Точка бифуркации

Представим себе, что бифуркации происходят при значениях параметра 01, 02, 0з,. .. если откладывать значения 0 вдоль некоторой прямой, можно разбить ее на отрезки, разделяемые точками бифуркации. Внутри каждого отрезка система является грубой, в точках бифуркации — негрубой, после перехода через точку бифуркации в ту или иную сторону — снова грубой, но уже с другой топологической структурой фазового портрета. [c.137]

Точки О ц Р называют точками бифуркации, а соответствующие им значения параметра у и у бифуркационными значениями . [c.87]

Точки бифуркации и возникновение новых диссипативных структур [c.367]

Рис. 18.2. Зависимость стационарного значения параметра х (например, концентрации или термодинамического напора некоторого промежуточного компонента) а) и соответствующего изменения скорости производства энтропии (6) от управляющего параметра а при отклонении от точки лс(ад) исходного равновесия и при переходе точки бифуркации а

Бифуркационные значения параметров можно найти, если заметить, что кривые N if°, Гдо, i o) точках бифуркации имеют вертикальную касательную. Продифференцируем уравнение (2.79) по ]>го(где / = [c.92]

Неустойчивости, обычно возникающие за точками бифуркации, обязаны своим появлением термодинамическим флюктуациям, которые могут быть причиной вывода системы из равновесия. Возможен с.тучай, когда неустойчивость приводит к появлению нового состояния системы, которое стабилизируется во времени и пространстве. Такое состояние означает, по существу, образование новой так называемой диссипативной структуры, характеризующейся согласованным поведением системы. Термин диссипативные структуры специально введем для того, чтобы подчеркнуть отличие от равновесных структур. Диссипативные структуры являются поразительным примером, демонстрирующим способность неравновесности служить источником упорядоченности. Механизм образования диссипативных структур следует четко отличать от механизма формирования равновесных структур, основанного на больцмановском принципе упорядоченности. Поддержание стабилизированной во времени и пространстве физико-химической структуры с определенным типом изменения концентрации реагентов достигается за счет непрерывного обмена с окружающей средой энергией и веществом, что является прямым следствием образования диссипативных структур в открытых системах и тем самым отличает их от равновесных структур (например, кристаллов). [c.281]

Такой набор параметров называется точкой [бифуркации уравнения (У.38). [c.171]

Система с единственным стационарным состоянием для данного размера частиц катализатора может иметь множественные стационарные состояния при уменьшении размера частиц. Точка перехода от единственного решения системы к множественному называется точкой бифуркации. Современная топология занимается обоснованием линеаризации в точках бифуркации обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.246]

Точки О и Р называют точками бифуркации, а соответствующие им значения к Ко — бифуркационными значениями. [c.230]

С позиций термодинамики стационарные состояния, расположенные на участке / кривой рис. 18.2, при малых отклонениях а от устойчивы в силу теоремы о минимуме скорости производства энтропии в таких состояниях. При дальнейшем удалении от точки равновесия а = мы можем выйти за пределы применимости линейной термодинамики, оставаясь тем не менее еще на термодинамической ветви, описываемой, например, функционалом стационарного состояния типа положительно определенной функции Ляпунова (см. разд. 18.4.2). При этом для термодинамического анализа устойчивости состояния необходимо использовать критерий устойчивости стационарных состояний (18.1) по положительному характеру избыточной диссипации энергии ЪР. Согласно этому критерию все состояния на термодинамическом участке 1 кривой л (а) до точки бифуркации а (а < а < а ) устойчивы [c.371]

На нетермодинамической ветви в области неустойчивых стационарных состояний свойства системы зависят от конкретного вида дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение при значениях параметров за точкой бифуркации. Например, система может вести себя как химическая машина с четко детерминированным начальными условиями поведением, однако это поведение может соответствовать и хаосу , при котором малейшие флуктуации вызывают сильные и нерегулярные изменения состояния системы. [c.371]

Очевидно, что этот перенос теплоты является здесь сопрягающим процессом по отнощению к установлению сопряженного конвективного процесса. При этом роль управляющего параметра а здесь играет разность температур А Г точка АГ р соответствует точке бифуркации. [c.378]

В работах [31—33] Пригожин рисует картину поведения систем с большим числом взаимодействующих субъединиц (например, молекул А и В) в одном случае вблизи состояния равновесия, а в другом— при достаточно большом удалении от равновесия. В первом случае система обладает определенной устойчивостью, иммунитетом к возмущениям, и если эти возмущения оказываются не очень сильными, она возвращается к состоянию равновесия, ее структура разрушается. Во втором случае, при удалении от равновесия, система теряет свой иммунитет к возмущениям , становится неустойчивой, и если эти возмущения (например, химические реакции с нелинейными стадиями, в частности автокатализ) оказываются достаточно сильными, то система достигает точки бифуркации (разветвления), в которой отклик системы на возмущение становится неоднозначным, возврат к начальным условиям не обязательным. В таком случае происходит необратимый переход системы в новое, когерентное, состояние система приобретает устойчивую диссипативную структуру (т. е. структуру, образованную за счет диссипации, рассеяния энергии). Суть когерентности здесь выражается все в той же коллективной стратегии поведения субъединиц системы. Система может далее пройти вторую точку бифуркации, третью и т. д. [c.215]

Поскольку оператор с ядром (1У.81) эрмитов, все его собственные значения действительны. При малых конверсиях все они положительны, т. е. оператор является положительно-определенным. Однако с увеличением конверсии р минимальное собственное значение в точке бифуркации обращается в нуль. В зависимости от того, нарушается или нет положительная определенность оператора при переходе р через точку бифуркации, последняя может относиться к одному из двух типов. Первый из них соответствует спинодальному переходу, в то время как второй — гелеобразованию. Для того чтобы это показать, следует вычислить определитель в (1У.82) [c.280]

Величина X > О во всей области изменения конверсии, за исключением гель-точки, где она обращается в нуль. Поэтому нарушение положительной определенности оператора (1У.81) происходит только на спинодали р = рсп- В случае р < рсп точке бифуркации Я1 = О отвечает образование бесконечной молекулы геля, чему математически соответствует появление асимметричных решений (1У.69). На [c.280]

Для рассмотренных здесь химических примеров характеристики периодических процессов однозначно определяются кинетическими константами и концентрациями начальных и конечных продуктов. Нейтральной устойчивости (см. выше) соответствует так называемая точка бифуркации, в которой происходит расщепление [c.220]

Сравнение результатов, полученных здесь и в гл. 14, позволяет указать несколько различных форм неустойчивости. Одним из двух типов неустойчивости, которая может возникать в схеме (разд. 15.2), является точка бифуркации, определение которой дано в разд. 14.6. Второй тип неустойчивости — смена устойчивости, когда мнимая часть частоты нормальной моды обращается в нуль. Здесь неустойчивое стационарное состояние является узлом (рис. 9.1). В этом случае мы имеем точку второго типа [c.233]

Хим. р-ция часто представляет собой нелю ейный процесс, имеющий сложное пространственно-временное поведение и описываемый нелинейными дифференциальными ур-ниями с бифуркационными параметрами. Таким параметром м. б. т-ра или параметр, характеризующий распределение тепла в реагирующем объеме. Воздействие лазерного излучения на реагирующую смесь вблизи точек бифуркации позволяет резко изменять режим теплового хим. процесса при малых затратах лазерной энергии (см. Неравновесная химическая кинетика). [c.565]

Вторая возможность образования фуллеренов в сплавах - в процессе первичной кристаллизации. Совокупность известных фактов позволяет рассматривать железо-углеродистые расплавы как среды, структурированные фуллереновыми кластерами. В этом случае оправдано использование принципов синергетики, описывающих поведение систем, далеких от равновесия, в точках неустойчивости системы, связанных с неравновесными фазовыми переходами. В этих точках реализуется принцип подчинения, в соответствии с которым, множество переменных подчиняется одной - параметру порядка. Это обусловливает, как уже отмечалось, взаимосвязь критических параметров, контролирующих границы стабильного развития процесса для предыдущей и последующей точки бифуркаций, с параметрами порядка, что позволяет использовать их для прогнозирования механических свойств. [c.35]

Решение вопроса о возможности создания на научной основе стратегической программы направленного эволюционного развития биосферы оказалось тесно связанным с проблемой случайности и необходимости. В изучении статистико-детерминистических явлений эта проблема приобретает, как показал Пригожин, принципиально новое и важное значение. Выше отмечалось, что явления такого типа возникают только в системах, находящихся в сильно неравновесном состоянии, чрезвычайно чувствительном к внешним воздействиям. Вдали от положения равновесия на первый план выступают нелинейные соотношения, и слабый сигнал на входе в систему может приводить к сильнейшему и, что особенно важно, совершенно неожиданному эффекту. Это происходит в точке бифуркации, [c.42]

Область III между кривыми а и Ь слева от 3 соответствует области равновесного роста КВЦ, где решающую роль играет отбор зародышей, тогда как небольшое растяжение до точки бифуркации лишь ускоряет его, но не меняет характер процесса в целом. Это опять показывает, что при р происходит переход поведения и квазистатический рост КВЦ сменяется ориентационной кристаллизацией. [c.109]

Значения параметров системы, при которых она меняет свое поведение, называются критическими или точками бифуркации. [c.492]

Значения параметров, при которых выполняется условие (5.8), следуя Пуанкаре, назовем бифуркационными, а соответствующие точки на кривой (5.3) точками бифуркации. [c.174]

Если Ф = О, то в точках бифуркации Л и О на рис. 5.3 [c.174]

Таким образом, точки кривой N( p°, Рдо, Рсо) =0, для которых (v , liio. Ч о) - О, являются точками бифуркации. Совместное решение этих двух уравнений дает [c.92]

Связь между параметрами течения при захлебъгаании можно получить из уравнения (2.96), используя методы теории бифуркаций. Отметим, что в этом случае переменная, определяющая состояте дисперсного потока зависит от четырех параметров Удо, (Л о и либо И, так как является функцией к. Из соотношений (2.80) и (2.81) ясно, что вне зависимости от числа параметров, значения их в точках бифуркации определяются совместным решением двух уравнений N=0 и Л = 0. Используя для функции N выражение (2.96) и проводя необходимые вычисления, получаем [c.102]

Характер бифуркации, происходящей на кривой а = О, зависит от знака первой ляпу-новской величины, т. е. выражения аз, определяемого формулой (IV, 10) если аз < О, то бифуркация заключается в том, что устойчивый предельный цикл стягивается в фокус если аз > О, то положение равновесия, становясь устойчивым, рождает неустойчивый предельный цикл. [c.152]

Описание системы с бифуркацией включает и детерминистический, и вероятностный элементы. Между двумя точками бифуркации в системе выполняются детерминистические законы, например законы химической кинетики, но в окрестности точек бифуркции существенную роль играют флюктуации, и именно они выбирают ветвь, которой будет следовать система. [c.320]

В реакционно-диффузионных мембранах, где возникают, мигрируют и распадаются промежуточные химические соединения, массоперенос описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых неоднозначно и сильно зависит от степени неравновесностн системы при этом в результате сопряжения диффузии и химической реакции возможно возникновение новых потоков массы, усиливающих или ослабляющих проницаемость и селективность мембраны по целевому компоненту. При определенных пороговых значениях неравно-весности, в так называемых точках бифуркации, возможна потеря устойчивости системы, развитие диссипативных структур, обладающих элементами самоорганизации. Это характерно для биологических природных мембран, а также для синтезированных полимерных мембранных систем, моделирующих процессы метаболизма [1—4]. [c.16]

Обсуждение механизмов структурного изменения может быть сделано количественным, используя теорию элементарных катастроф Тома [4]. На основании анализа универсальных разверток , соответствующих сингулярностям особого типа, эта теория дает математическую модель структурных изменений в окрестности точки бифуркации. Возможность использования теории элементарных катастроф для описания изменений молекулярной структуры впервые была отмечена Коллардом и Холлом [5]. Примером является функция /, определяемая уравнением (3), которая называется разверткой эллиптической омбилической точки [c.60]

Коэффициенты чувствительности для параметров, таких, как константы скорости, качественно подобны коэффициентам, показанным на рис. 26 для обоих осцилляторов, т. е. функциям незатухающих колебаний в зависимости от времени. Исходное решение для осциллятора Лотки — Вольтерра взято равным периодическому решению, справедливому для ку = к2 = = 1,0ик = к = 0,0. Если к и к отличны от нуля, то колебания будут затухать или полностью прекратятся. Следовательно, эта исходная точка является точкой бифуркации в двух направлениях к мк ъ пространстве параметров. Следует ожидать, что коэффициенты чувствительности дС /дк , дС/дк будут качественно отличаться от коэффициентов чувствительности для параметров к — к , но фактически такие качественные различия не наблюдаются. Однако при использовании для выделения чувствительностей периода дт/дк и дт/дк метода, описанного в предыдущем разделе, возникали трудности, связанные с численными расчетами, которые не встречалисвт1ри расчетах дт/дку, дг/дк и дт/дк . В действительности с помощью этого метода невозможно найти величины дт/дк и дт/дк . Эти величины, по сути, не являются хорошо определенными для этой задачи, поскольку вариации величин к и к вдали от исходной нулевой точки приводят к тому, что периодическая фунышя становится неустойчивой. [c.429]

ГПейнтух [185] проанализировал кинетический механизм колебаний, включающий в качестве переменных концентрации поверхностного оксида и реагентов в газовой фазе. Было показано, что в зависимости от условий может быть достигнуто асимметричное состояние поверхностного оксида. Было установлено, что это асимметричное состояние устойчиво, кроме области вблизи точки бифуркации, где возможны колебательные решения. Была создана математическая модель. Шейнтух и Писмен [188] изучали наличие негомогенных состояний поверхности для трех колебательных кинетических моделей, т. е. автокаталитической переменной газовой фазы, автокаталитической переменной поверхности и двух переменных поверхности. В работе Шейнтуха [186] также проанализирован кинетический механизм колебаний, использующий в качестве переменных две поверхностные концентрации, проведены расчет предлагаемой модели механизма и его обсуждение. [c.121]

Величины X, = у, + ш, наз. характеристич. числами. В неколебат. устойчивых системах X, отрицательны и действительны (у, <0, ш, = 0). В этих случаях обычно вместо X, используют времена релаксации т, = 1Д,. Если стационарное состояние достаточно близко к состоянию термодинамич. равновесия (выполняются соотношения взаимности Онсагера, см. Термодинамика необратимых процессов), то все X, действительны и отрицательны (теорема Пригожина). В этом случае система приближается к стационарному состоянию без колебаний. В сильно неравновесных системах X, могут стать комплексными числами, что соответствует появлению колебаний около стационарного состояния. При определенных значениях параметров сильно неравновесной системы (концентраций исходных реагентов, т-ры, давления и т.д.) стационарное состояние может потерять устойчивость. Потеря устойчивости стационарного состояния является частным случаем бифуркации, т.е. изменения при определенном (бифуркационном) значении к.-л. параметра числа или типа разл. кинетич. режимов системы. Имеется два простейших случая бифуркации устойчивого стационарного состояния. В первом случае одно X. становится положительным. При этом в точке бифуркации (X, = 0) исходно устойчивое состояние становится неустойчивым или сливается с неустойчивым стационарным состоянием и исчезает, а система переходит в новое устойчивое состояние. В пространстве параметров в окрестности этой бифуркации существует область, где система обладает по крайней мере тремя стационарными состояниями, из к-рых два устойчивы, а одно неустойчиво. Во втором случае действит. часть одной пары комплексных характеристич. чисел становится положительной. При этом в окрестности потерявшего устойчивость стационарного состояния возникают устойчивые колебания. После прохождения точки бифуркации при дальнейшем изменении параметра количеств, характеристики колебаний (частота, амплитуда и т.д.) могут сильно меняться, но качеств, тип поведения системы сохраняется. [c.428]

Макрокинетич. анализ показывает, что в случае сложного динамич. поведения системы всегда имеются две нли более последоват. стадии со сравнимыми по величине характерными времена.ми, причем хотя бы одна из них является нелинейной. Между стадиями возникает положит, обратная связь, что и приводит к появлению неустойчивости состояний, точек бифуркации, гистерезисных явлений, множественности стационарных состояний и т. п. Так, в случае экзо-терчгич. р-ции с существенно нелинейной зависимостью константы скорости (а значит, и характерного времени /,) от т-ры возможны условия, при к-рых стационарный профиль т-ры становится неустойчивым и возникает тепловой взрыв (см. Воспламенение). Взаимозависимость стадий тепловыделения вследствие хим. р-ции и теплоотвода в окружающую среду приводит к гистерезисным явлениям (явления зажигания и потухания р-ции). [c.634]

Граничный случай, когда прямая у = onst касается кривой (5.12), соответствует изменению числа состояний равновесия в системе. Значения параметра, при которых происходит изменение числа состояний равновесия в системе, называют бифуркационными, а соответствующие им точки кривой (5.12) - точками бифуркации. Если мы будем медленно [c.83]

Зависимость равновесной температуры от входной ДОя случая, когда в системе возможно несколько состояний равновесия, имеет гис-терезисный характер. При увеличении Уо от О яо у1 (0<Уо <у1 ) состояния равновесия находятся сначала на участке кривой 05, при дальнейшем росте Уо состояния равновесия будут на участке кривой ОЕ. Переход с участка кривой 08 на участок кривой ОЕ осуществляется в точке бифуркации В при у(гу1 . При обратном движении, т.е. при уменьшении уо, мы будем двигаться сначала по участку С, затем в точке бифуркации С при у о -у , т.е. при меньшей, чем в предыдущем случае входной температуре (уо , переходим на участок ОА, [c.84]

Поскольку композиты относятся к открытым неравновесным термодинамическим системам, то гфи изучении происходящих в них процессов нужно учитывать изменение общей энтропии во времени. Эволюция таких систем может осуществляться либо плтем самоорганизации и возникновения метастабильных упорядоченных структурных состояний, либо путем общей деградации и распада системы. Изучением путей эволюции открытых термодинамических систем различной природы и поиском точек бифуркаций, где возможен переход от одного режима эволюции системы к другому, занимается активно развивающаяся в последние годы наука - синергетика. [c.67]

Указанные механизмы массопередачи в качественном отношении подтверждают предполагаемый характер зависимости интенсивности массообмена от числа Марангони. Так, следуя работе [120], в случае сравнительно малых градиентов поверхностного натяжения состояние поверхности стабильно (участок 1 на рис. 4.8), хотя может наблюдаться заметное изменение массообменных характеристик при изменении хюх на поверхности. При достижении определенного числа Ма происходит резкое изменение гидродинамической картины вблизи поверхности образуются упорядоченные конвективные структуры типа циркуляционных ячеек (участок 2). Дальнейшее повышение числа Ма может привести к нарушению устойчивости стационарных ячеек и образованию организованных структур нового типа (полосы или ячейки различной формы участок 3). Наконец, при достижении нового критического значения числа Марангони в точке бифуркации Лз происходит полная дестабилизация поверхности, проявляющаяся, в частности, в виде эрупций. [c.115]

Среди точек ветвления различают устойчивые и неустойчивые в устойчивых точках dfldq > О (точка Б. на рис. 5.3), а в неустойчивых df/dq < 0. Кроме того, различают точки ветвления нулевого, первого и более высоких порядков. Точкам ветвления нулевого порядка соответствует бифуркация смещений, производные для продолжающихся ветвей решения в точке бифуркации различны. В точках бифуркации первого порядка продолжающиеся ветви решения имеют общую касательную, но различные производные второго порядка и т. д. [c.174]