Функция правдоподобия

Для этого распределения функция правдоподобия имеет вид [c.27]

Весовые коэффициенты определяются через функции правдоподобия, вычисленные но результатам п предварительно поставленных опытов [c.198]

Построение наилучшей меры 0(Хп, X) отклонения эксперимента от расчета может быть произведено, исходя из принципа максимального правдоподобия, предложенного Р. Фишером (см. [61, с. 541—543), если известна функция распределения исследуемых случайных величин. Выражение для меры 0(Х , X) получается из условия максимума функции правдоподобия Ь, которая представляет собой совместную плотность вероятности вида [c.115]

Здесь 0 — различные значения параметров т] — экспериментальные наблюдения / (0г т)) — апостериорный прогноз оценки (т) ) — вероятность получения значения отклика т], если справедливо значение 0 (это может быть, в частности, и функция правдоподобия) (0 ) — априорное знание величины оценки для данного случая. Вероятность Р ц) получения значения отклика г), если известно некоторое значение 0 , может быть неизвестна. Если значения Р(т]) взаимно исключают друг друга и образуют замкнутое множество (что бывает довольно редко), то [c.202]

Метод максимального правдоподобия. Для получения оценок используют различные методы. Широко применяется метод максимального правдоподобия. Оценки, полученные при помощи этого метода, отвечают большинству изложенных требований. Сущность метода максимального правдоподобия заключается в нахождении таких оценок неизвестных параметров, для которых функция правдоподобия при случайной выборке объема п будет иметь максимальное значение. Пусть известен общий вид плотности вероятности х, а) теоретического распределения а — неизвестный параметр, входящий в выражение закона распределения. На опыте получена выборка значений случайной величины Х1, Хг,. .., Хп. Окружим каждую точку окрестностью длины е. Вероятность попасть [c.25]

В общем случае требуется оценить одновременно несколько параметров одномерного или многомерного распределения. Если а и X понимать как векторы, то формулировка принципа максимального правдоподобия сохранится надо найти такую совокупность допустимых значений параметров ai, Ог, . .., аи , которая обращает функцию правдоподобия в максимум. Необходимые условия экстремума дает система уравнений [c.26]

Дифференцируя функцию правдоподобия по s , получим [c.28]

ММП позволяет оценить не только параметры модели, но и элементы матрицы Л е (дисперсионная матрица случайного вектора ошибок е ). Наилучшими оценками в соответствии с этим методом являются такие, которые обеспечивают наибольшую вероятность получить именно те наблюдаемые значения откликов, которые и имели место на самом деле. В методе ММП вводится функция правдоподобия [c.322]

Если использовать вместо функции правдоподобия ее логарифм, то в итоге получим функцию [c.322]

Можно построить функцию правдоподобия и искать ее максимум в пространстве переменных К ,.. -ft s и 0 ,.. . [c.56]

Считая измерения статистически независимыми, образуем функцию правдоподобия [c.100]

Метод максимального правдоподобия. Рассматривается модель (III. 22), шумы предполагаются нормальными (при этом онп коррелированы вследствие того, что среди С,- встречаются ненулевые величины). Оценки максимума правдоподобия определяются из условия максимума функции правдоподобия L, которая в рассматриваемом случае принимает вид [c.114]

Содержание большей ее части известно инженерам, но весь материал собран здесь в том виде, в каком он нужен для спектрального анализа В гл 3 мы вводим некоторые основные понятия теории вероятностей, являющиеся фундаментальными для последующих глав В гл 4 вводятся многие важные понятия теории статистических выводов и обсуждается использование выборочных распределений в теории оценивания и теория наименьших квадратов, а также дается краткое изложение способов получения статистических выводов с помощью функции правдоподобия Не весь этот материал необходим для понимания спектральных методов, обсуждаемых ниже, и читатели-инженеры могут при желании пропустить последнюю часть этой главы при первом чтении Для спектрального анализа наиболее существенными из этой главы являются разделы о применении выборочных распределений в теории оценивания и теория наименьших квадратов Последняя является важнейшим оружием в арсенале статистики и, как показывает наш опыт, часто неправильно понимается инженерами [c.10]

Функции правдоподобия, зависящие от одного переменного. [c.126]

Хи Х2,. ., Хп известны, а параметр X неизвестен Зависящая от X функция, которая получается при подстановке выборочных значений в плотность вероятности (4 2 13), называется функцией правдоподобия Ь (К) для параметра К. Она выражает предпочтительность различных значений X. [c.127]

Рис 4 2 Функция правдоподобия для выборки объема 3 из показательного [c.127]

Например, предположим, что три лампы выбраны случайным образом из партии, проверены, и в результате проверки оказалось, что их сроки службы равны 2,6, 1,9 и 1,5 час соответственно Так как Х1 = 6, то функция правдоподобия имеет вид [c.127]

Как правило, для гладкой функции правдоподобия оценку максимального правдоподобия можно получить, решая уравнение [c.128]

В некоторых случаях, папример если максимум достигается на границе возможных значений параметра, нельзя найти этот максимум дифференцированием Чтобы не получать лишенных смысла результатов, нужно построить график функции правдоподобия [c.128]

Функции правдоподобия от многих переменных. В случае, когда функция правдоподобия зависит от к параметров 01, 02,, 0л, выборочные оценки максимального правдоподобия должны максимизировать (01, 02, , 0й) одновременно по всем переменным Если этот максимум можно найти с помощью дифференцирования, то выборочные оценки максимального правдоподобия являются решением системы к уравнений [c.128]

Иногда удобнее находить максимум логарифма функции правдоподобия /(01, 02,, 0й) =1п1(01, 02,, 0 ). Тогда уравнения максимального правдоподобия имеют вид [c.128]

Пример 1 Рассмотрим функцию правдоподобия для среднего значения и дисперсии нормальной плотности вероятности, причем предполагается, что выборка состоит из п наблюдений [c.128]

Пример 2 Предположим, что имеется п пар измерений (хи, хгг), 1=1, 2,. , п, как это было для данных об акселерометре на рис. 3 7. Если предположить, что они могут быть описаны парой случайных величин, совместная плотность вероятности которых является двумерной нормальной плотностью, то логарифмическая функция правдоподобия для п пар наблюдений имеет вид [c.129]

Функция правдоподобия (4 2 21) зависит от пяти параметров, и выборочные оценки максимального правдоподобия можно получить, дифференцируя эту функцию по очереди по всем пяти параметрам и решая полученные уравнения. Можно убедиться, что оценки среднего значения и дисперсии те же самые, что и полученные из правдоподобия (4 2 17), а выборочная оценка максимального правдоподобия для коэффициента корреляции р12 имеет вид [c.129]

Так как функция правдоподобия является функцией только 0, когда наблюдения известны, то выборочная оценка максимального [c.130]

Результат (4 2.25) показывает, что дисперсия оценки максимального правдоподобия обратно пропорциональна второй производной (и, следовательно, кривизне) функции правдоподобия в точке ее максимума Выражение [c.130]

ВЫВОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ [c.146]

Функция правдоподобия была введена в статистику Фишером, но, как отмечалось в разд 4 2, Фишер использовал ее главным образом для получения оценок максимального правдоподобия, которые можно было бы затем использовать для оценивания в методе выборочных распределений Использование же метода правдоподобия для выводов ведет свое начало от работ Барнарда [7, 8] и представляет собой совершенно другой подход к статистическим выводам. Подход Барнарда можно коротко сформулировать в утверждении, что распределения вероятностей полезны прп описании данных до того, как они собраны, в то время как функции правдоподобия полезны при описании данных после того, как они собраны [c.146]

Функция правдоподобия получается подстановкой в плотность вероятности тех значений, которые получили наблюдения в данном эксперименте [c.146]

Функция правдоподобия строится как функция от неизвестных параметров [c.146]

Находятся подходящие способы извлечения и суммирования информации, содержащейся в функции правдоподобия [c.146]

Выводы, основанные на функции правдоподобия 147 [c.147]

После того как данные получены, функция правдоподобия для ц оказывается пропорциональной экспоненте [c.147]

Отсюда функция правдоподобия, рассматриваемая как функция от р., с точностью до множителя равна нормальной плотности вероятности со средним значением х и дисперсией а7л В противоположность этому в методе выборочных распределений X имеет нормальное распределение со средним значением (х и дисперсией <1 1 п [c.147]

Информация, даваемая функцией правдоподобия (4 4 1), по [c.147]

Свойства функций правдоподобия [c.147]

В этом разделе мы рассмотрим интерпретацию функций правдоподобия и правила комбинирования этих функций [c.147]

Принцип правдоподобия. Принцип правдоподобия заключается в том, что если два эксперимента приводят к пропорциональным функциям правдоподобия, то выводы, получаемые из этих экспериментов, должны быть одинаковыми [c.147]

Если оказалось, что для получения трех дефектных прищлось проверить п = 8 транзисторов, то функция правдоподобия после проведения экспериментов окажется равной [c.148]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология