Лагранжа метод множителей параметрами

Недостатком метода множителей Лагранжа является введение дополнительных переменных, которые должны быть исключены с помощью дополнительных уравнений. Если учесть, что при решении задачи комплексной оптимизации параметров адсорбционных установок число уравнений связи между оптимизируемыми параметрами велико, то станет очевидной важность этого недостатка. Кроме отмеченного для метода множителей [c.124]

Рассмотренные в настоящей главе примеры использования метода множителей Лагранжа для решения задач оптимизации с ограничениями типа равенств или задач, сводимых к этому классу, показывают, что данный метод представляет собой достаточно удобный математический аппарат, позволяющий ставить и решать довольно сложные оптимальные задачи для процессов с сосредоточенными и распределенными параметрами. Как отмечено ниже (см. главу VII), метод множителей Лагранжа при отсутствии ограничений на переменные процесса типа неравенств приводит к уравнениям, которые иногда совпадают с основными уравнениями методов, специально созданных для решения широкого класса задач оптимизации, таких, например, как принцип максимума. [c.200]

Для сложных реальных ситуаций метод множителей Лагранжа позволяет лишь сформулировать аналитически задачу оптимизации, а для нахождения оптимальных значений параметров необходимо применение поисковых методов. [c.178]

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

Основной недостаток метода штрафных функций—трудности, которые возникают в вычислительном процессе, когда параметры приближаются к предельным значениям. Это обусловлено появлением разрывов непрерывности вблизи границы допустимой области и связанной с ними плохой обусловленности гессиана целевой функции. Для устранения этого недостатка оказывается полезно комбинировать метод штрафных функций с методом неопределенных множителей Лагранжа. Новый метод получил название метода модг-фицированной, или расширенной функции Лагранжа. [c.215]

Определение экстремальных точек функции многих переменных для весьма важного случая наличия дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами может быть осуществлено с использованием классического математического метода множителей Лагранжа. Пусть имеем функцию цели хг, Хп), экстремум которой требуется найти, причем имеют место дополнительные условия [c.124]

Прежде чем перейти к изложению отдельных задач оптимального проектирования, необходимо хотя бы коротко коснуться основных. математических методов оптимизации. К классическим методам решения экстремальных задач относятся методы дифференциального и вариационного исчислений. С помощью дифференциального исчисления можно решать дискретные задачи (т. е. задачи с конечным числом параметров) как при отсутствии ограничений, так и при наличии ограничений типа равенств (метод множителей Лагранжа) . [c.129]

Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач динамической оптимизации. Область действия метода значительно расширяется за счет использования множителей Лагранжа в качестве вспомогательного средства, позволяющего упростить решение более сложных задач (например, в вариационном исчислении, динамическом программировании). [c.247]

Алгоритм построения сплайна описан здесь лишь в обших чертах. Полагают, что координаты Y точек, через которые проходит сглаживающий сплайн, при заданных значениях X уже известны, и с этими значениями составляют систему линейных уравнений для расчета параметров сплайна. Эта система уравнений является дополнительным условием для минимизации указанной линейной комбинации. Поиск минимума функционала с учетом дополнительного условия проводится методом множителей Лагранжа. Таким образом, получают опять систему линейных уравнений ленточной структуры. Решение этой системы уравнений дает значения параметров сплайна, значения У в точках перегиба и множителей Лагранжа. [c.392]

Комбинированное расширение. Использование модульного штрафа имеет тот недостаток, что функция Fq(x, а) не дифференцируема по х квадратичная штрафная добавка лишена этого недостатка, но эквивалентность достигается лишь при a-voo. Стремление получить расширение, эквивалентное при конечных значениях входящих в него параметров, и сохранить гладкость целевой функции расширенной задачи приводит к идее комбинированного использования квадратичной штрафной функции и функции Лагранжа. В литературе иногда этот метод называют методом множителей. Расширенная задача имеет вид [c.38]

Основная идея в применении метода неопределенных множителей для оптимизации рассмотренного выше многостадийного процесса состоит в том, что при решении задачи оптимизации соотношения (IV, 90), характеризующие связь входных и выходных параметров и управляющих воздействий на всех стадиях процесса, принимаются как ограничивающие условия, имеющие вид равенств, наложенные на переменные процесса д , часть из которых входит в выражение критерия оптимальности (IV, 88). Это, в свою очередь, позволяет использовать для решения оптимальной задачи математический аппарат метода неопределенных множителей Лагранжа (см. стр. 148). [c.165]

Несколько иной подход к определению оптимальных параметров узла контактирования полочных реакторов каталитической очистки газов содержится в [71], где эта задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа. [c.162]

Таким образом, мы пришли к простой задаче определения таких параметров у к = 1,.. ., М), удовлетворяющих условию (Х,58) и максимизирующих функцию (Х,61). Эта задача может быть решена либо методом неопределенных множителей Лагранжа (см. гл. III), либо с помощью м. д. п. Не будем здесь на этом останавливаться. [c.290]

В результате решения этой задачи с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа были получены следующие оптимальные значения входных параметров [c.16]

Вполне очевидно, что лучше та совокупность измеряемых параметров, для которой при требуемых показателях ад и Рд метрологического обеспечения средние затраты меньше. Как уже отмечалось, допустимые значения ад, рд можно обеспечить как варьируя число поверяемых параметров, так и повышая достоверность контроля отдельных параметров. Поэтому целесообразно найти оптимальное соотношение между уровнем достоверности и числом поверяемых параметров. Эту оптимизационную задачу можно решить методом неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа в виде [c.113]

Ниже описан метод расчета для одно- и двухстадийных процессов. Этот метод легко распространяется на случай Л -ста-дийного процесса. Первый из всех множителей Лагранжа определяется обычным методом проб и ошибок, описанным в разд. 19 гл. 5. После того как удовлетворено ограничение (24), можно найти надлежащее Для одностадийного процесса известны Ро, То, и Ь. Чтобы рассчитать физические параметры смеси газов на выходе реактора, которые зависят от Ро, То и состава, зададимся сначала некоторым составом в конечной точке. Для известных или допущенных значений Я, Рд, То, Ь, вд, ро> Но, Мд, (Ср)д и го выбираем произвольно АС1 и решаем уравнения (28) и (30) относительно АЛ и Л. Подставив АГ1 в (27), находим ДХ1. Из формулы (29) определяем Хо, где [c.334]

В связи с наличием двух параметров оптимизации на электронной вычислительной машине была решена компромиссная задача был применен метод неопределенных множителей Лагранжа (см. главу 5). [c.139]

В процессе предыдущего обсуждения предполагалось, что в действительности уравнениям связи можно удовлетворить, взяв некоторое подмножество множества параметров А. Если это не так, то ни один из указанных методов работать, разумеется, не будет, поскольку поставленная выше исходная задача не имеет решения. Иными словами, творить чудеса множители Лагранжа не могут. [c.337]

В описанном в этом разделе методе множителей Лагранжа множители %. могут быть отождествлены с параметрами. . . , [Xf , составной функции F сопоставлена функция (IV,7), а символу operat — операция max [ср. (IV,13)1. Ниже рассмотрены другие [c.148]

Воспользуемся методом множителей Лагранжа, описанным в главе V (ом. стр. 92). Ограничениями типа равенств, наложенными на варьируемые параметры, будем в данном случае считать уравнения (VIII,2). При этом предполагается, что вместо в уравнения [c.174]

Существенное отличие задачи разбиения на блоки в данном методе от метода множителей Лагранжа состоит в том, что нри таком разбиении должны выполняться условия (VIII,31). Рассмотрим это условие подробнее. Пусть, например, в некотором аппарате оно не соблюдается. Тогда данный аппарат уже не может считаться блоком и должен быть подсоединен к одному из соседних аппаратов (т. е. к аппаратам, с которыми он связан входными, либо выходными потоками), если, конечно, это возможно. Так, для схемы на рис. 72 при невыполнении условия (VIИ,39) блок 1 необходимо объединить с блоком 2. Если же и в блоке, образованном первыми двумя аппаратами, не будут выполняться условия (VIII,31), в один блок следует объединить первые три аппарата и т. д. Если, наконец, в аппарате вообще нет варьируемых параметров, его, конечно, также можно подсоединить к соседним аппаратам. Можно, однако, поступить и по-другому, рассматривая уравнения указанного аппарата как соотношения, которые накладываются на входные и выходные переменные соседних аппаратов. [c.187]

Вывод условий оптимальности. Рассмотрим поставленную выше ладачу минимизации функционала (4.505) при ограниче-пиях (4.500), (4.501), (4.506). Преобразуем эту задачу к крае-нон задаче для системы дифференциальных уравпепий в частных производных (входящие в данную краевую задачу дифференциальные уравнения и краевые условия называются условиями оптимальности). Для вывода условий оптимальности используем метод множителей Лагранжа, общее описаппе которого приведено, в частности, в [15]. Обозначим через и множитель Лагранжа, отвечающий ограничению (4.500), — множитель Лагранжа для ограничения (4.501), ц — множитель (числовые параметры) для ограничений (4.506), и составим функцию Лагранжа (функционал) [c.272]

Нужное реншние можно получить методом множителей Лагранжа. Множим (15.11) на параметр а, 15.12 — на параметр р и складываем три уравнения, в результате чего получим [c.381]

В настоящее время отсутствует общепринятая классифика-пия методов поиска экстремума нелинейной функции многих переменных. Обычно в качестве отдельной группы выделяют методы, разработанные в классической математике метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных исследуемой функции по оптимизируемым параметрам, и метод неопределенных множителей Лагранжа. Эти методы позволяют решать задачи поиска оптимума нелинейной функции многих переменных только при отсутствии ограничений на оптимизируемые параметры или при ограничениях в виде равенств. Поэтому указанные методы нельзя относить к методам нелинейного математического программирования. [c.121]

Не вдаваясь в теоретические основы метода, ог етим, что воли функция оптимизации при некоторых оптимальных значениях пара> метров стремиться к экстремуму, то очевидно, что добавление к функции оптимизации нулевых ( по 5.19 ) функций ограничения на изменит значения критерия оптимальности в экстремальной точке. Координаты экстремума находется из условия равенства нулю первых производных функции Лагранжа по параметрам процесса и неопределенным множителям [c.55]

Конкретный вид функции Р Х, Р) следует согласовывать с методами минимизации ее, т. е. учитывать гладкость штрафа, простоту вычисления функций и ее производных, свойства выпуклости и т.д. Уязвимой стороной метода является овражность функции Р Х, р), даже если исходная функция для критерия оптимизации 1 Х) не имела оврагов , что существенно затрудняет задачу поиска оптимальных параметров. Из других приемов сведения к задаче безусловного экстремума упомянем методы уровней и множителей Лагранжа [20]. [c.152]

То же самое может быть выражено и в терминах суждения о единственности (воспроизводимости) состояний равновесия в данной гомогенной системе. Напомним, что у нас, по определению, речь всегда идет о состояниях равновесия лишь относительно конкретного набора превращений, т. е. часть других, в принципе возможных стехиометрических взаимосвязей может быть заторможена. Вопрос о возможньгх сменах уровня или характера заторможенностей снимается ограничением, заложенным в словах данная система, так как невоспроизводимая смена заторможенностей формально означает неконтролируемую подмену одной системы (совокупности состояний) другой. Положение о единственности состояний равновесия для каждой точки данной открытой гомогенной системы (для каждой закрытой гомогенной системы) можно выразить в форме утверждения о единственности минимума изобарно-изотермического потенциала при постоянных Т, Р ъ пространстве внутренних переменных с вытекающими из условия закрытости (и, может быть, заторможенности) ограничениями. В общем случае речь должна идти о единственности условного экстремума характеристической функции. Внутренними переменными могут быть концентрации химических форм в растворе и (или) параметры, поставленные в определенное соответствие реализующимся в рассматриваемом множестве растворов независимым стехиометрическим и (или) структурным связям. Эквивалентным изложенному выше является утверждение о строгой выпуклости изобарно-изотермического потенциала закрытой гомогенной системы для каждой выпуклой области пространства переменных типа координата независимой реакции . Опираясь на метод неопределенных множителей Лагранжа, можно сконструировать и функции, отнесенные к пространству с размерностью выше общего числа химических форм в растворе. Тогда следует говорить о седловых точках таких фуикций. Итак, к математическим конструкциям, предназначенным для формального решения задачи по отысканию единственного состояния равновесия (при определенных ограничениях) среди множества, охватывающего и неравновесные состояния, требование существования лишь одной особой точки (лишь одного особого решения и т. п.) следует предъявить как фундаментальное. Эти выражения принципа приводят к дополнительным ограничениям на возможный вид функций (10), (11), (19), (20) и (16). [c.25]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология