Оценка максимального правдоподобия

Перейдем к разработке прогнозах. Найдем оценку максимального правдоподобия (ОМП) вектора (X, m) = (Xi,..., д ) в распределении (4.37). Для этого в соответствии с методом максимального правдоподобия необходимо решить задачу максимизации логарифма функции f(x, X, ц) при условии (4.37). [c.128]

Для правдоподобия, полученного из плотности вероятности (4 2 13), это уравнение дает выборочную оценку максимального правдоподобия Х= 1х В приведенном выше примере х = 2 и, следовательно, Л = 0,5 [c.128]

Отметим также, что в данном примере при квадратичной функции потерь оценки максимального правдоподобия, обобщенного максимального правдоподобия, минимального общего риска практически совпадают между собой, так как априори предполагали, что испытываемая кинетическая модель является истинной, а результаты эксперимента отягощены только случайной ошибкой и в них полностью отсутствует систематическая. [c.188]

Были предложены различные критерии, основанные на моментах. Они могут быть использованы для сравнения данных оценок. Важнейшим из этих критериев является критерий среднеквадратичной ошибки, обсуждаемый в разд 4 2 3 Оценки максимального правдоподобия, обсуждаемые в разд 4 2 4, образуют класс оценок, имеющих наименьшую среднеквадратичную ошибку для выборок большого объема [c.119]

Оценки максимального правдоподобия [c.126]

Задача нахождения хорошей оценки для статистического параметра была решена для многих случаев Фишером [2, 3], который ввел класс оценок максимального правдоподобия Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим задачу оценки среднего срока службы партии осветительных ламп. Предполагается, что срок службы одной лампы хорошо описывается с помощью случайной величины X с плотностью вероятности [c.126]

К параметра X, которое максимизирует I (>.), называется выборочной оценкой максимального правдоподобия параметра X. Она дает [c.127]

Как правило, для гладкой функции правдоподобия оценку максимального правдоподобия можно получить, решая уравнение [c.128]

Функции правдоподобия от многих переменных. В случае, когда функция правдоподобия зависит от к параметров 01, 02,, 0л, выборочные оценки максимального правдоподобия должны максимизировать (01, 02, , 0й) одновременно по всем переменным Если этот максимум можно найти с помощью дифференцирования, то выборочные оценки максимального правдоподобия являются решением системы к уравнений [c.128]

Выборочные оценки максимального правдоподобия, получаемые из (4 2.18), являются решениями системы уравнений [c.129]

Функция правдоподобия (4 2 21) зависит от пяти параметров, и выборочные оценки максимального правдоподобия можно получить, дифференцируя эту функцию по очереди по всем пяти параметрам и решая полученные уравнения. Можно убедиться, что оценки среднего значения и дисперсии те же самые, что и полученные из правдоподобия (4 2 17), а выборочная оценка максимального правдоподобия для коэффициента корреляции р12 имеет вид [c.129]

Выборочные свойства оценок максимального правдоподобия приведены в работе [5] Наиболее важное из них заключается в том, что для больщих п оценки максимального правдоподобия приближенно несмещенные и распределены асимптотически нормально с дисперсией [c.130]

Преимущество выборочной оценки среднего правдоподобия над оценкой максимального правдоподобия состоит в том, что первая учитывает форму всей функции правдоподобия, в то время как [c.155]

Результат (4 2.25) показывает, что дисперсия оценки максимального правдоподобия обратно пропорциональна второй производной (и, следовательно, кривизне) функции правдоподобия в точке ее максимума Выражение [c.130]

Функция правдоподобия была введена в статистику Фишером, но, как отмечалось в разд 4 2, Фишер использовал ее главным образом для получения оценок максимального правдоподобия, которые можно было бы затем использовать для оценивания в методе выборочных распределений Использование же метода правдоподобия для выводов ведет свое начало от работ Барнарда [7, 8] и представляет собой совершенно другой подход к статистическим выводам. Подход Барнарда можно коротко сформулировать в утверждении, что распределения вероятностей полезны прп описании данных до того, как они собраны, в то время как функции правдоподобия полезны при описании данных после того, как они собраны [c.146]

Для случая г = 3 кривая правдоподобия вполне симметрична относительно выборочной оценки максимального правдоподобия [c.151]

Квадратичные правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия (4 4 11) квадратична по параметру 6 В более общем случае, если модель линейна по параметрам, а ошибки распределены по нормальному закону, логарифмическая функция правдоподобия является квадратичной формой от параметров 9г. Следовательно, функция правдоподобия сама является многомерным распределением, и ее можно описать с помощью средних значений (выборочных оценок максимального правдоподобия) и матрицы ковариаций этого распределения Из (3 1 19) мы видим, что матрица вторых производных [c.154]

Пример. Чтобы проиллюстрировать этот способ извлечения информации из функции правдоподобия, рассмотрим пример с биномиальным параметром из разд 4 2 2 Из функции правдоподобия (4 4 8) получается выборочная оценка максимального правдоподобия. [c.156]

Получаем выборочные оценки максимального правдоподобия [c.160]

Процесс авторегрессии второго порядка. Выборочные оценки максимального правдоподобия можно получить, дифференцируя (5 4 3) по ц,, 1 и 2 и приравнивая эти производные нулю Это приводит к уравнениям [c.233]

Так как функция правдоподобия (5 4.2) является с точностью до множителя многомерной нормальной плотностью, то с первого взгляда могло бы показаться, что ее можно адекватно описать с помощью средних значений и ковариаций, как указано в разд 4 4 1. Однако если выборочные оценки максимального правдоподобия лежат близко к границам области стационарности, то функция правдоподобия обрезается и требуется другой подход [c.236]

В случае когда 95%-ная доверительная область лежит полностью в области стационарности, как, например, на рис 5 15, функция правдоподобия адекватно описывается своими средними значениями и ковариациями Если же выборочные оценки максимального правдоподобия лежат близко к границе стационарности, то единственный надежный метод заключается в нанесении линий уровня [c.239]

Суть метода, максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметров в = (di, в2,. .., вр) берут такие значения 6i, в2, др, при которых/д достигает наибольшего возможного значения. Так как In/j, достигает максимума при тех же значениях O, что и сама/д, то на практике часто удобнее использовать функцию ln/ = L, котор) ю можно назьшать логарифмической функцией правдоподобия. Значения 81,82,. .., Вр являются функциями выборки Xi, Х2,. .., х и назьшаются оценками максимального правдоподобия. [c.34]

Дифференцируя 1 аи Рь У12( )) по всем трем параметрам и приравнивая производные нулю, находим из полученных уравнений выборочную оценку максимального правдоподобия для у12( ) [c.97]

Для двух независимых процессов из примера разд 8 2 1 параметры оценивались с помощью выборочных оценок максимального правдоподобия (5 4 5). Например, [c.97]

Для нахождения оценок максимального правдоподобия следует решить относительно 61,82,. ..,8р систему уравнений правдоподобия [c.34]

Если семейство распределений ошибок воспроизводимости отвечает условиям регулярности, то оценки максимального правдоподобия в большинстве случаев являются состоятельными в том смысле, что оценка 34 [c.34]

Метод оценки параметров в нелинейно параметризованных моделях. Определение точечных оценок максимального правдоподобия, байесовских, минимаксных и т. п., еще не гарантирует необходимой для исследователя точности. Причем вся информация, характеризующая статистические свойства 0, сосредоточена в апостериорной плотности р (0 1 у) или в выборочной р (0) плотности распределения параметров. Однако построение точной выборочной плотности распределения 0 возможно только для линейно параметризованных моделей, а подавляющее большинство кинетических моделей (как и моделей физико-химических систем) нелинейно параметризованы. Линеаризация по 0 нелинейных моделей не обеспечивает достаточно хорошей аппроксимации нелинейных (даже репараметризованных) линеаризованными. Отсюда, следует, что выборочная плотность распределения р (0), соответствующая линеаризованной модели, будет существенно отличаться от р (0), соответствующей нелинейной модели. Причем это расхождение (по крайней мере, для небольших выборок) может быть столь существенно, что приведет к получению абсурдных результатов. [c.184]

Шансы, получаемые из отношения правдоподобия (likelihood odds) Рассмотрим функцию правдоподобия (4 4 3) для параметра р. Выборочной оценкой максимального правдоподобия является [c.149]

На рис. 4.5 показаны функции правдоподобия для двух случаев г=1, п = 8 и г = 3, п = , причем обе кривые пронормированы так, что их максимум равен единице Продифференцировав (4 4 8), находим, что выборочная оценка максимального правдоподобия имеет [c.151]

В точке выборочной оценки максимального правдоподобия с111й(р = = О, так как // 0 = О, и, следовательно. [c.157]

Теперь выборочные оценки максимального правдоподобия, или наи-меньщиА квадратов, можно получить, дифференцируя (5 4 4) Рассмотрим некоторые частные случаи [c.231]

Рассмотрим сначала случай, когда одель f(x, в) является линейной функцией параметров (т.е./(л , 0) =хв). Оценки максимального правдоподобия f здесь являются наилучшими линейными несмещенными оценками и точные доверительные области могут быть построены с использованием декомпозиции суммы квадратов на остаточную сумму квадратов res(e) и сумму квадартов, обусловленную регрессией reg(e), т.е. [c.38]

Методы и модели планирования нефтеперерабатывающих производств в условиях неполной информации (1987) -- [ c.0 ]

Спектральный анализ и его приложения ВЫПУСК 1 (1971) -- [ c.119 , c.126 ]

Спектральный анализ и его приложения Выпуск 1 (1971) -- [ c.119 , c.126 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология