Доверительные области

На основе полученной таким образом выборочной плотности распределения можно обоснованно принимать решения о численных значениях параметров, корректировать исходную модель, более эффективно применять методы планирования эксперимента для уточнения оценок. В частности, но выборочной плотности распределения вычисляются не только точечные оценки обобщенного максимального правдоподобия, но их доверительные интервалы и доверительные области. [c.184]

Рис. 4.4. Совместные доверительные области оценок параметров нелинейной (а) и линеаризованной (б) моделей. Уровень значимости а = 0,08

Регрессионная кривая и результаты наблюдений представлены на рис. 4.2. На рис. 4.3 и 4.4 приведены для нелинейной и линеаризованной моделей плотности распределения откликов в временных точках, в которых проводились наблюдения, и доверительные области оценок кинетических параметров [27]. [c.188]

Из рис. 4.4 следует, что различие между доверительными областями и плотностями распределения откликов для нелинейной и линеаризованной моделями настолько велико, что может быть, безусловно, причиной получения неверных выводов, в частности, об адекватности кинетической модели и ее соответствии экспериментальным данным. [c.188]

Одной из важных задач применения математической статистики является определение доверительной области кинетических параметров физико-химического процесса. Эти параметры определяются по экспериментальным данным, причем в соответствие эксперименту ставится математическая модель с неизвестными параметрами к ,. .., к/. [c.42]

Разработка кинетической составляющей математических моделей состоит из ряда этапов теоретический анализ химизма процесса с целью выбора возможных вариантов кинетической схемы проведение экспериментов на кинетических или укрупненных установках , оценка параметров математического описания по полученным экспериментальным данным оценка доверительных областей параметров оценка принятых гипотез о механизме реакций и планирование дополнительных экспериментов для уменьшения доверительной области параметров и выбора механизма, адекватно описывающего-процесс в исследованной области режимных параметров. Описанная процедура является итеративной, так как не всегда удается получить-однозначный ответ об адекватности единственной модели из всех выдвинутых априори после первой серии экспериментов. Процесс отбраковки неадекватных моделей продолжается до тех пор, пока не-останется единственная модель, не противоречащая всей совокупности экспериментальных данных. [c.423]

При решении задачи оптимизации надежности проектных решений предполагается, что проектный расчет технологического объекта (ХТС или аппарата) проводится по математической модели, которая с точностью до значений параметров адекватно описывает его функционирование. Это означает, что модель точно отражает вид функциональной связи между переменными, характеризующими поведение объекта. Рассогласование, или несовпадение, расчетных и реальных значений переменных объекта объясняется неточностью числовых значений некоторых параметров математической модели. В то же время это рассогласование не нарушает критерия адекватности математической модели объекта, поскольку оно находится в некоторой доверительной области. [c.229]

Для точного построения доверительных областей и определения стандартных отклонений искомых параметров предлагается использовать процедуру табулирования, в которой в окрестности минимума Р производится вычисление Р для ряда значений 1п К ,. . ., 1п К , изменяющихся в некотором заданном интервале с заданными шагами. При числе стадий я 2 можно строить графики табулирования с -областями при выбранных уровнях значимости р = 0,05) (рис. 1, в 2, в). [c.124]

Формулы (9), (10) практически еще непригодны для определения доверительной области, так как полного обследования поверхности 5 ( х) в ходе подбора наилучших значений параметров не производится. [c.253]

Доверительные области для нескольких параметров [c.141]

Распространение результатов разд 4 3 2 на случай оценки нескольких параметров наиболее быстро получается с помощью теории матриц Эти результаты выведены в приложении П4 1, а в настоящем разделе лишь кратко резюмированы В приложении П4 1 показано, что доверительный интервал заменяется в случае нескольких параметров доверительной областью в /г-мерном пространстве параметров б Показано также, что еще одна интерпретация оптимальности оценок наименьших квадратов состоит в том, что они минимизируют объем доверительной области для параметров Для любого отдельного параметра это означает, что оценка наименьших квадратов минимизирует длину доверительного интервала по координате, соответствующей этому параметру [c.141]

Наконец, используя (П4 1 15), получаем 100(1 — а)7о-пую доверительную область для 01, 02 [c.143]

Теория наименьших квадратов также развивалась в рамках метода выборочных распределений Так, оценки наименьших квадратов обладают тем свойством, что они минимизируют среднеквадратичную ошибку, или, что эквивалентно, минимизируют ожидаемый объем доверительной области для параметров [c.163]

Доверительные области. Чтобы вывести доверительные области для 0, рассмотрим тождество [c.171]

Заменяя 0 на 0 в (П4 1 14), получаем 100(1—а)7о-ную доверительную область для параметров 0. Область (П4 1 14) является эллипсоидом в й-мерном пространстве параметров 0, и ее объем, как нетрудно проверить, обратно пропорционален определителю X V X Но =(X V X) и так как выборочные оценки наименьших квадратов минимизируют определитель С , то они, следовательно, минимизируют также и объем доверительного эллипсоида для параметров [c.172]

Вывод доверительных областей непосредственно по контурам, образуемым линиями уровня суммы квадратов. В нелинейных задачах невозможно вывести явные выражения для выборочных оценок наименьших квадратов и матрицы Примеры таких задач приводятся в разд 54 4 В этом случае разложение (П4 1 13) можно записать в виде [c.173]

Снова используя то же приближение, что и в (П4 1 15), получаем совместную 100(1—а) %-ную доверительную область для параметров (а аг) [c.234]

Следовательно, приближенная 95%-ная доверительная область имеет вид [c.234]

На рис. 5 15 показаны линии уровня точной суммы квадратов, изображенные на плоскости (а1, аг) в области, где процесс стационарен Заштрихованная область является 95%-ной доверительной областью Видно, что она лежит целиком внутри области стационарности. [c.234]

Наконец, используя (П4.1.15), можно написать приближенную доверительную область в матричных обозначениях [c.235]

В случае когда 95%-ная доверительная область лежит полностью в области стационарности, как, например, на рис 5 15, функция правдоподобия адекватно описывается своими средними значениями и ковариациями Если же выборочные оценки максимального правдоподобия лежат близко к границе стационарности, то единственный надежный метод заключается в нанесении линий уровня [c.239]

Поскольку трудно выписать в явном виде сумму квадратов, приходится рассмотреть и другой способ получения доверительных областей Если контуры линий уровня суммы квадратов построены, то доверительную область можно получить, выбирая согласно (П4 1 17) тот контур, для которого [c.244]

Отсюда находим доверительную область для неизвестной функции на) с уровнем доверия 1 — а [c.199]

Из (10 3 18) получаем доверительную область для функций усиления и фазы [c.199]

Р и с. 101. Доверительные области для функций усиления и фазы [c.200]

Доверительные интервалы. В общем случае, когда параметры модели отличны от нуля, совместная доверительная область для них дается неравенством (П4 1.14), которое в новых обозначениях имеет вид [c.244]

Выборочную оценку матрицы (11 3 30) можно получить, если заменить в (11 3 29) на выборочные оценки (11.3 27). С помощью (И 3 30) можно получить доверительную область для полного вектора параметров h [c.252]

В этом разделе мы покажем, как оценить частотные характеристики модели (11.4.1) и вывести доверительные области для функций усиления и фазы. Эти результаты будут получены с помощью простого распространения результатов разд. 10.3.3 на многомерный случай. [c.262]

Действуя так же, как и в разд 10 3 4, получим из (11 4 43) совместную доверительную область для Оз,, Оз,, фз, и фз2 [c.264]

Это приближение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем ковариациями членов, образующих Яз, (/) и Язг(/), и поэтому получаются независимые доверительные области для Сз,, фз, и для Оз2, Фз2 Применяя к полученной области дальнейшее приближение, которое мы уже совершали в разд 10.3 4, находим отдельные [c.264]

Однако структура кинетических моделей, как правило, такова, что оценки кинетических констант сильно коррелируют между собой. Это ведет к тому, что функции меры, характеризующие степень совпадения экспериментальных и расчетных данных, обнаруживают в пространстве параметров в окрестности точки минимума наличие оврагов, затрудняющих определение точечных оценок констант. Детерминантные критерии значительно уменьшают объем доверительного эллипсоида, не изменяя коэффициентов корреляций и, следовательно, не исправляя овражной ситуации. В этом отношении критерий формы, максимизируюпщй наименьшее собственное значение информационной матрицы Л/(е), представляется более предпочтительным, так как стремится придать доверительной области сферичность посредством минимизации длины большой полуоси доверительного эллипсоида. [c.189]

Сравнение эффективности этих критериев показывает, что де-терминантный критерий уменьшает объем доверительной областй в основном за счет сжатия гиперэллипсоида по малым полуосям, которые по порядку величин существенно меньше больших полуосей. Критерий формы, напротив, стремится приблизить совмест- [c.189]

Для сравнительно простых случаев теоретический аппарат, методология и вычислительные приемы хорошо разработаны. К сожалению, этого нельзя сказать о сложных задачах. К ним относятся случаи совместной обработки данных, полученных разными методалп , а также задачи большой размерности и существенно нелинейные. Наибольшие трудности здесь вызывает оценка доверительных областей и доверительных интервалов искомых параметров. [c.57]

Сравнение трех критериев проведено табулированием [51. Как видно из рис. 1 и 2, точки минимумов Р, М ж X отличаются, но входят в общие доверительные области [5]. На рис. 3 линии уровней Р, М и X вблизи минимулмв незамкнуты. Такое явление связано с недостаточной информативностью эксперимента (здесь малы концентрации исходных компонентов в равновесии). В этом случае ни один из трех критериев не эффективен. [c.119]

Ортогональные параметры Рис 4 4 Доверительные области для двух парамегров. [c.144]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология