Математический минимум

Значение искомого диаметра трубопровода Dom находят в пределах указанного диапазона и определяют минимизацией приведенных затрат. В большинстве случаев в качестве минимизируемого может быть использован такой показатель, как капитальные вложения в систему транспорта и хранения двуокиси углерода К- При этом зависимость затрат (капитальных и приведенных) от диаметра или от объема хранения не имеет математического минимума (экстремума). Поэтому рекомендуется следующий порядок выбора основных параметров системы трубопровод — хранилище (O. l .p). [c.185]

ПРИЛОЖЕНИЕ IV Математический минимум Показательная функция [c.273]

Вряд ли можно надеяться построить такую функцию, которая бы связывала приведенную величину затрат по системе за расчетный срок со всеми определяющими ее факторами, чтобы путем нахождения ее математического минимума получить искомые наивыгоднейшие значения (параметры) отдельных элементов комплекса. В отношении выбора оптимальной схемы задачу приходится решать методами вариантного проектирования, т. е. путем технико-экономического сравнения и оценки ее возможных вариантов, а для выбранного варианта — путем гидравлических и технико-экономических расчетов элементов системы и комбинаций различных элементов в их взаимосвязи. [c.8]

В первой из них в компактной форме излагается тот минимум сведений по химической кинетике и теории химических реакторов, который необходим для составления математических моделей реакторов. Здесь же описывается процедура составления таких моделей и приводятся некоторые математические сведения, в основном по качественной теории дифференциальных уравнений. [c.8]

Графический метод обладает преимуш,еством наглядного представления о взаимной связи между изучаемыми величинами и позволяет непосредственно осуш,ествлять ряд измерительных и вычислительных операций (интерполяция, экстраполяция, дифференцирование, интегрирование). Он дает возможность сделать эго, и зачастую с достаточно высокой точностью, не прибегая к расчетам, которые могут оказаться сложными и трудоемкими, а подчас и невозможными вследствие того, что некоторые зависимости не всегда можно облечь в математическую форму. Чертежи облегчают сравнение величин, позволяют непосредственно обнаружить точки перегиба (например, при титровании), максимумы и минимумы, наибольшие и наименьшие скорости изменения величин, периодичность и другие особенности, которые ускользают в уравнениях и недостаточно отчетливо проявляются в таблицах. Известно, папример, что метод физико-химического анализа основан именно на построении диаграммы свойство—состав с последуюш,им их анализом эти диаграммы позволяют, в частности, установить степень устойчивости химического соединения, величину и характер отклонения раствора от идеального и т. п. Кроме того, нри помош,и графика можно определить, суш,ествует ли какая-нибудь зависимость между измеренными величинами, а иногда — при ее наличии — найти и ее математическое выражение. [c.441]

Резюмируя проведенное рассмотрение, отметим, что в описанных методах можно выделить две противоположных тенденции. Первая характеризуется использованием эффективных поисковых математических методов для подбора кинетических параметров по экспериментальным исследованиям смеси любого состава при этом от экспериментатора требуется минимум точных, но простых исследований, а машинное время обработки экспериментальных данных может быть значительным. Именно этот подход характерен для поисковых методов. [c.44]

Основной причиной ошибки нри нахождении с ,. . ., с, можно считать, например, погрешности системы (У-1) и погрешности при определении с ,. . ., Сд из условия минимума выражения типа ( -8). Значения параметров получают последовательными пробами. Если с ,. . ., с —принятые конечные значения параметров, с х,. . с д — значения их, полученные на предпоследнем шаге, то за оценку погрешности Ас в определении с ,. . ., можно принять максимальное из чисел (с —с ),. . ., (с д—с°д). При этом предполагаем, что размерности коэффициентов с ,. . Сд одинаковы. Вообще же в математическое описание могут входить коэффициенты с различными размерностями, однако, поскольку многие из них по теоретическим соображениям не зависят от размера реактора, всегда можно выбрать коэффициенты одинаковой размерности, изменение которых позволяет точно описывать процесс в реакторе любого размера. [c.146]

Требуется определить значения коэффициентов структурного разделения потоков и конструкционных параметров элементов ХТС, которые обеспечат минимум математического ожидания экономического КЭ функционирования ХТС при любых допустимых случайных значениях неопределенных параметров ХТП. Математическая формулировка ИЗС имеет следующий вид. [c.133]

Реализация минимальными средствами. Этот принцип означает, что, во-первых, построение САПР возможно в рамках стандартного математического обеспечения ЭВМ серии ЕС, СМ и т. д. с учетом наличия трансляторов с языков программирования, средств связи программных модулей и терминальных устройств. Во-вторых, средства системы, обеспечивающие принципы функциональной полноты и ориентации на массового пользователя, должны базироваться на теории, позволяющей достаточно простым способом реализовать необходимый минимум этих средств. Это требование обусловлено второстепенной ролью интерактивного взаимодействия но отношению к моделирующим алгоритмам и предполагаемой достаточностью минимального объема языковых средств системы в рамках процесса проектирования. [c.169]

Выбор численного метода. При выборе метода для решения уравнений математического описания обычно ставится задача обеспечения максимального быстродействия при минимуме занимаемой программой памяти. Естественно, при этом должна обеспечиваться заданная точность решения. [c.23]

В сборнике содег)Жится 750 задач по основным разделам современной физической химии. Книга построена по классическому принципу каждая глава начинается с подробного теоретического введения, за которым следуют примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения. Ко всем расчетным задачам даны ответы или указания к решению. В приложении приведена вся необходимая для решения задач информация подробные габлицы термодинамических и кинетических данных, список основных физико-химических формул и математический минимум. [c.2]

Математический аппарат системного анализа — математическое моделирование используется для составления модели соответствующих уровней иерархий с учетом сведения к минимуму количества отходов. [c.17]

Задача составления математического описания процесса, наиболее полно отвечающего реальным условиям его протекания, зависит прежде всего от степени изученности отдельных составляющих элементов и степени их взаимосвязи. В первом приближении при минимуме теоретических сведений об явлениях, составляющих процесс, возможно упрощенное математическое описание, основанное на общих физических закономерностях или на результатах обработки экспериментальных наблюдений. Такое представление нозволяет выявить характерные качественные соотношения между отдельными параметрами. [c.31]

Естественно считать, что степень нелинейности объекта тем больше, чем больше кривая условного математического ожидания (8.2) отклоняется от прямой (8.3). Поэтому степень нелинейности определяется как наименьшее среднее квадратичное кривой регрессии от прямой, причем поиск минимума ведется по функциям t, i) и (i, x) [c.440]

На рис. 4.20 приведены результаты расчета зависимости к. п. д. тарелки от периода Т (при С = 2) и амплитуды колебаний Асо. Максимум эффективности разделения соответствует минимуму расхода пара в куб кипятильника при оптимальных параметрах цикла. Это позволяет заключить, что математическая модель адекватна реальному процессу разделения и ее можно использовать при проектировании. [c.227]

Современные методы решения задач разделения основываются на одновременном решении всех линеаризованных уравнений математического описания вследствие малой склонности этих методов к накоплению ошибок округления. К тому же при расчете взаимосвязанных систем снимается проблема задания топологии системы - все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений математического описания. Следует при этом отметить, что матрицы коэффициентов, описывающих систему колонн, являются неплотными и применение специальных методов хранения данных позволяет свести к минимуму объем занимаемой памяти. Поэтому разработка эффективной процедуры решения задачи линеаризации системы взаимосвязанных колонн разделения является актуальной. [c.253]

По существу критерий (3.3.1) соответствует критерию минимума математического ожидания в предположении, что вероятности отдельных совокупностей исходных данных одинаковы. В некоторых случаях имеются частичные сведения о возможных вероятностях появления рассматриваемых сочетаний исходных данных. Часто бывает известно, например, что крайние сочетания значений показателей исходных данных менее вероятны, чем средние. В таких ситуациях критерий (3.3.1) можно использовать в несколько модифицированном виде. Для этого экспериментальным путем возможность появления каждого условия оценивается своим баллом , исходя из того, что сумма всех баллов должна быть равна единице, и в критерии (3.3.1) используется не среднее, а средневзвешенное по этим баллам значение приведенных затрат для каждого варианта. [c.165]

Ставится задача найти такое сочетание значений Хи (то, что мы и называем вариантом), при котором значение функции было минимальным. При этом x ,. .., х должны принадлежать к области допустимых значений, т. е. должны удовлетворяться все ограничения, имеющиеся в задаче. Другими словами, с математической точки зрения поиск оптимального варианта сводится к нахождению минимума функции нескольких переменных. Для решения этой задачи в математике применяется ряд методов. [c.307]

Следует отметить, что рассматриваемый конструктивный тип аппарата с точки зрения математического описания является одним из самых простых. Для других типов аппаратов критерий оптимальности может быть гораздо более сложной функцией независимых переменных и параметров и наличие локальных минимумов у таких функций будет еще вероятнее. [c.309]

Воспользуемся методом математической индукции. По построению па нулевом шаге алгоритма VI точка есть минимум на многообразии М (хд, р ), с другой стороны, на первой итерации х +1 есть минимум на М (х , р ) следовательно, по второму утверждению векторы х +1 — XI и Рр сопряженные. Предположим, что в начале к-ош итерации А < н. имеется к сопряженных направлений Рп-кл-л., Рп-к+2, -,Рп- Тогда из первого утверждения следует, что точка найденная па А-ой итерации, является минимумом на многообразии, параллельном Рп-к-и-, Рп-к + 2-, [c.123]

Из математического анализа известно, что необходимые условия минимума функции / при наличии ограничений (1,2) имеют вид [c.92]

Займемся теперь определением вида матрицы Е. Согласно сказанному выше, ее элементы вц должны находиться из условий выполнения соотношения (II, 39) и минимума критерия (II, 41). Математически эта экстремальная задача запишется следующим образом [c.35]

Путем варьирования параметров модели находится минимум выбранного функционала. Затем с помощью аппарата математической статистики можно с определенной степенью достоверности принять или отвергнуть проверяемую гипотезу, т.е. решить задачу об адекватности модели [56, 137]. Методы математической статистики, употребляемые при проверке адекватности, рассмотрены в [56, 145]. Если гипотеза должны быть отвергнута, необходимо построение новой модели. [c.160]

Расчеты процессов с помощью математической модели позволяют определить оптимальные значения объема полости дополнительного мертвого пространства, площади сечений подсоединительных клапанов и свести до минимума доводочные работы. [c.302]

Задача сводится к определению наилучших (оптимальных) значений параметров Р и Од, при которых затраты минимальны (минимум критерия оптимальности / ). Необходимую связь между параметрами Р и2 дает математическое описание конкретного типа теплообменника. В рассматриваемом примере такая связь получена в виде формулы (373), из которой видно, что Р = 1 и2). [c.190]

Бывает, что математический минимум суммы квадратов отклонений соответствует таким значениям параметров, которые не имеют физического смысла. Появление отрицательных значений параметров можно предотвратить, если в формулах использовать не K(J), а ABS (K(J)). Другие, не имеющие физического смысла значения можно устранить с помощью так называемых штрафных функций. Так, например, в последнем задании параметр к задает долю различных поверхностей. Его значение должно лежать в интервале от нуля до единицы. Чтобы добиться этого, подпрограмма, рассчитывающая сумму квадратов отклонений, запращивает значение ATj. Если значение к больше допустимого, то к сумме квадратов отклонений прибавляется, например, увеличенное в 10 раз значение к . Этот прием возвращает значение kj в заданную область. [c.292]

Из уравнения (III.5.14) видно, что возможен только один экстремум, так как уравнение (III.5.14) имеет только одно решение. Кроме того, этот экстремум должен быть макспмумом, а не минимумом, так как отношение В/Во вначале положительно п достигает нуля при -со. С помо1цью известных простых математических приемов можно решить, при каких условиях будет существовать максимум. Из уравнения (III.5.3) видно, что начальный наклон определяется следующей величиной [c.39]

В заключение обзора методов минимизации еще раз отметим, что выбор того или иного метода связан с конкретной задачей. Для решения обратных задач, где приходится минимизовать функционалы вида (3.137), методы, учитывающие специфику минимизуемой функции, оказываются более эффективными, чем универсальные методы [16, 82]. При плохой обусловленности матрицы Гесса ( овражная ситуация) наилучшим образом зарекомендовали себя методы, основанные на применении неявной разностной схемы [113, 120] и линеаризации [31]. Если в результате минимизации найден минимум функционала (3.137) (т. е. матрица Гесса не вырождена), то значения параметров, соответствующие этому минимуму, являются оценками их математического ожидания. При этом остается лишь оценить точность найденных параметров по (3.133), и обратную задачу можно считать решенной. [c.229]

Расчет функции Р ири выбранных к , и к , не вызывает затруднений, так как в каждом опыте можно рассчитать С р и С р по математическому оппсанию. Понятно, что поиск по к , и к , а должен привести к минимуму Р. Осуществим этот поиск следующим образом. Зададимся исходным набором [c.220]

Рассмотрим формулировку ИЗС структурно-параметрического синтеза ХТС при известных законах распределения неопределенных параметров ХТП как задачи стохастического программирования, которая сводится к поиску минимума математического ожидания (КЭ) синтезируемой ХТС. Содержательная постановка указанного класса ИЗС имеет следующий вид. Заданы ГОТС синтезируемой ХТС, которая образована функциональным объединением всех альтернативных вариантов технологической топологии и инженерно-аппаратурного оформления ХТП, и законы распределения неопределенных параметров ХТП, которые могут войти в оптимальную структуру ХТС. [c.133]

Алгоритмически задача выбора технологической схемы состоит в разработке или выборе методов ее анализа, оценки, оптимизации и синтеза. На этапе анализа составляются уравнения математического описания, задаются переменные процесса и схемы, и в результате решения получается информация о потоках, температурах, давлении, составах, размерах и т. д. Оценка состоит в совмест-ном использовании информации с предыдущего этапа и экономических данных для определения целевой функции. Оптимизация состоит в поиске наилучшего набора переменных процессов. Традиционно разработка технологических схем проводится на основании итерационного выполнения указанных этапов, и лишь в последнее время стало уделяться внимание этапу синтеза, который призван объединить в себе все предыдущие этапы на основе некоторого метода. Известно большое число методов синтеза [4, 52], основанных на различных подходах, и многим из них присуща необходимость использования некоторого метода решения систем нелинейных уравнений или метода оптимизации. Последние используются для сведения материального и теплового баланса схем. Задачи решения систем уравнений и минимизации некоторого функционала взаимосвязаны и могут быть сведены одна к другой. Например, условием минимума функции Р х) является равенство нулю частных производных дР1дх1 = О, 1 = 1, 2,. . ., п, а система уравнений f х) = О, I = 1, 2,. . ., п, может быть решена путем минимизации соответствующим образом подобранного функциона- [c.142]

Г"" Наряду со стандартизацией оборудования требуется стандар- тизация и математического описания его. Модель должна содержать информацию об изменении эффективности, деформации структуры потоков и т. п. нри варьировании технологических и конструктивных параметров в широком диапазоне. Все это позволит свести к минимуму экстраполяцию и интуитивное задание параметров нроцесса, уменьшить объем экспериментальных исследований. [c.91]

В общем виде задача оптимизации рассматривается в следующей постановке. Требуется определить минимум или максимум функции с (Хо), Т (х ), у, (Хо), с (х),Т х), V, (х), f x), Уг (г, Х), . . , где управляющие воздействия Т хо), с Хц), Vi x ) при наличии ог-раничений Оср<А, i< (Хо) <С2, с,<с (л в х) <Сг, Tiсвязаны посредством уравнений математических моделей (см. гл. 2). [c.360]

Таким образом, при наличии функции т,/твы . Л /) основании полученных выше соотношений можно определить структуру математической модели и ее параметры - размеры зон 4/, 4д/> долю байпасируюшего потока [формула (3.27)] - /дых = (где / - нулевой начальный момент в любой точке тарелки). Значение Ре, можно определить одним из методов оптимизации с минимумом критерия [c.120]

Классификация методов. Для решений сформулированной в гл. 1 задачи комплексной оптимизации параметров и профиля адсорбционных установок или отдельных ее частей и элементов при однозначно (детерминированно) заданных значениях влияющих факторов могут быть применены многие из известных математических методов поиска экстремума функции многих переменных [49, 50]. Однако при практической их реализации на ЭВМ возникают серьезные вычислительные трудности. Некоторые простейшие, широко известные методы минимизации обычно совершенно непригодны для решения реальных задач. Поэтому проблема выбора наиболее целесообразного метода решения задачи поиска минимума сложной функции из числа существующих имеет большое значение. [c.121]

При реализации математической модели гидроочистки в профамме использовался объектно-ориентированный подход для анализа сложных систем. Эго позволило подставлять любые параметры модели в алгоритм оптимизации без дополнительных изменений в Ешгоритмах. При разрабо ке математической модели были найдены еле,дующие кинетические составляющие математического описания предэкспоненциальные множители, порядки реакций по водороду, тешовые эффекты реакций, энергии активации. Решение данной задачи можно рассматривать как задачу на (ождения минимума функции отклонений расчетных от экспериментальных данных. Построенная модель позволяет прогнозировать содержание сернистых соединений н ароматических углеводородов в продукте. [c.228]

Подробная математическая модель химических реакций позволила обнаружить существование достаточно четко выраженного оптимума для перечисленных переменных. Например, если желательно снизить расход хлористого алюминия до минимума, можно использовать кинетическую модель так, чтобы показать влияние каждой переменной на концентрацию А1С1з. Чтобы сравнение было эффективным, его следует проводить при одном и том же качестве алкилата, налример при одинаковой концентрации тетраэтил-бензолов. Нужно вспомнить, что в гомогенной системе количество высших полиэтилбензолов строго ограничено из-за их основности. [c.277]

После уточнения всех математических зависимостей задача оптимального проектирования приобретает точный математический смысл, как задача поиска минимума (максимума) величины Q, р , и может быть решена методами нелинейного программирования. Однако, как бывает в случав практических задач, учет их специфики в сочетанпи с априорными знаниями позволяет значительно облегчить решение оптимальной задачи и избежать многих трудностей. Покажем, как эти соображения можно использовать при решении задачи оптимального проектирования процесса получения окиси этилена. [c.217]

Если удастся построить функцию F, обладающую упомянутыми двум свойствами, первоначальную задачу поиска экстремума функции F можно свести к задаче, математическая формулировка которой определяется правой частью условия (VIII,58). Ясно, что операции, стоящие в правой части данного равенства, по существу, являются двухуровневым декомпозиционным методом оптимизации. При этом на 1-ом уровне независимо находятся минимумы функций (А = 1,. . ., /V), а на 2-ом уровне проводятся операции с параметрами (А = 1...../V). [c.195]

Таким образом, задача поиска минимума тесно связана с задачей интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, причем "овражный" характер поверхности Ф(к) соответствует "жесткой" системе ОДУ, так как матрица Гессе Э Ф/Э ,Э/Гу целевой функции одновременно является якобианом системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В том случае если эта матрица имеет различающиеся между собой на несколько порядков собственные значения, то возникают определенные математические трудности при численном решении задач минимизации и интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.163]

В этом выражен / (9 1, Уп—i) условный минимум критерия 0 и Yrt — достаточные статистики распределения 0, т. е. условные математические ожиданне и дисперсия [c.129]

Определение условий миинмума энергии, затрачиваемой в компрессорном ироце се, можег быть произведено с помощью известного математического метода отыскания минимума функции. [c.298]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология