Основные формулы интегрирования

Выражение (12—12) является основной формулой интегрирования дифференциального уравнения (12—8) путем разложения решения в ряд Тейлора. Полагая в ней последовательной = 0,1,2,. .., п, п = Ь—а) к, можно вычислить решение уравнения (12—8) в п точках интервала (а, Ь). Очевидно, чем больше членов разложения и чем меньше шаг интегрирования, тем точнее будет получено решение. [c.351]

Основные формулы интегрирования [c.547]

Прежде чем приступить к выводу основных уравнений, решение которых выражает оптимальные условия для процесса с распределенными параметрами,, характеризуемого системой уравнений (IV, 201), преобразуем интеграл в функции (IV, 210) с помощью формулы интегрирования по частям . [c.190]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Формулы Рунге—Кутта. Наиболее распространенными в практике интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений являются формулы Рунге—Кутта. Эти формулы классифицируются но степени приближения их по точности к разложению решения в ряд Тейлора. Формулы, точные до второго, третьего, четвертого и т. д. членов разложения, носят название формул второго, третьего, четвертого и т. д. порядка соответственно. Достоинством формул Рунге —Кутта является то, что нри их использовании не нужно вычислять производные выше первого порядка, а их основной недостаток — громоздкость и значительный объем вычислений на каждом шаге. [c.359]

Конечно-разностные формулы. Формулы Рунге—Кутта четвертого порядка получили наибольшее распространение в практике интегрирования дифференциальных уравнений с исполь-зованием вычислительных машин. Однако даже при относительно высокой точности их применение связано со значительным объемом вычислений, особенно если правые части уравнений являются сложными выражениями. Основным недостатком этих формул является то, что приходится вычислять три-четыре значения функции и усреднять на каждом шаге интегрирования. Прогноз решения осуществляется исходя из информации лишь в данной точке, и совсем не используется информация о решении в предыдущих точках. В прикладных задачах, например, связанных с нестационарными процессами, решения часто представляют собой монотонные функции, приближающиеся к стационарному состоянию, причем значительные изменения тангенса угла наклона интегральной кривой наблюдаются только на начальном участке интегрирования. Поэтому для вычисления значения интегральной кривой в последующей точке иногда целесообразно аппроксимировать решение, используя информацию о нем в предыдущих точках, т. е. его предысторию. [c.365]

Особенностью процесса конденсации парогазовой смеси является существенное изменение состава потока по мере конденсации его паровой части. Так, если на входе в аппарат поток может содержать в основном паровые компоненты с небольшими добавками инертного газа, то на выходе картина может быть прямо противоположной. Это обстоятельство, а также изменение температуры потока (в отличие от конденсации чистого компонента) приводит к тому, что теплофизические свойства потока, а следовательно, и коэффициент теплопередачи могут существенно изменяться вдоль поверхности теплообмена. В этом случае, как уже отмечалось в гл. 1, для расчета площади поверхности не могут быть использованы простые зависимости (1.15) и (1.16), основанные на допущении о постоянстве теплоемкостей потоков и коэффициента теплопередачи. Более того, в ряде случаев не дают удовлетворительного результата и методы, описанные в разделе 1.3, основанные на более сложных посылках. Кр ме того, прогнозировать конкретный вид зависимости коэффициента теплопередачи вдоль поверхности бывает очень сложно. В этой ситуации наиболее надежные результаты мог т быть получены путем численного интегрирования уравнения теплопередачи, т. е. непосредственный расчет по общей формуле (1.14). Практически это делается следующим образом. [c.190]

Следовательно, дважды интегрируя по потенциалу серию С, -кривых, можно получить зависимости ст от , а затем использовать их для количественного расчета адсорбции органического вещества по формуле (1.11). Основную трудность при этом представляет выбор констант интегрирования в случае твердых электродов, для которых невозможны прямые электрокапиллярные измерения. Если в области идеальной поляризуемости электрода реализуется потенциал катодного слияния С, -кривых с добавками и без добавок органического вещества (обозначим его через Е ), то задача эта решается с помощью метода обратного интегрирования. [c.27]

При помощи уравнений (VII.57) и (VII.62) можно рассчитать зависимость 0 от потенциала электрода при различных концентрациях органического вещества, а затем по формуле (VII.54) рассчитать соответствующие кривые заряда. На рис. VII.27 сопоставлены теоретически рассчитанные i/, -кривые с полученными интегрированием экспериментальных кривых емкости кадмиевого электрода в 0,1 и. KF с различными добавками н-пропилового спирта. Хорошее согласование расчетных и опытных данных указывает на правильность основных допущений теории. [c.200]

Как мы показали, фурье-анализ функции плотности объекта описывает физическое явление рассеяния синусоидальной волны на этом объекте. Обратная операция (фурье-сиптез) представляет чисто математическую процедуру интегрирования или суммирования рядов Фурье. Формулы (В.10) дают решение основной задачи структурного анализа — определения функции плотности р (г). Для этого используются экспериментальные картины трехмерной дифракции от объекта. [c.13]

Некоторые свойства распыленного топлива. Будут получены уравнения для основных характеристик распыла nJ и <г) в системах, для которых функция С ,о определяется формулой (22). Если подставить выражение (15) в формулу (20), воспользоваться соотношениями (12) и (22) и перейти от переменной интегрирования г к новой [c.341]

Формула (IV. 14) существенно упрощается в двух важных предельных случаях [17—19]. Рассмотрим сначала случай малых расстояний Я Я,о/2я. Благодаря наличию экспоненциально возрастающего множителя ехр 2р Н1с) в знаменателях подынтегрального выражения в (IV.14) основную роль при интегрировании по переменной р играют такие значения, когда (р Шс) 1. При этом р 1 и потому можно с достаточной точностью положить 1 82 р. В этом приближении первый член в фигурных скобках в (IV. 14) обращается в нуль. Второй же член после введения переменной х = 2р%Н1с дает [c.74]

Во всех предшествующих формулах не учитывалась зависимость физических констант от температуры. Точно учесть эту зависимость можно методами численного интегрирования. В приближенной теории основную роль играет область вблизи максимальной температуры горения, и поэтому значения констант следует брать для той же температуры, т. е. для продуктов горения. Но при этом и скорость пламени w получается по отношению к продуктам горения. Между тем термическое расширение (а также и изменение числа молей при реакции) вызывает движение газа, даже если он первоначально и был неподвижен. Поэтому скорость пламени по отношению к исходной смеси Wq отличается от скорости его по отношению к продуктам горения w. Ввиду малой толщины фронта пламени поверхность горения можно считать одинаковой для исходной смеси и для продуктов, а следовательно, одинаковой должна быть и массовая скорость горения, откуда следует соотношение [c.371]

В заключение можно сделать несколько замечаний о характере приближений, принятых нами для описания многоцентровой адсорбции. в основном эти предположения касаются параметра экранирования п. При переходе от суммирования к интегрированию в формуле (П1,107) подразумевалось, что упомянутый параметр является гладкой функцией заполнения. Между тем, опыты по заполнению плоских решеток показывают, что параметр экранирования изменяется небольшими скачками. Однако, с одной стороны, такие скачки невелики, а с другой стороны, они возникают только при построении какой-либо одной из последовательностей конфигураций частиц. Если проанализировать среднее по многим последовательностям конфигураций изменение параметра экранирования с заполнением, получается гладкая кривая, и предельный переход к интегралу возможен. [c.85]

Книга в основном рассчитана на широкие круги практиков, не специализирующихся в структурном анализе и не имеющих физико-математической подготовки. Поэтому все изложение выдержано в общедоступном стиле. Исключение составляют выводы некоторых формул. Однако затрагиваемые нами случаи интегрирования и простейших операций с векторами легко могут быть найдены в руководствах по математике. [c.8]

На практике часто оказывается, что число пар импульсов давления мало, при этом формула (16.2.2.6) неприменима. Основная погрешность происходит от замены суммирования (16.2.2.3) интегрированием (16.2.2.5). [c.472]

Выше мы вывели формулы для полного потенциала (и свободной энергии) непосредственно из выражений энтальпии и энтропии. Но можно прибегнуть и к другому приему вычисления, основанному на том фундаментальном законе термодинамики, что для двух фаз, находящихся в равновесии, полные термодинамические потенциалы равны. Этот закон в простейших, случаях, например при равновесии пара и конденсата, легко обосновать интегрированием основного уравнения термодинамики [c.193]

Формула (391) и является основной для расчета дестилляционных колонн с насадкой пользуясь ею, путем графического интегрирования (см. простая дестилляция) можно определить высоту колонны для заданных условий. [c.530]

В случае жестких систем, т.е. при большом разбрюсе характеристических времен, это очень эффективная процедура. Если же шаг интегрирования лимитируется в основном величиной нелинейности дифференциального уравнения, то можно использовать формулы, в которых удается избегать большего числа перемножения матриц — наиболее трудоемкой процедуры. Для этого можно использовать рекурренту [c.82]

При обработке проб капель возникает важный вопрос об аппроксимации функции распределения эмпирической формулой. Одну из первых формул предложили Розин и Раммлер. Анализируя опытные данные по дроблению твердых веществ, которые могли быть представлены унимодальными кривыми, они пришли к выводу, что для описания этих данных подходит функция, взятая из системы кривых распределения К- Пирсона. Однако еще лучшую сходимость с опытом дало выражение (р—рдЯ-Р ехрУС Х.(-дЯР), которое после интегрирования принимает вид Ф=ехр(—дДр), где р, д — константы, определяемые из эксперимента. Это выражение находит широкое распространение при обработке данных по распылу. Нетрудно видеть, однако, что специфика обработки данных в форме интегральной кривой играет здесь не последнюю роль. Экспериментальные точки, представленные в функциональной системе координат, полученной двойным логариф1цирова-нием, сохраняют основной характер интегральной кривой, ибо логарифм — функция монотонная. Построенную таким путем систему точек всегда можно с той или иной степенью точности аппроксимировать прямой, наклон которой определяет константу р. Получение диффер.енциаль-ной кривой по этой константе часто является неудовлеТ верительным. [c.154]

Вторая из этих формул известна как формула Плессета—Цвика. Решение Скрайвена (1.183) нашло превосходное подтверждение в опытах при относительно небольших перегревах жидкости (Ла<20). При больших значениях числа Ja оказывается неприменимым основное допущение энергетической модели роста — о постоянстве давления и температуры пара в пузырьке. В этом случае задача о росте парового пузырька в объеме жидкости может решаться либо путем численного интегрирования системы уравнений неразрывности, движения и энергии, либо приближенными аналитическими методами, анализ которых приводится в [50]. [c.100]

Мгновенный поток массы, перпендикулярный направлению основного потока, за единицу времени и на единицу площади есть pv, а х — перенос количества движения, связанный с этим потоком—ри и. Этот осредненный член является не чем иным, как другим выражением для напряжения трения, которое описывается уравнением (8-2). В полных уравнениях Навье — Стокса имеется несколько таких членов (выражающих перенос количества движения по трем направлениям осей координат). Уравнения (8-20) и (8-21) позволяют лучше понять процесс, который обусловливает турбулентное напряжение трения. Для интегрирования уравнений нужно использовать добавочные выражения, которые связывают члены, содержащие величины флуктуации (u , и и и т. д. с осредненнымп во времени величинами. Т. В. Буссинеск был первым, кто предложил такое выражение, представив формулу для напряжения трепия при т1урбул0нтно1м режиме [c.275]

Основные сведения о ядерном эффекте Оверхаузера (ЯЭО) были изложены в разделе 2.2.6. Для протеинов одномерные экспериментальные методики определения ЯЭО не имеют большого значения, так как в спектрах ЯМР н существует весьма ограниченная область, в которой удается достичь разрешения, необходимого для наблюдения отдельных резонансных линий, в общем случае необходимо провести двумерный ЯМР-эксперимент, рассмотренный нами ранее (NOESY), в котором перекрывание резонансных линий не играет существенной роли. Для двухспиновой системы временную зависимость ЯЭО можно найти путем интегрирования дифференциальных уравнений (2.20) и (2.21). Временная зависимость амплитуды кросс-пиков в переходном ЯЭО и эксперименте NOESY описывается формулой (для случая медленного движеиия > > 1) [c.115]

Решение с помош ью ЯМР типичной задачи, связанной с качественным анализом, может быть рассмотрено на примере спектра, приведенного на рис. 2-19. В спектре соединения общей формулы СзНеО имеются три основные группы линий при 9,8, 2,4 и 1,0 м. д. Относительные высоты главных ступеней интегрированного спектра указывают на то, что эти группы обусловлены поглощением одного, двух и трех протонов соответственно. Один протон при 9,8 м. д. имеет, как видно из табл. 2-3, химический сдвиг, соответствующий либо вено, либо ВСОгН. Последняя возможность, разумеется, исключается, поскольку соединение содержит только один атом кислорода. [c.56]

В начале главы анализируется вывод основного кинетического уравнения теории изотермической кристаллизации для функции. распределения образований новой фазы по числу содержащихся в А них атомов Z (п, t) и указывается вид этого уравнения для заро-I дышей различной формы (плоское образование, сфера, линзовид-ный диск). Приводятся численные решения задачи для различных J значений ее параметров и при краевых условиях, налагаемых на саму функцию распределения и на поток в пространстве размеров. Показывается, что период нестационарности процесса зависит от вида краевых условий. С помощью полученных решений рассмотрен слоистый рост кристаллов, осуществляемый путем формирования двумерных зародышей. Указывается способ учета конечной скорости тангенциального роста слоя па поверхности растущего кристалла. Приводятся результаты численного решения соответствующих уравнений. Кроме численного интегрирования основное кинетическое уравнение в его простейшем варианте может быть решено путем аналитических расчетов. Приводится специально разработанный аналитический метод решения основного кинетического уравнения и выводится формула для оценки периода нестационарности процесса. [c.17]

Решение с помош,ью ЯМР типичной задачи, связанной с качественным анализом, может быть рассмотрено на примере спектра, приведенного на рис. 2-19. В спектре соединения общей формулы СзНбО имеются три основные группы линий при 9,8, 2,4 и 1,0 м. д. Относительные высоты главных ступеней интегрированного спектра указывают на то, что эти группы обусловлены поглощением одного, двух и трех протонов соответственно. Один протон при 9,8 м. д. имеет, как видно из табл. 2-3, химический сдвиг, соответствующий либо КСНО, либо РСОаН. Последняя возможность, разумеется, исключается, поскольку соединение содержит только один атом кислорода. Единственная структура, которую можно написать для СзНвО при условии, что она содержит группировку КСНО, представляет собой СН3СН2СНО (пропионовый альдегид), и эта структура полностью соответствует характеру данного спектра. Действительно, резонанс группы СНз происходит при 1,0 м. д. (для СНзН должно быть 0,9 м. д.) и резонанс группы СНз— при 2,4 м. д. (для СНзСОК должно быть 2,3 м. д.). [c.68]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология