Многошаговые методы

Линейные многошаговые методы отличаются от методов Рунге—Кутта тем, что для вычисления последующих значений Уи + 1 нужно использовать ранее вычисленные значения у , у 1, у 2 Идея получения формул численного решения состоит в том, что задача Коши записывается в интегральной форме [c.135]

Было показано [449], что можно сконструировать неявные многошаговые методы 3-го и 4-го порядков, обладающие свойством А (а) устойчивости. [c.132]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

То, 1, Линейные многошаговые методы могут быть явными, если /3 = О и для вычисления у + необходимо иметь значения численного решения в предыдущих точках, и неявными, когда в правую часть уравнения входит величина У + ) и для вычисления у . при- [c.135]

В подавляющем большинстве методы нелинейного программирования могут быть охарактеризованы как многошаговые методы или методы последовательного улучшения исходного (или начального) решения. Однако в отличие от симплексного метода в линейном программировании, являющегося также многошаговым методом с ограниченным числом шагов, в задачах нелинейного программирования обычно заранее нельзя сказать, какое наибольшее число шагов гарантирует нахождение оптимума с заданной степенью точности. Более того, если в симплексном методе величина каждого шага строго определена, в методах, используемых для решения задач нелинейного программирования, выбор величины шага представляет собой серьезную проблему, от успешного решения которой во многом зависит эффективность применения того или иного метода. Разнообразие методов решения задач нелинейного программирования как раз и объясняется стремлением найти [c.484]

Для упрощения вычислительной работы применяются многошаговые методы, разработанные автором [2]. В частности, выражение (1) преобразуется к виду [c.283]

Такие методы называются одношаговыми. Если же величина очередного шага зависит от большего числа предыдущих состояний, то итерационный метод называется многошаговым. Теоретически многошаговые методы должны обеспечить более высокую скорость сходимости к оптимуму в силу того, что они используют больший объем информации о. характере поведения целевой функции. [c.19]

Можно также подразделять методы на детерминированные и случайные, одношаговые и многошаговые и т. д. В многошаговых методах для расчета направления на данной итерации s используется информация, полученная за несколько предыдущих итераций. Один и тот же метод может обладать несколькими из перечисленных классификационных признаков. [c.180]

Для интегрирования дифференциальных уравнений (П4.2) и (П4.10) может быть использован любой точный многошаговый метод. Из-за ошибок интегрирования происходит отклонение вычисленного решения от точного x t). Поэтому, чтобы улучшить вычисленное решение, для переменных х = (жь. .., , ж +1) [c.265]

В отличие от одношаговых методов в линейных многошаговых методах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений решение в точке y,i+i получается по предварительно вычислениы.м значениям у , Уп , //п-2, Общая формула линейных многошаговых методов имеет вид [c.148]

В ранних работах, выполненных методом классических траекторий, очень популярным был метод Рунге—Кутта—Гилла 4-го порядка [265]. Позже стали применяться многошаговые методы высокого (до 16-го) порядка точности, в основном использовалась процедура Адамса-Мултона 4-го порядка [92], метод экстраполяций [219]. В большинстве работ численное решение систем дифференциальных уравнений осуществлялось с постоянным шагом интегрирования. В [66] было проведено сравнение эффективности различных процедур численного интегрирования для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.77]

Однако требованию А-устойчивости отвечают далеко не все методы и это требование накладывает серьезные ограничения на схему интегрирования. Далквистом [238] было показано, что явный линейный многошаговый метод не может быть А-устойчивым, а порядок неявного А-устойчивого метода не превышает двух. Для преодоления этих трудностей было введено понятие А (а) -устойчивого метода. Метод называется А (а) -устойчивым, если область его устойчивости представляет бесконечный клин агд(-Х)1 < а. [c.132]

Основу всех методов локальной линеаризации составляют методы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, т.е. они так или иначе связаны с приближенным вычислением матричной экспоненты. В работе [95] предложено однополюсное дробно-рациональное приближение экспоненты в комплексной области. Известно, что неявные методы Рунге—Кутта при интегрировании линейной системы дифференциальных уравнений приводят к дробно-рациональной аппроксимации Падэ и, следовательно, трудоемки, так как фактически требуют обращения матричных многочленов. Неявные линейные многошаговые методы дают аппроксимацию ехр(Аг) главным корнем р(Аг) характеристического [c.146]

Разностная аппроксимация вида (3) совместно с применением метода Й>ютона была использована Джиром в его программе [16]. При этом порядок метода и величина шага менялась в процессе счета. Эта программа позволяет быстро рассчитывать системы с большим разбросом собственных значений. Кроме линейных многошаговых методов при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений используются неявные методы типа Г нге-Кутта. [c.15]

Сравнеше различного класса методов, проведенное для широкого круга задач [20 ], показывает, что использование линейных неявных многошаговых методов в сочетании с методом Ньютона позволяет, как правило,значительно уменьшить машинное время при сохранении хорошей точности. [c.17]

Окончательный подбор полуэмпирических параметров, входящих в формулу (2.53), происходил следующим образом. В расчетной модели (2.32) - (2.48) при = О фиксировались размер реакционной полости РИС, начальные радиус и число микрокапель тридекана, коэффициент теплопроводности через оболочку РИС и температура ее внешней поверхности, соответствующие натурному эксперименту. На плоскости ( , Т) при каком-либо заданном наборе величин а, Р, ц,, 1, а также при одном из возможных значений.начального давления р , строилось (как функции параметра) несколько расчетных кривых Т 1 Та). Жесткие уравнения модели (2.32) - (2.48) решались неявным многошаговым методом, использующим формулы дифференцирования назад [36]. Теплоемкости и энтальпии, теплоты испарения и другие параметры веществ, входящих в данную модель, определялись по справочникам [28, 33, 37]. Коэффициенты теплопроводности и диффузии вычислялись согласно модели Леннарда-Джонса с корректировкой [c.134]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология