Установившееся состояние дифференциальные уравнени

Возможны случаи, когда скачкообразное, быстрое изменение какой-либо независимой переменной в непрерывном стационарном процессе нарушает установившийся режим процесс при этом становится нестационарным и остается таким до тех пор, пока не установится непрерывное стационарное состояние уже с другими параметрами. Такое переходное состояние можно представить как диффузию величины помехи (возмущения). Эта проблема особенно важна в технике регулирования (динамика процесса). Характерные переменные системы, таким образом, зависят от времени. В общем проблему можно сформулировать так стационарное состояние элемента процесса нарушается тем, что на входе изменяется значение переменной (мы считаем безразличным, нроизводится ли изменение намеренно с целью приближения к техническому или экономическому оптимуму или же оно происходит самопроизвольно) важно определить, какое значение примет эта переменная на выходе из единичного элемента процесса или из их совокупности. Этот переход в системе описывается дифференциальным уравнением, в котором присутствует (на выходе) производная упомянутой переменной. Появившаяся функция возмущения сама может быть любой функцией времени и содержать производные высших порядков. В общем виде она выражается следующим образом [c.305]

После того как установилось стационарное состояние, концентрация разряжающихся ионов в диффузионном слое изменяется линейно и соответственно градиент концентрации вдоль направления диффузии сохраняет постоянное значение. В этом случав дифференциальное уравнение диффузии [c.353]

Применение критерия (3) позволяет исключить из реологического уравнения состояния (I) функцию Р(с) и значительно упростить решение математической модели исследуемого процесса. Приближенное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы реодинамики и теплообмена в текущей по плоскому каналу вязкоупругой жидкости (1) при граничных условиях первого рода, приведено в [4]. Представленные в этой работе результаты дают возможность описать развитие по длине канала как профиля температуры, так и профиля скорости и, таким образом, установить зависимость Т = Т(1) для произвольного микрообъема среды. [c.52]

Зная давление дросселирования Р , можно использовать уравнение (5.37) для определения общей внутренней энергии системы как функции ее веса. Поскольку общий объем системы известен, можно установить ее состояние вдоль пути процесса. Решение дифференциального уравнения требует обращения к ранее разработанным [3] численным методам. Этот пример показывает сложность оценки эффектов теплоты и работы для достаточно простых физических условий. Знание соответствующих условии позволяет определять путь процесса, но тем не менее требует внимательного, а порой и утомительного решения дифференциального уравнения для установления состояния системы как функции веса отбираемого вещества. При известных уравнениях состояния возможен более прямой способ решения. [c.72]

В других задачах более естественно поведение системы описывать большим числом обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве такого примера рассматривается ректификационная колонна для бинарной смеси. Одна тарелка колонны изображена на фиг. 7.2. Здесь Нг обозначает количество жидкости на тарелке, Хг — доля более летучего компонента жидкости. Предполагается, что жидкость на тарелке идеально перемешивается скорости жидких потоков обозначаются через г и г+1 Считается, что на каждой тарелке установилось равновесное состояние между паром и [c.179]

Получив линеаризованные матричные дифференциальные уравнения и решив их для дискретных равноотстоящих друг от друга значений переменных, необходимо установить цель управления. В системе регулирования с обратной связью часто требуется минимизировать мгновенное отклонение текущего состояния от желаемого или квадрат этого отклонения. В этой формулировке желательно минимизировать квадрат отклонения по N стадиям времени. В частности, квадратичная форма J, которая подлежит минимизации, будет иметь вид [c.341]

Данное уравнение представляет собой уравнение состояния в дифференциальной форме. Оно дает возможность установить связь между коэффициентом объемного расширения а при посто- [c.19]

Поэтому, если из уравнения состояния данного газа определить характер зависимости его удельного объема от температуры при постоянном давлении, или производную дv дT)p, то на основе последней зависимости можно найти эффект Джоуля — Томсона. В небольшом пределе давлений производную (дТ/др) можно заменить дифференциальным частным или установить изменение температуры, соответствующее известному уменьшению давления Др. [c.527]

Впоследствии В.К. Филиппов, используя понятие ориентированного комплекса, распространил результаты [1 ] на многокомпонентные многофазные системы, а также установил ряд новых закономерностей (5, 6]. В работе [7] был поставлен аналогичный вопрос о связи между параметрами равновесия (температурой, давлением, химическими потенциалами) и склонением нод относительно произвольной прямой в пространстве экстенсивных параметров. Существенное отличие результатов [7] и [5, 6] заключается в том, что в [7] рассмотрены не только бесконечно малые, но и конечные смещения равновесия. Кроме того, использование в [7] общего термодинамического неравенства, связывающего параметры конечно отличающихся состояний, позволило сократить до минимума математические выводы. В то же время ряд результатов [5, 6] при сравнении конечно отличающихся состояний получить нельзя теряется возможность применения условий равновесия или же возникает задача об интегрировании дифференциальных фундаментальных уравнений. [c.48]

Неустановившаяся диффузия. Диффузия не приводит к условияй постоянного градиента концентраций до тех пор, пока не установилось, стационарное состояние. Поэтому часто приходится рассматривать изменение концентрации с, вызываемое диффузией во времени /, что может быть выражено дифференциальным уравнением [c.396]

Проведено математическое исследование теплового взрыва частицы магния при учете одновременного протекания процессов окисления и испарения металла. Чтобы провести качественный анализ решения задачи Коши для температуры образца,нулевую изоклину соответствующего дифференциального уравнения исследовали в области определяющих параметров. Построено многообразие катастроф, что позволило установить зависимость температуры частицы в стационарном состоянии от бифуркационного параметра, определяемого в виде отношения характерного времени реакции окисления к характерному времени конвективного теплообмена. Выявлены новые типы тепловой динамики частицы. Оказалось, что при реальном соотношении физических параметров возникающая катастрофа эквивалентна катастрофе сборки, однако имеются параметрические области, в которых возможна реализация усложненных сценариев воспламенения частицы. Так, в случае, когда реакция окисления более активирована по сравнению с процессом испарения, могут появиться два предела воспламенения по параметру теплообмена, а также дополнительная область низкотемпературного погасания образца. Проведено сравнение времен задержки воспламенения, предсказываемых моделью после ее верификации по опытным данным с аналогичными данными модели, не учитывающей испарение. Для мелких частиц (радиусом 30...60 мкм) различия по периоду индукции несущественны, а для крупных (300...600 мкм) - не превьш ают 11 %. [c.11]

Большим успехом волновой теории электронов является то, что она оказалась в состоянии дать объяснение существованию стационарных энергетических состояний в атомах и что во многих случаях она сделала возможньш расчет соответствующих величин энергии. Для выполнения расчета необходимо наложить известные ограничения на волновую функцию электрона <Ь. Обычно в дополнение к тому, что функция ф является решением некоторого дифференциального уравнения, предполагается, что она должна быть непрерывной и однозначной функцией координат X, у и 2 электрона, который она представляет, и должна быть конечной при всех значениях независимых переменных. Эти ограничения должны быть приняты в качестве дополнительных гипотез, правильность которых, как и правильность всей волновой теории в целом, основывается на том, что с их помощью оказывается возможным объяснить экспериментальные факты. Следует отметить, что такая теория имеет значение не потому, что она считается более важной или более основательной, чем экспериментальные данные, а потому, что она способна объяснить многие факты и установить соотношение между явлениями, которые на первый взгляд кажутся не связанными между собой. [c.46]

Рассмотрим простейпшй пример замкнутой популяции клеток, в которой одновременно происходят процессы размножения и гибели и где в избытке имеются питательные вещества. Возникает вопрос, как меняется численность клеток в такой системе со временем и может ли в ней в конце концов установиться стационарное состояние, когда число клеток меняться не будет. Эта типичная кинетическая задача реплается с помощью дифференциальных уравнений. Пусть в некоторый момент времени I концентрация клеток в среде составит N. Скорость изменения [c.5]

Состояние знаний относительно теплоотдачи при турбулентном течении по необходимости ограничено стененью наших знаний относительно изотермического турбулентного течения. Мы видели в гл. 13, что использование уравнений Навье — Стокса при исследовании изотермического турбулентного течения затрудняется из-за пульсаций составляющих скорости. По той же причине оказывается сложным использовать дифференциальное уравнение энергии при исследовании неизотермического турбулентного потока. В большинстве турбулентных потоков тепло передается главным образом за счет движения многочисленных макроскопических элементов жидкости (вихрей) между областями с различной температурой. Мы не можем предсказать поведение этих вихрей, но если бы и могли, то выражения, описывающие это поведение, оказались бы, вероятно, такими сложными, что одновременное решение уравнений движения и энергии было бы невозможным. Тем не менее решения этих задач должны быть найдены. В этой главе мы рассмотрим некоторые теоретические результаты, используемые в технике, а в следующей главе — некоторые расчетные соотношения. Их смысл и пределы их применимости поможет установить излагаемая теория. [c.325]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология