Супероператор

Вторая глава начинается с уравнения движения и посвящена описанию динамики спиновых систем. Она дает математический аппарат, необходимый для работы с оператором плотности. В рамках общей формулировки фурье-спектроскопии в ней рассматриваются главные факторы, определяющие уравнение движения, а именно гамильтониан и супероператоры релаксации и химического обмена. [c.10]

Ж супероператор гамильтониана (супероператор [c.14]

К супероператор унитарного преобразования [выра- [c.16]

Настоящую главу мы начнем с изложения основных положений теории оператора плотности и, в частности, тех ее аспектов, которые используются для объяснения импульсных экспериментов ЯМР в жидкостях и твердых телах. В разд. 2.1 мы запишем уравнение движения оператора плотности. Свойства системы задаются полным гамильтонианом Ж, который управляет движением всей молекулярной системы. Однако для магнитного резонанса достаточно знать только приведенный спиновый гамильтониан который включает в себя только переменные ансамбля ядерных спинов (разд. 2.2). Этот спиновый гамильтониан не учитывает зависящие от времени случайные взаимодействия между спиновой системой и ее окружением. Однако эффекты таких взаимодействий можно представить через релаксационный супероператор, рассматриваемый в разд. 2.3. В заключительном разд. 2.4 мы обсудим проявление химического обмена. [c.29]

Интегрирование основного уравнения (2.1.34) в общем виде является сложной задачей, причем с усложнением релаксационного супероператора Г трудности возрастают. В ряде случаев подходящий выбор базиса, в котором выражается оператор плотности, позволяет свести задачу к поддающимся решению уравнениям. Ниже мы опишем несколько таких подходов. [c.36]

Наиболее прямой подход к решению основного уравнения (2.1.34) (решение с помощью грубой силы ) основан на явном матричном представлении входящих в него операторов. Выберем произвольный набор базисных функций / > ] и найдем матричные элементы ff = . С помощью релаксационного супероператора Г любой матричный элемент ош можно преобразовать в Ors, так что необходимо иметь представление с двумя парами индексов [c.36]

Члены, возникающие от коммутатора с гамильтонианом Ж, могут быть выражены матричными элементами ш коммутаторного супероператора (см. разд. 2.1.4) [c.37]

Аналогия между пространствами Гильберта и Лиувилля позволяет ввести супероператоры, которые определяли бы операторные соотношения в пространстве Лиувилля. . [2.7—2.9]. Примером такого операторного соотношения может служить коммутатор в уравнении (2.1.17) [c.40]

Это соотношение можно записать в сокращенной супероператор- Ой форме <,.[ , ], (2.1.54) [c.40]

Оператор 5, действующий на операторы, называется линейным супероператором, если [c.40]

В полной аналогии с операторами супероператоры 5 могут быть представлены (супер)матрицами в любом подходящем орто- [c.40]

Супероператоры можно классифицировать в соответствии с теми же критериями, что и операторы. Сопряженный супероператор 5 дается выражением [c.41]

Для эрмитова супероператора имеем 5 = 5. Унитарный супероператор определяется соотношением = Рассмотрим теперь кратко несколько особенно важных классов супероператоров. [c.41]

Для каждого оператора С может быть определен коммутаторный супероператор С [c.41]

Коммутаторные супероператоры называются также производными супероператорами и могут быть представлены в виде следующей [c.41]

Если С — эрмитов оператор, то коммутаторный супероператор С также эрмитов. [c.41]

Супероператоры унитарного преобразования [c.42]

По аналогии с проекционными операторами Pj можно определить проекционные супероператоры в пространстве Лиувилля которые проецируют произвольный оператор А на оператор В [c.43]

Для двумерной спектроскопии особый интерес представляет /7-квантовый проекционный супероператор Р . Действуя на оператор плотности а, он выделяет операторы соответствующие изменению квантового числа на. р = ДЛ/ = Mr - Ms, т. е. [c.44]

Общее представление супероператоров [c.44]

Очевидно, что существует п линейно независимых супероператоров. [c.44]

Кроме того, можно написать следующее матричное представление супероператора унитарного преобразования RA = RAR [c.46]

Собственные значения и собственные операторы супероператоров [c.46]

Собственные значения супероператора S находят с помощью уравнения [c.46]

Для собственных значений коммутаторного супероператора Ж можно получить простые соотношения. Если обозначить собственные значения Ж через Ег (г = 1,. .., п), то для собственных значений оз супероператора имеем [c.46]

Точно так же, как линейные операторы [Bs), которые натягивают пространство Лиувилля образуют операторную алгебру, супероператоры тоже образуют алгебру, поскольку они натягивают векторное пространство размерностью п X п , в котором определены произведения. Иерархия линейных пространств показана на рис. 2.1.3. [c.46]

Рис. 2.1.3. Иерархия линейных пространств в квантовой механике. Супероператоры создают линейное отображение операторной алгебры, в то время как операторы производят линейное отображение гильбертова пространства.

Однопереходные операторы сдвига являются собственными операторами супероператора гамильтониана [c.62]

Гамильтониан взаимодействия с постоянным полем инвариантен относительно вращения вокруг оси z. Учитывая то, что как релаксационный супероператор Г при больших значениях поля, так и равновесный оператор плотности ао тоже инвариантны относительно вращения вокруг оси z, получаем следующее дифференциальное уравнение для оператора плотности во вращающейся системе координат [c.70]

Составляющие его члены мы рассмотрим в.разд. 2.2. В уравнении (2.1.34) релаксационный супероператор Г описызаст взаимодействия спиновой системы с решеткой, приводящие к диссипации, и определяет равновесное значение аа оператора плотности (разд. 2.3). [c.36]

Мы условимся, что Ж 1ка, Зка и Ра, относящиеся соответственно к гамильтониану Жк спиновым операторам / , 5 и Р , обозначают коммутаторные супероператоры. Супероператор Ж, который играет главную роль в уравнении для оператора плотности (2.1.17), называется супероператором Лиувилля. Супероперато-РЬ1, обозначаемые другими символами, мы будем определять по мере их использования. [c.41]

Унитарное преобразованиее /гл/ ", где R = ехр -i ), можно записать с помощью унитарного супероператора R следующим образом [c.42]

Представление суперматриц в виде прямых произведений матриц в подходящем базисе можно применять для расчета супермат-ричных представлений коммутаторов и унитарных преобразований. Для коммутаторного супероператора С выполняется следующее соотношение [c.45]

В качестве примера на рис. 2.1.2 изобргшено матричное представление коммутаторного супероператора для одного спина, который в соответствии с (2.1.82) равен 1/2. [c.46]

Отсюда видно, что набор собственных значений orsl коммутаторного супероператора состоит из полного набора разностей собственных значений гамильтониана Ж [c.46]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология