и еще могут быть найдены в реагирующих физико-химических системах, кажется почти бесконечным. Эти системы обычно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и в некотором смысле можно сказать, что все может случиться . Хотя для тех, кто хочет простой схемы (линейной) мира, это может показаться тревожным, все же надо радоваться тому, что такая картина ведет нас к большой красоте и переменчивости Вселенной. [c.35]

Чтобы ответить на вопрос об устойчивости стационарного режима химического процесса, необходимо, таким образом исследовать переходные процессы в реакторе, которые описываются системой нестационарных уравнений материального и теплового баланса. Уравнения эти нелинейны и даже в простейших случаях не могут быть решены аналитически. Задачу, однако, можно существенно упростить, учитывая то, что для анализа устойчивости достаточно исследовать лишь малые отклонения от стационарного состояния. Поэтому нелинейные кинетические функции, входящие в уравнения материального и теплового балансов, можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарного режима и, пренебрегая высшими членами разложения, представить их в виде линейных функций отклонения переменных от их стационарных значений. В результате получаем гораздо более простую систему линейных уравнений, правильно описывающую переходные процессы в области, достаточно близкой к стационарному состоянию. Эту линейную систему в ряде случаев удается решить или исследовать аналитически, определив тем самым общие условия устойчивости процесса. [c.324]

Эволюция систем, в которых протекают химические реакции (а также биологические, экологические и некоторые социальные процессы), сопряженные с процессами типа диффузии, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Вообще говоря, такие уравнения имеют более одного решения, из которых термодинамика выделяет одно — так называемую термодинамическую ветвь. При отклонении системы от равновесия могут в принципе возникать новые решения, отличные от термодинамической ветви, причем при рассмотрении новых типов решения естественным параметром является степень удаления от термодинамического равновесия (которую, впрочем, не очень ясно, как определять). [c.79]

В открытых системах, которые, во всяком случае при dS <0, являются неравновесными, может в целом или локально возрастать упорядоченность (энтропия — мера неупорядоченности, dS = k n W). Для них обмен энергией и веществом является необходимым элементом существования. Химические реакции в таких системах изучает неравновесная химическая кинетика. Эволюция систем, в которых протекают химические реакции, сопряженные с процессами типа диффузии, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. [c.9]

Дальнейшим развитием ЭКВ-концепции является создание теории квантовых динамических реакций [13,49]. В этих работах Догонадзе и сотр. создали общий квантовомеханический формализм для теоретического описания важнейших особенностей и кооперативных свойств химических реакций в биологических системах. Формализм основан на модели эффективного гамильтониана для среды (растворитель и белок), линейно реагирующей на внешние возмущения, и полуклассическом приближении для нелинейно реагирующей среды. В пределах этой модели формализм количественно описывает поведение различных подсистем реагирующих молекул, т. е. электронов, высокочастотной молекулярной конформационной моды и раствора. Фундаментальный вывод теории состоит в том, что реакции, включающие биологические макромолекулы, и реакции с низкомолекулярными системами описываются одним и тем же формализмом. Авторы отмечают при этом, что хотя конформационный вклад в энергию активации может быть преобладающим, он не может быть единственным, вследствие чего не было получено уравнения для определения элементарных биологических процессов только в терминах конформационной релаксации. [c.46]

В случае, когда кинетические зависимости нелинейны, формула ( 1.52) неприменима, поскольку вероятность химического превращения зависит при этом не только от времени пребывания, но и от траекторий частиц реагентов в зоне реакции. Если условия реакции в проточной части слоя и в застойных зонах одинаковы и описываются одной и той же кинетической функцией г (С), то характерным временем реакции служит величина С г (С) и можно ожидать, что параметры квазигомогенной модели будут определяться формулами (VI.63) или ( 1.66), в зависимости от соотношения между временами С г (С) и д. В случае, когда реакции с нелинейными кинетическими зависимостями протекают в системе с локально неоднородными условиями протекания реакции, нельзя вывести эффективное квазигомогенное уравнение только из анализа гидродинамических процессов переноса. В этом случае необходимо отдельно решать уравнения для различных частей слоя (например, свободного объема и застойных зон), отличающихся друг от друга условиями протекания химической реакции. [c.234]

Основные исследования в области гидродинамики физико-химического заводнения. В наиболее общей постановке задачи фронтального вытеснения нефти растворами активных примесей и их оторочками описываются сильно нелинейными системами дифференциальных уравнений с разрывными граничными условиями. Поэтому большинство исследований в зтом направлении базируется на анализе результатов численного моделирования -задачи фронтального вытеснения численно решаются на ЭВМ с использованием конечно-разностных схем [37, 42—45, 58-60, 63 и др.]. [c.177]

Разработан метод кинетического расчета массообменных аппаратов для хемосорбционного разделения газов. Метод основан на использовании теоретического значения ускорения массопередачи за счет протекания химической реакции. Метод учитывает принципиальную особенность хемосорбционных процессов изменение кинетических закономерностей в жидкой фазе, движущей силы процесса, коэффициентов массопередачи, соотношения фазовых сопротивлений по высоте аппарата. Учтена специфика влияния реальной структуры потоков газа и жидкости на эффективность хемосорбционных процессов. По предложенной методике коэффициент извлечения передаваемого компонента, степень насыщения хемосорбента и характер распределения концентраций по высоте аппарата определяются при необратимой хемосорбции в зависимости от следующих безразмерных параметров кинетических, стехиометрического, диффузионного и гидродинамических (числа Боденштейна для жидкой и газовой фазы). В общем виде процесс описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. [c.224]

Сложные процессы химических превращений в реакторах больших размеров описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, учитывающих наряду с процессами химического превращения также процессы диффузии реагентов и тепла. [c.96]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Конечно, балансы тепла и масс для сложного химического процесса (в установившемся состоянии) описываются большой системой нелинейных алгебраических уравнений, причем эти уравнения выражаются неявно, когда имеются петли рециркуляции. Каждый блок объ- [c.82]

Явления, происходящие в турбулентном потоке горящего газа, описываются сложной системой уравнений. В состав ее входят уравнения движения и неразрывности для течения вязкого сжимаемого газа, а также уравнения энергии и диффузии для компонент горючей смеси и продуктов реакции, содержащие нелинейные источники тепла и вещества. Интенсивность этих источников определяется уравнениями химической кинетики. В общую систему уравнений входят также уравнение состояния и выражения, определяющие зависимость физических констант (коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии и др.) от температуры и давления, а в принципе и от состава смеси. В общем случае учету подлежат также изменение молекулярной массы в ходе реакции, отличие теплоемкости исходных реагентов от теплоемкости продуктов сгорания, потери теплоты при излучении пламени, явления диссоциации, ионизации и рекомбинации, эффекты термо- и бародиффузии и диффузионной теплопроводности, обусловленные наличием резких градиентов температуры и концентраций и др. [c.14]

По мнению авторов, наилучшей математической моделью, по которой можно просто и точно рассчитать индукционные системы обогрева химических аппаратов и быстро решить простейшие задачи параметрической оптимизации, являются уравнения проектирования, или уравнения регрессии, построенные по методу планирования экспериментов. В рамках интервалов варьирования входных величин (факторов) такая модель адекватно описывает реальную геометрию объекта, его нелинейности, взаимосвязь различных физических процессов в реальных условиях нагрева. Однако за пределами интервалов варьирования погрешность модели резко возрастает при удалении от границы области эксперимента, и на расстоянии (1-2) А.х, становится непредсказуемой, т. е. модель теряет адекватность. По- [c.103]

Большой класс неустойчивых физико-химических, химических, электрохимических, физических, теплофизических, биологических и гидродинамических нелинейных процессов описывается системами уравнений вида [1, 7-14] [c.394]

Структура системы с уравнениями (8.77) и (8.78) является достаточно общей. Частным случаем такой системы может служить рассмотренный ранее (см. 8.3) химический процесс метаксилирования ортонитрохлорбензола, протекающий в реакторе идеального перемешивания с рубашкой охлаждения. Процесс описывается нелинейной системой уравнений (8.42), численные значения параметров которой равны В=11 ООО ккал/кмоль ,= 1-379 м /час [c.484]

В последние годы нашего века нелинейные явления вызывают особый интерес у специалистов самых различных областей знаний [1-5]. Как правило, внимание исследователей сосредоточено на термодинамическом и математическом аспекте проблемы. Например, применяют теории бифуркаций, нелинейных колебаний, методы неравновесной термодинамики. Парадокс изучения не слишком далеких от равновесия сложных физико-химических и технических систем (СФХТС), по моему мнению, заключается в том, что с усложнением системы усиливается ее линейность. В самом деле, основные законы природы линейны, либо описываются простыми уравнениями, в которых степень аргумента не выше четвертой. Сложные уравнения функциональных связей в природе скорее исключение, чем правило. Фундаментальные уравнения физики обычно имеют показатель степени при независимой переменной от 1 до 3. Законы типа Вина или Стефана-Больцмана встречаются крайне редко. Из теории планирования эксперимента известно, что Ф ТС описываются уравнениями линейного и квадратичного типа. [c.68]

В данной работе изучается возможность применения электронных аналоговых вычислительных машин (ЭАВМ) для исследования различных режимов протекания высокотемпературного процесса конверсии метана в ацетилен и закалки ацетилена. Предполагается, что этот процесс описывается, так же как и в работе 1], системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений химической кинетики и гидродинамики. [c.232]

В реакционно-диффузионных мембранах, где возникают, мигрируют и распадаются промежуточные химические соединения, массоперенос описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых неоднозначно и сильно зависит от степени неравновесностн системы при этом в результате сопряжения диффузии и химической реакции возможно возникновение новых потоков массы, усиливающих или ослабляющих проницаемость и селективность мембраны по целевому компоненту. При определенных пороговых значениях неравно-весности, в так называемых точках бифуркации, возможна потеря устойчивости системы, развитие диссипативных структур, обладающих элементами самоорганизации. Это характерно для биологических природных мембран, а также для синтезированных полимерных мембранных систем, моделирующих процессы метаболизма [1—4]. [c.16]

Кинетика гетерогенных процессов обмена в общем случае определяется скоростяхми протекания целого комплекса микро-и макроскопических процессов скоростями химических реакций, интенсивностью адсорбционно-десорбционных процессов, скоростью диффузии реагентов в гидродинамическом пограничном слое и т.д. Полное и точное математическое описание всех этих процессов приводит к громоздким системам дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, решение которых с необходимой точностью не всегда удается получить не только аналитически, но даже численными методами. Трудности полного математического описания кинетики гетерогенных процессов являются причиной широкого распространения методов формальной кинетики, в которой используются линейные или нелинейные кинетические дифференциальные уравнения, в состав которых входят константы, определяемые в результате обработки экспериментальных данных. Такие кинетические уравнения удовлетворительно описывают кинетику процессов обычно только для отдельных элементов общей поверхности межфазного контакта для отдельного зерна катализатора, для единичного элемента диспергированного адсорбента и т. д. С другой стороны, расчет технологических процессов требует анализа кинетики гетерогенного обмена для всей поверхности межфазного контакта, с учетом реальных условий протекания процесса в конкретном аппарате или реакторе. На практике в большинстве случаев условия протекания гетерогенного обмена неодинаковы в различных частях общей поверхности межфазного контакта и могут различным образом изменяться во времени. Причинами этого являются застойные зоны, флуктуации скоростей относительного движения фаз, пузыри и каналообразованне в реакторах с кипящим слоем и т. д. Таким образом, даже если в распоряжении исследователя имеется адекватное математическое описание кинетики процесса для отдельного элемента поверхности межфазного контакта, переход к описанию кинетики исследуемого процесса на всей поверхности межфазного контакта в условиях реального промышленного аппарата может оказаться достаточно сложным вследствие того, что многие физические процессы, влияющие на функционирование реальных аппаратов, имеют стохастическую природу. [c.197]

Легко заметить, что первые два члена системы (6.1) описывают химические и биологические процессы, являясь известными уравнениями кинетики и биофизики, в том числе реакций типа Белоусова-Жаботинс-кого. Первый, второй и четвертый члены системы характеризуют реакции с диффузией либо теплопроводность с нелинейными источниками (стоками) Все четыре члена системы (6.1), определяющие различные гидродинамические явления, могут быть преобразованы в систему квазилинейных дифференциальных уравнений с источниками (стоками) [2]. [c.394]