Решение дифференциальных уравнений

Применение метода динамического программирования для оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации приводит к решению диф([)еренциальных уравнений в частных производных. Вместо решения таких уравнений зачастую значительно проще представить непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий. Подобный прием оправдан особенно в тех случаях, когда имеются ограничения на переменные задачи и прямое решение дифференциальных уравнений осложняется необходимостью учета указанных ограничений. [c.32]

Раздел V.9. Относительно вопросов численного решения дифференциальных уравнений см. [c.118]

B. Э. M илн, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955. [c.118]

Решение дифференциальных уравнений иа аналоговой машине [c.39]

Коэффициенты дисперсии Di удобно определять экспериментально по форме кривой распределения концентраций во времени на выходе из аппарата с зернистым слоем при изменении концентрации примеси на входе в аппарат. Используют три формы входного возмущения импульсное, ступенчатое и синусоидальное (рис. III. 6). Коэффициент Di находят в соответствии с решениями дифференциального уравнения (III. 5) при различных начальных условиях. Эти решения приведены в ряде работ, например в [32, стр. 257]. [c.98]

Пример VIU-2. Применим к предыдущему примеру численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных, описанный в главе XII (стр. 399). [c.250]

При решении дифференциального уравнения (IV. 15) в прямоугольных координатах предполагалось, что линейный источник перпендикулярен плоскости ху и проходит через начало координат. Получена зависимость [c.121]

Одним из наиболее удачных решений дифференциального уравнения (1.84) является решение Ван Лаара, представленное выражениями [c.52]

Далее переходная функция аппроксимируется решением дифференциального уравнения с заранее заданной структурой. [c.25]

Другое решение дифференциального уравнения (1.87) Гиббса— Дюгема было предложено Маргулесом в виде [c.54]

Большинство работ выполнено по второй схеме. Величину D, определяют на основе измерения профиля концентрации по радиусу потока на некотором расстоянии от источника. Наиболее полное решение дифференциального уравнения (III. 19) для стационарного поля концентрации (дС/дх = 0), создаваемого локальным источником с учетом его размера, значения Di и влияния стенок аппарата, дано в работе [27]. [c.93]

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]

Выбор граничных условий, которые определяют единственность решения дифференциальных уравнений, описывающих диффузионную модель, рассмотрим на примере химического процесса с единичной реакцией, протекающей в изотермическом проточном реакторе с продольным переносом (рис. 14). [c.43]

Методика отыскания численных значений вероятностных характеристик по экспериментально найденным распределениям общеизвестна и детально описана во многих руководствах по математической статистике, например в работах [74, 80]. Поэтому, опуская непосредственно вычисление указанных характеристик, установим лишь связь между ними и числами Пекле. Эта связь определяет т из решения дифференциального уравнения диффузионной модели, составленного применительно к изменению концентрации [c.49]

В безразмерных переменных (7.4) решение дифференциальных уравнений (7.1), (7.2) при граничных условиях (7.3) имеет вид [c.287]

В качестве условий, определяющих единственность решения дифференциальных уравнений системы (IV.16), могут быть приняты либо начальные условия, соответствующие мгновенному вводу вещества-индикатора на входе в первую ступень [44, 1391 при г = О [c.85]

А— Приращение независимой переменной при числовом методе решения дифференциальных уравнений (шаг). hg—коэффициент теплоотдачи для наружной стенки реактора. Л —коэффициент теплоотдачи для внутренней ст нки реактора. Н—энтальпия. [c.17]

Дифференциальные уравнения в частных производных получаются в тех случаях, когда рассматривается одновременное изменение более чем двух переменных. Для этих уравнений справедливы те же соображения, какие были высказаны по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений. Для полного математического описания физической проблемы, помимо самого дифференциального уравнения, необходимы еще дополнительные указания начальные условия, из которых определяются константы, возникающие при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, а также начальные и граничные условия, из которых находятся параметры, полученные при точном решении дифференциальных уравнений в частных производных. (Разумеется, начальные и граничные условия в равной мере необходимы и при численных методах.—Прим. ред.) [c.385]

При этом уравнения чаще получаются не решением дифференциальных уравнений двухфазной модели, а прямо из уравнения материального баланса в слоях катализатора. [c.130]

Решение дифференциального уравнения Фурье (5.49) для различных случаев фильтрации упругой жидкости в ограниченных открытых и закрытых пластах представляются бесконечными рядами по функциям Бесселя (см. 8). [c.151]

Решение дифференциального уравнения (У,61) или, что то же самое, уравнения (У,59) содержит две произвольные постоянные , которые долл<пы быть определен ,I из двух граничных условий, нанример [c.201]

Для реакций более высоких порядков точное решение дифференциальных уравнений может оказаться невозможным. Соответствующие методы расчета для таких случаев покажем на следующем примере. [c.134]

Для реакции первого порядка решение уравнения (IX, 5) дано Уилером . Рис. 1Х-3 иллюстрирует доступность внутренней поверхности для различных реакций первого порядка, в зависимости от скорости диффузии и общей скорости реакции —время диффузии в порах средней длины —время контакта, требующееся для достижения степени конверсии 63% ф—степень использования внутренней поверхности). Значения абсциссы находят из решений дифференциального уравнения. Ординату часто называют коэффициентом использования поверхности, который представляет собой отношение работающей поверхности катализатора к поверхности, которая была бы доступна, при отсутствии диффузионного сопротивления. В качестве другого примера отметим изучение алюмосиликатного катализатора крекинга с размерами частиц от 4 до 5 мм. Исследование показало, что коэффициент использовация поверхности изменяется в пределах от 0,55 до [c.310]

Значительно больше можно сказать о нахождении решений дифференциальных уравнений. Правила для решения особенно часто встречающихся уравнений приведены ниже (стр. 386 сл.). Обширный перечень различных уравнений и их решений был составлен Камке . [c.385]

Обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой соотношение между несколькими переменными и их производными по одной из этих переменных. Дифференциальные уравнения в частных производных содержат производные по нескольким переменным. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной. Степенью называется наивысшая степень, в которую возводится производная после рационализации уравнения и освобождения от дробей. Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка содержит п. произвольных постоянных. Частное решение получается при фиксированных значениях этих произвольных постоянных. [c.386]

В работе Амундсона, Коста и Рудда (см. библиографию на стр. 305) показано, что модель ячеек идеального смешения с N = PJ2 дает хорошее приближение к решению не только простого дифференциального уравнения, но и системы нелинейных уравнений для степени полноты реакции и температуры при Р = Р а. Это позволяет искать решение с помош ью алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Полученные значения переменных у выхода реактора Г (1) и (1) можно затем использовать в качестве начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений в обратном направлении (от выхода к входу). Так как в этом направлении интегрирование численно устойчиво, можно найти путем итераций точное решение дифференциальных уравнений. [c.297]

ХИ-11. Показать численным методом, что решение дифференциального уравнения [c.401]

Решение дифференциального уравнения (1,6) применительно к линейному гармоническому осциллятору [c.8]

Весьма затруднительно дать краткое изложение методов решений дифференциальных уравнений в частных производных . Более подробные сведения можно найти в литературе . Пример точного решения дифференциального уравнения в частных производных приведен выше (см. стр. 246). Нахождение точных решений таких уравнений часто довольно трудно. В таких случаях необходимо прибегать к численным методам. Существует большое число методов для решения дифференциальных [c.385]

Формальные математические решения дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы переноса в гранулированных массах, находятся с большйм трудом и имеют сложный вид, если даже сделаны упрощающие предположения. Можно сделать краткий обзор некоторых опубликованных решений. Все они относятся к установившемуся состоянию в цилиндрических реакторах. [c.245]

Численное решение дифференциальных уравнений [c.395]

Для некоторых типов оборудования, когда машинное решение дифференциальных уравнений слишком сложно или неизвестны постоянные времени, реакцию системы на ступенчатую функцию часто приходится получать экспериментально. Ступенчатая входная функция может быть легко смоделирована на физической системе при помощи быстро открывающегося клапана, переключателя типа включено — отключено или резкого изменения задания на регулятор. Однако такое возмущение является самым резким видом возмущения, которому может подвергаться система если им неправильно пользоваться, то вполне возможен выход системы из строя. [c.101]

Если видно, что рещение неточно, поскольку полученные значения колеблются или физически невозможны, то, вероятно, первое, что надо сделать—повторить вычисления с меньшими шагами. Можно применить некоторые критерии, содержащиеся в указанной выше литературе. Имеются более устойчивые методы решения, чем описанные здесь, но они слишком трудоемки для единичного применения. Они могут быть найдены в литературе, приведенной в этой главе. Примеры численных решений дифференциальных уравнений в частных производных даны выше (см. стр. 250). [c.400]

При этих начальных условиях решением дифференциального уравнения материального баланса (60) является уравнение [c.577]

Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, Из- [c.411]

Решение дифференциальных уравнений для двухмерного зернистого слоя представляет значительные трудности. В работе [128] получено численное решение с учетом экзотермической реакции в слое с сильным тепловьш эффектом, однако расчетная разница температур фаз не превышает 2°С при максимальной разности температур слоя и стенки трубы 52 °С.. Определение коэффициентов теплопроводности в зернистом слое на основе двухфазной модели [44] дало результаты на 4% выше, чем для квазигомогенной модели, в интервале Re, = 40 — 500. [c.170]

Задачи, стоящие перед теорией расчета систем автоматического регулирования, решаются для линейных и нелинейных систем по-разному. В первом случае для систем невысокой степени сложности пригодны аналитические методы решения дифференциальных уравнений классическими и сокращенными способами Часто применяются графические методики с использованием частотных характеристик (Бодэ - и НайквистЗ. ) и [c.96]

Рассмотренная неустойчивость решения является серьезным препятствием при решении дифференциальных уравнений численными методами, когда невольно приходится ограничиваться конечной точностью иредставлення чисел, в результате чего погрешность решения может достигать значительной величины. Следует отметить, что если ири решении одного дифференциального уравнения первого порядка еще можно предусмотреть некоторые методы устранения неустойчивости, то при интегрировании систем дифференциальных уравнений задача обеспечения устойчивости решения становится весьма серьезной и иногда даже непреодолимой на пути получения решения оптимальной задачи. [c.219]

Исследование одновременной химической абсорбции двух газов (численным решением дифференциальных уравнений). [c.282]

При малых е ФО решение (10.70) близко к Тдрос всюду вне -окрестности точки = 1. В окрестности точки = 1 график изменения температуры резко изгибается, чтобы наклон кТ/сК, = у сменился на величину dT d( = ТН, соответствующую краевому условию (рис. 10.5). Такое поведение решения объясняется образованием у подошвы залежи теплопроводного пограничного слоя и характерно для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (как в уравнении (10.68)). [c.329]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология