Интегрирование дифференциальных

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.145]

Существуют различные рещения как полной системы (12.35), (12.36), так и усеченной (12.37), полученные интегрированием дифференциальных уравнений, а также приближенными методами (интегральных соотнощений, усреднения и т.д.). Все эти рещения достаточно сложны и громоздки. [c.364]

Предполагается, что в момент отрыва длина шейки пузыря, или, что то же самое, расстояние х, пройденное центром пузыря только за счет поступательного движения, становится равным радиусу пузыря в конце первой стадии ( 0. Расстояние х находится интегрированием дифференциального уравнения, описывающего поступательное движение пузыря. После этого с использованием условия отрыва выводится уравнение для определения отрывного объема. Такое уравнение, полученное только с учетом сил тяжести и инерции жидкости, имеет вид [c.52]

Иногда для разрешения вопросов о местоположении предельного цикла и характере автоколебаний может оказаться полезным численное или графическое интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, а также использование аналоговых устройств для построения осциллограмм и фазовых траекторий. [c.136]

Если реагирующий газ адсорбируется умеренно, то площадь, занятая реагирующим веществом, определяется из выражения (XII, 82). Так как все последующие выкладки просты, то, чтобы не повторяться, сразу же запишем окончательную форму дифференциального уравнения после того, как парциальные давления в выражении, определяющем площадь, занятую реагирующим веществом, выражены через числа молей и приведем окончательный вид выражения для константы скорости, получаемого после интегрирования дифференциального уравнения. [c.326]

После интегрирования дифференциального уравнения второго порядка (XVI, 28) имеем [c.407]

Х-1-2. Определение сО. Измерения возможны лишь в том случае, когда растворимый газ находится в смеси с нерастворимым. В общем случае мольная доля растворимого газа изменяется по высоте колонны, и значение каа может быть вычислено из интегрированного дифференциального уравнения. Если считать, что мольная доля т растворимого газа по всей колонне намного меньше единицы, то [c.206]

Основные виды переноса, учитываемые при расчете проницаемости пористых мембран (концентрационная и кнудсенов-ская диффузии в газовой фазе, поверхностное течение в адсорбированной пленке и фильтрационный перенос в газовой фазе) обычно считают в первом приближении независимыми и вычисляют по среднему значению градиента давления и при среднем значении давления и состава газовой смеси. Это вносит ошибку, однако интегрирование дифференциального уравнения конвективной диффузии в гетерофазной системе, при учете всех механизмов переноса практически невозможно. Таким образом, проницаемость пористой мембраны вычисляется по уравнению [c.64]

Для интегрирования дифференциальных уравнений (5.73) — [c.175]

При интегрировании дифференциального уравнения для элементарной площадки поверхности фильтрования (с использованием данных материального баланса) получено уравнение, описывающее процесс разделения суспензии на непрерывно действующем фильтре и по существу аналогичное соответствующему уравнению для периодически действующего фильтра [346]. В этом уравнении учтено влияние гидростатического давления слоя суспензии в резервуаре на разность давлений прй фильтровании. В результате анализа полученного уравнения при условии, что сопротивлением фильтровальной перегородки и гидростатическим давлением можно пренебречь, установлено, что с увеличением в к раз погруженной в суспензию поверхности барабана, скорости вращения барабана или разности давлений производительность фильтра возрастает в Ук раз. [c.312]

Интегрирование дифференциального уравнения (24) было произведено для ряда пар значений р и и. Приведем два случая, в которых решение, получающееся, в замкнутом виде или та- [c.471]

Интегрирование дифференциальных уравнений разложением в ряд Тейлора. Пусть для заданного интервала изменения аргумента требуется вычислить ряд значений функций у = у х), являющийся решением уравнения (12—8), если известно начальное условие г/о = у х ). [c.351]

Выражение (12—12) является основной формулой интегрирования дифференциального уравнения (12—8) путем разложения решения в ряд Тейлора. Полагая в ней последовательной = 0,1,2,. .., п, п = Ь—а) к, можно вычислить решение уравнения (12—8) в п точках интервала (а, Ь). Очевидно, чем больше членов разложения и чем меньше шаг интегрирования, тем точнее будет получено решение. [c.351]

Методы численного интегрирования дифференциальных [c.352]

Конечно-разностные формулы. Формулы Рунге—Кутта четвертого порядка получили наибольшее распространение в практике интегрирования дифференциальных уравнений с исполь-зованием вычислительных машин. Однако даже при относительно высокой точности их применение связано со значительным объемом вычислений, особенно если правые части уравнений являются сложными выражениями. Основным недостатком этих формул является то, что приходится вычислять три-четыре значения функции и усреднять на каждом шаге интегрирования. Прогноз решения осуществляется исходя из информации лишь в данной точке, и совсем не используется информация о решении в предыдущих точках. В прикладных задачах, например, связанных с нестационарными процессами, решения часто представляют собой монотонные функции, приближающиеся к стационарному состоянию, причем значительные изменения тангенса угла наклона интегральной кривой наблюдаются только на начальном участке интегрирования. Поэтому для вычисления значения интегральной кривой в последующей точке иногда целесообразно аппроксимировать решение, используя информацию о нем в предыдущих точках, т. е. его предысторию. [c.365]

В связи с трудностью интегрирования дифференциальных уравнений равновесия были предложены различные эмпирические уравнения, связывающие составы жидкости и равновесного пара. Сводка основных уравнений этой группы приводится в табл. 22. [c.170]

Интегральную теплоту адсорбции можно получить интегрированием дифференциальной теплоты адсорбции [c.44]

Прямое интегрирование дифференциального уравнения (VI, 123) трудно, так как В является сложной функцией. [c.256]

Для получения более точных результатов в примерах 6, 9, а также в случае большого числа экспериментальных данных расчеты следует производить на ЭВМ с использованием стандартной программы для численного интегрирования дифференциальных уравнений кинетики и программы оптимизации для поиска констант скоростей. [c.84]

Легко видеть, что выражение (III,4) является частным случаем выражения (111,1), надо только все 2 tk) обозначить через у, а 2 (0) — через и . Ясно, что совсем не обязательно знать аналитическое решение системы (111,2). Достаточно иметь численный алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений, который позволит, зная начальные значения 2 (0) и параметры х, найти значения г (4). Этот случай как раз дает пример того, когда явный аналитический вид функции у в (111,1) неизвестен. [c.129]

В данном разделе изложен метод исследования устойчивости, который называется вторым методом Ляпунова. Он принадлежит к числу прямых методов, так как с его помощью устойчивость системы определяется без интегрирования дифференциальных уравнений. [c.86]

Определение устойчивости по Ляпунову позволяет применить прямой метод анализа без интегрирования дифференциальных уравнений. Следует все же признать, что с точки зрения практического инженерного применения доказательство устойчивости в малом стационарного состояния недостаточно для инженера. Причина этого заключается в том, что информация о локальном поведении системы ничего не говорит о характере траектории в целом. [c.90]

Первый из них (наиболее очевидный, но требующий больших затрат времени) — метод численного интегрирования дифференциальных уравнений. Это удобно, если требуется проверить конкретное начальное условие или результат, полученный другим методом. Как указывалось выше, метод коллокации применим к модели трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом и трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом. Но может быть использован и другой вычислительный аппарат. [c.239]

Турбулентный режим. Ряд исследователей [16—18] с помощью интегрирования дифференциальных уравнений сохранения в частных производных с произвольными зависимостями для турбулентного переноса импульса и теплоты получили теоретические соотношения для турбулентного режима движения. Эти результаты показали, что интен- [c.276]

Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (116). Решение уравнения представим в виде суммы общего решения однородного уравнения [c.89]

Задача V. 12. По данным примера V. 6 написать уравнение теплового баланса для бесконечно малого интервала времени dx, которому соответствует изменение температуры воды на величину di. Показать, что при интегрировании дифференциального уравнения теплового баланса получается такое же выражение для изменения температуры во времени, как и в примере V.6. [c.124]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполиения гранпч1п11х условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы попять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных мап]пнах. [c.215]

Таким образом, так же, как и в случае односторонней реакции, уравнение (IV.7) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с одной искомой функцией и правой частью, не зависящей явно от времени. Уравнение (1У.9) легко интегрируется методом разделения переменных. Используя начальное условие х = = О при t = О, можно найти д как функцию t и при помощи уравнений (IV.5) выразить концентрацию любого из исходных веществ или продуктов реакции как функцию времени. Иными словами, интегрированием дифференциальных уравнений (IV.6) или (IV.9) можно получить уравнения кинетических кривых реакции. [c.142]

Интегрирование дифференциального уравнения равновесия с учетом выражения (4.44) дает [c.239]

В работе Амундсона, Коста и Рудда (см. библиографию на стр. 305) показано, что модель ячеек идеального смешения с N = PJ2 дает хорошее приближение к решению не только простого дифференциального уравнения, но и системы нелинейных уравнений для степени полноты реакции и температуры при Р = Р а. Это позволяет искать решение с помош ью алгебраических, а не дифференциальных уравнений. Полученные значения переменных у выхода реактора Г (1) и (1) можно затем использовать в качестве начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений в обратном направлении (от выхода к входу). Так как в этом направлении интегрирование численно устойчиво, можно найти путем итераций точное решение дифференциальных уравнений. [c.297]

Принципиально можно рассматривать непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий N и, таким образом, применять описанную в предыдущих разделах методику оптимизации для этого процесса. Зачастую именно такой путь оптимизации непрерывных процессов и используется, тем более, что при решении оптимальных задач на вычислительных машинах интегрирование дифференциальных уравнений обычно выполняется с применением разностных методов, по существу заменяющих непрерывньп процесс его дискретным приближением. Однако получаемые при применении принципа оптимальности уравнения для непрерывного процесса могут иметь самостоятельный интерес, поскольку при этом появляется возможность их решения иными методами. [c.308]

Для того чтобы получить изображение траектории процесса па фазовой плоскости переменных и Ха, можно исключить из уравпе-пий (VII,421) переменную , что дает искомое уравнение траектории в виде зависимости -= Хг (х,). Однако при этом прош,е найти урав-псппе траектории интегрированием дифференциального уравнения [c.388]

Данные, полученные в опытах с пшеницей й = 2,8 мм Р5 = 1,35 г/см ) и песком (й = 1,2 мм = 2,61 г/см ) в аппарате диаметром 150 мм,, а также в опытах с пшеницей (й = = 3,3 мм) в аппаратах диаметром 150 и 230 мм, неплохо согласуются с выражением (XVII,13). Отсюда следует, что характер распределения газа не зависит ни от природы твердых частиц, ни от диаметра цилиндрических аппаратов. Первый вывод, если он достоверен, создает большие удобства в расчетном аспекте, но требует дополнительного экспериментального подтверждения на различных материалах. Второй вывод не подтверждается результатами опытов с большими аппаратами , где высота слоя была значительно меньше максимально возможной при фонтанировании. Теоретический анализ является строго обоснованным только для в случае слоев меньшей высоты задача является более сложной, поскольку граничное условие иА)н = необходимое для интегрирования дифференциального уравнения равновесия сил, в этом случае не применимо. Переход от выражения (XVII,12) к (XVII,13) представляется некорректным, так что последнее выражение остается надежным в ограниченных лределах. [c.634]

Несмотря на простоту реализации, метод Э11лера относительно редко применяется при интегрировании дифференциальных уравнений, поскольку не обеспечивает достаточной точности вычислений и очень часто бывает неустойчив из-за накопления ошибок. Устойчивость метода увеличивается при уменьшении шага интегрирования, однако при интегрировании сложных уравнений уменьшение шага приводит к резкому увеличению объема вычислений и, как следствие,— к значительным затратам машинного времени. [c.354]

При интегрировании дифференциальных уравнений по методу Милна обычно используются обе формулы (12—73), (12—74). Сначала определяется первое приближение г/РЧю формуле (12—73), затем второе г/ по формуле (12—74). Если прп этом выпол няется условие [c.368]

Для интегрирования дифференциальных еЗ субе пи уравнений теплового баланса ( 1,123) линдрич ком и (VI, 129) применяют метод конечных разно- реакторе), [c.257]

Трудности появляются тогда, когда снижение давления при прохождении газа через слон катализатора становится значительным. Практически наиболее трудным является случай адиабатиче-скнх реакторов, в которых при прохождении смеси через слой катализатора скорость реакции изменяется вследствие изменений концентрации, температуры и давления. Еще более трудно вести расчет, если необходимо учитывать также перенос тепла через стенки. Эти задачи решаются с помощью метода конечных разностей, описанного при интегрировании дифференциальных уравнений теплового баланса (см. стр. 257). [c.293]

Общая организация построения программы РАСП приведена на рис. 105. Библиотека математических процедур включает процедуры итерационного решения систем нелинейных уравнений, интегрирования дифференциальных уравнений и др. Состав библиотеки (как и остальных) легко может расширяться добавлением новых процедур. Библиотека блок-процедур содержит процедуры для вычислительных блоков, включая процедуру для итерационного блока. Перед расчетом конкретного процесса эта библиотека должна быть полностью укомплектована процедурами, необходимыми для расчета всех блоков данного процесса. В библиотеке блок-процедур целесообразно иметь процедуры двух типов упрощенные — для быстрого предварительного расчета с. х.-т. с. и полные — для точного моделирования статического режима схемы. Процедура КиЬВЬОК соответствует 0-блоку. В указанной процедуре могут [c.279]

Для упрощения расчетов Гарни и Лури построили по результатам интегрирования дифференциального уравнения (VI. 5) графики в полулогарифмических координатах для тел разной формы при различных начальных условиях. В качестве переменных были взяты четыре безразмерных параметра [c.128]

Изменение температуры по ходу реакции приводит к тому, что в дифференциальных уравнениях, описывающих кинетику реакщш, константы скорости оказываются переменными величинами. Если изменение температуры задается экспериментатором, т. е. температура является известной функцией времени, то все константы скорости оказываются заданными функциями времени. Зависимость константы скорости реакции от времени значительно затрудняет интегрирование дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, описывающей химический процесс. [c.391]

Математическое решение задачи неизотермического течения в капилляре в зоне стационарного течения даже с упрощаюш,им предположением о постоянстве плотности жидкости, требуюш,ее совместного интегрирования дифференциальных уравнений энергетического баланса и движения, в общ,ей форме обсуждалось в разд. 5.1. Одновременно должны быть решены два уравнения, поскольку они связаны через температурную зави- [c.467]