Тензорное произведение

Второй тип произведения векторов называют по-разному прямым произведением, внешним произведением или тензорным произведением. Оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки и обычно обозначается как а Ь. Его результатом является матрица, или тензор второго ранга. Размерности перемножаемых векторов не обязательно должны быть одинаковыми. Если они неодинаковы, то результирующая матрица не является квадратной. Число ее строк соответствует размерности вектор-столбца, а число ее столбцов — размерности вектор-строки. Элементы этой матрицы равны [c.405]

Тензорное произведение. См. внешнее произведение. [c.462]

Пусть у е Н к. Ь е Н. Тензорное произведение у а Ь у Ь) определяется как билинейное отображение Н х // в / , такое, что для (а, х) е Н х Н [c.513]

Паше определение скалярного произведения в согласовано с тензорным произведением [c.53]

Тензорное произведение операторов. Из двух неприводимых тензоров можно построить неприводимый тензор ранга [c.113]

Приведем также пример тензорного произведения неприводимых тензорных операторов. В 23 будет показано (формула (23.21)), что [c.113]

Поскольку тензор симметричен и имеет равный нулю след, из компонент можно построить сферический тензор второго ранга (см. (14.11) —(14.13)). Компоненты этого тензора пропорциональны сферическим функциям С (Оф). Сферические компоненты 8)п вектора 5 образуют тензор первого ранга В соответствии со сказанным выше тензорное произведение [c.114]

Матричные элементы тензорного произведения операторов 7 , U действующих на координаты различных систем, вычисляются по [c.115]

Эти свойства характерны как для изолированной системы, так и для системы из р-электронов, взаимодействующих с некоторой другой системой частиц, при условии, что состояние сложной системы может быть полностью определено из исследований отдельных компонент (приближение эффективного поля). В этом случае вектор, описывающий всю систему, может быть записан в виде тензорного произведения векторов, описывающих отдельные компоненты системы [c.57]

Нам потребуются аналогичные операторы для антисимметризованных функций их получают непосредственной заменой в уравнениях (4) и (5) символа (тензорное произведение) на символ Л (антисимметризованное тензорное произведение). Таким образом, становится проекционным оператором на под- [c.68]

Тензорное произведение двух тензоров. Существует операция тензорного перемножения двух тензоров, обозначаемая одной точкой и представляющая собой последовательность следующих преобразований [c.663]

Здесь Рд, = р и Ру, = р д = р — нормальная (радиальная) и тангенциальная составляющие тензора давления соответственно е , е и — орты (в 27.1 фигурируют их тензорные произведения). [c.136]

Здесь p обозначает тензор давления (см. 11.2), — тензорное произведение двух векторов (краткие определения и законы векторного и тензорного анализа даны в 11.3), g — ускорение свободного падения. [c.186]

Тензорное произведение v (Э v двух векторов v и v дает тензор Т [c.189]

Здесь е — вектор (Si l, б г, -, 11 ) дивергенция от матрицы берется по ее вектор-столбцам, градиент от вектора — по его компонентам (см. 6), М ...ц—Ь-я вектор-строка матрицы тензорное произведение а Ь двух векторов размерности 5 образует матрицу с размерности (вХв) с компонентами сц = скЬ . [c.166]

Во второй главе изучается ряд разделов теории функций бесконечного числа переменных Так 1 содержит приспособленное к нашим целям изложение теории меры иа бесконечномерных пространствах — подобные меры появляются практически во всех разделах книги. Структура пространства квадратично суммируемых по гауссовой мере функций анализируется в 2. Здесь же вводятся многие важные объекты и конструкции, такие, как пространство Фока, его функциональная реализация, преобразование фурье — Винера. Необходимые сведения о дифференцируемых функциях на линейных пространствах собраны в 3. В этом же параграфе описывается одна общая конструкция пространств гладких функций бесконечномерного аргумента и изучается предложенный авторами подход к теории обобщенных функций бесконечного числа переменных. В 4 излагается ее координатный вариант, опирающийся иа технику бесконечных тензорных произведений, а в 5— инвариантный случай, не предполагающий выделения в пространстве аргументов фиксированной системы координат. Возникающие здесь пространства основных и обобщенных функций неоднократно используются в дальнейших рассмотрениях. [c.9]

ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ТЕОРЕМА О ЯДРЕ [c.26]

Подробное изложение см., например Березанский [18, гл. 1, 3, п. 10]. Ниже излагаются определения тензорного произведения как конечного, так и бесконечного числа гильбертовых пространств и доказываются необходимые в дальнейшем факты, относящиеся к таким произведениям, строятся тензорные произведения гильбертовых и ядерных оснащений и приводится вариант теоремы Шварца о ядре в случае гильбертовых оснащений. [c.26]

КОНЕЧНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ [c.27]

Приведенное определение тензорного произведения, разумеется, зависит от выбора ортонормированного базиса (ef )Y o в каждом сомножителе Я. Однако, как легко понять, при изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению. [c.28]

Правило знаков. Переменные ей/ могут быть скаляром, вектором и тензором. В случае энергетических связей произведение а = е/, представляющее энергию, вычисляется как внутреннее тензорное произведение и является скалярной величиной, положительной, отрицательной или равной нулю. Последнее свойство используется для информационного усиления энергетических связей. С физической точки зрения важно указать направление передачи энергии от одного элемента ФХС к другому, преобразование ее из одного вида в другой, отличить источник энергии от стока и т. д. Для этого вводится правило знаков. Связь между двумя элементами А и В снабжается полустрелкой вида [c.27]

Пополнение произведения ( Е по этой норме есть есть банахово пространство (проективное тензорное произведение пространств Ei). Гротендик назвал элементы этого пространства фредгольмовыми ядрами. [c.199]

Пространство состояний системы из п q-бнтoв можно записать в виде тензорного произведения С" 0. .. 0 С" = (С ) . Сомножители соответствуют пространству состояний одного ( -бита. [c.52]

Тензорное произведение двух иространств Ь п М, в которых фиксированы базнсы б1,. . ., е н /1,. . . , /т , можно определить как пространство с базисом из элементов ej (д /к- (В данном случае ej (д /к — это то же самое, что (е ,Д), т.е. просто пара векторов.) Размерность тензорного произведения равна 1т (произведению размерностей сомножителей). [c.52]

Такое определение неинвариантно, т.е. зависит от выбора базпсов в перемножаемых пространствах. Можно дать инвариантное определение. Для этого рассмотрим вначале пространство (бесконечномерное) с базисом 6 0/, где е (Е , / (Е М — произвольные векторы из перемножаемых пространств. Тензорное произведение будет факторпростраи-ством этого пространства по подпространству, порожденному векторами вида [c.52]

Тензорное произведение некоторого оператора П, действующего иа множестве q-битoв А, и тождественного оператора, действующего иа остальных q-бнтax, будем обозначать П[А]. (В частности, [1,. ..,)"] = = и Со I обозначает действие на первых г q-битax.) [c.54]

Иначе говоря, Ч — простое антисимметризованное произведение, принадлежащее к подпространству Ж Л Ж в то время как произвольная функция этого подпространства может быть выражена лишь как неприводимая сумма нескольких антисимметризованных (тензорных) произведений. Следовательно, критерий Констансиеля основан на разнице между Ф и множеством точных антисимметризованных произведений двух функций 1 ) и ф , не являющимся ни линейным пространством, ни объединением ортогональных линейных пространств. Соответственно этот критерий не может быть выражен через одночастичные проекционные операторы типа P в отличие от нашего критерия, который основан на разнице между Ч " и всеми взаимно ортогональными подпространствами [c.72]

Книга связана с предыдущей монографией Березанского [18] и ее расширенным и значительно переработанным английским переводом [26]. Она во многом развивает две эти книги, особеиио в плане приложений. Ее первые два параграфа написаны, возможно, конспективно — нам не хотелось повторять хорошо известные понятия пространства с негативной нормой, тензорного произведения и т. п. (они содержатся на первых страницах указанных книг Березанского, в книгах Морена [2], Рида, Саймона [1] и др.). Отметим также, что здесь мы не касаемся изложенных в книгах Березанского вопросов спектральной теории дифференциальных операторов с разделяющимися переменными и их потенциальных возмущений, вопросов самосопряженности конечномерных дис[)ференцнальных операторов и некоторых других разделов. [c.7]

Кратко остановимся на содержании глав — более подробно с их содержанием можно познакомиться во введениях, предваряющих каждую главу. Первая глава носит вспомогательный характер. В 1 довольно конспективно излагается теория оснащенных гильбертовых пространств, служащая абстрактной версией теории обобщенных функций. Техника конечных и бесконечных тензорных произведений гильбертовых пространств составляет содержание 2. В 3 с помощью методики 0С1 а-щеиных пространств излагается теория неограниченных билинейных форм. Материал этой главы служит обычным языком в дальнейших разделах книги. [c.9]

В 2 приведена также широко используемая в книге теория тензорных произведений сепарабельных гильбертовых пространств и их оснащений. Рассматриваются как конечные тензорные произведения, так и бесконечные (счетные), являющиеся сепарабель11ыми подпространствами полного неймановского тензорного произведения (само такое произведение в книге не используется и его теория не излагается). Эти произведения вводятся не вполне традиционным координатным способом. Так, еслиЯ1, Яа — два гильбертовых пространства, (еа )а,=-о, (еа )а2=о — ортонормированные базисы вЯ1, соответственно, то под тензорным произведением 0 понимается гильбертово пространство, натянутое на формальные векторы 0 её ( 1, = О, 1,...), считающиеся взаимно ортогональными ортами. [c.12]

С тензорными произведениями тесно связан вариант теоремы Шварца о ядре, изложенный в этом же параграфе. В простейшей ситуации этот результат таков. Пусть в пространстве а относительно лебеговой меры (1х действует непрерывный оператор А. Тогда он допускает следующее представление для финитных гладких ф, г]) [c.13]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология