Тензор первого ранга

Дальнейшее обобщение состоит в том, что всем этим трем величинам присваивается название тензоров с указанием ранга в соответствии с показателем степени, т. е. скаляр будет тензором нулевого ранга, вектор — тензором первого ранга и тензор — тензором второго ранга (тензоры могут быть и более высоких рангов — третьего и т. д.). [c.365]

Векторы, матрицы и тензоры — это упорядоченные множества величин. Вектор является одномерным упорядоченным множеством, т. е. величиной, для описания которой необходим один индекс. Матрицы представляют собой двумерные множества, для упорядочения которых нужны два индекса. Наиболее общей упорядоченной величиной является тензор. Число индексов, необходимых для построения тензора, называется его рангом. Таким образом, вектор является тензором первого ранга, матрица— тензором второго ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга. [c.403]

Вектор. Система величин а,-, характеризуемых одним индексом и обычно располагаемых в строку или в столбец. Тензор первого ранга. [c.459]

Внешнее произведение. Произведение двух векторов, матриц или тензоров, ранг которого выше, чем ранги сомножителей. Например, для двух векторов (тензоров первого ранга) оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки, результатом которого является матрица (тензор второго ранга). Возбужденное состояние. Состояние системы с энергией выше основного (низшего энергетического) состояния. [c.459]

Еще одно усовершенствование [162] модели, описывающей колебания молекул в кристаллах, имело целью учет ангармонических вкладов, которые становятся существенными ири больших либрациях. Здесь была предусмотрена возможность смещения начала собственной системы координат молекулы относительно ее центра масс это смещение описывается тензором первого ранга р, добавляемым к тензорам Т, Ь и 3. [c.170]

Из компонент антисимметричного тензора можно построить неприводимый тензор первого ранга [c.108]

Поскольку тензор симметричен и имеет равный нулю след, из компонент можно построить сферический тензор второго ранга (см. (14.11) —(14.13)). Компоненты этого тензора пропорциональны сферическим функциям С (Оф). Сферические компоненты 8)п вектора 5 образуют тензор первого ранга В соответствии со сказанным выше тензорное произведение [c.114]

Тензор первого ранга (вектор) [c.195]

В 39 было показано, что симметрия кристалла накладывает определенные ограничения на векторные свойства кристаллов в кристаллах, в которых нет полярных единичных направлений, не может быть свойств, описываемых вектором, т. е. тензором первого ранга. [c.217]

Из выражения (УП1-1) следует, ЧТО коэффициенты связывают два вектора / - и (тензоры первого ранга). Следовательно, совокупность коэффициентов образует симметричный тензор второго ранга [0,- ]. Закон Ома можно записать в другом виде [c.196]

Ранг тензора равен числу индексов у его компонент. Скаляр можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а полярный вектор — как тензор первого ранга. [c.27]

Примеры. 1) Тензоры первого ранга (полярные векторы) [c.34]

Любой объект А, имеющий три компоненты Л в некоторой декартовой системе координат (с осями х , Хз), является вектором или тензором первого ранга, если его компоненты А/, определенные в повернутой системе координат (с осями х, х, х з), удовлетворяют соотношению [c.222]

Спрашивается, какие функции от компонентов тензора не зависят от выбора трехмерной системы координат, в которой определены эти компоненты. Если такая функция найдена, то она называется инвариантом данного тензора. Из уравнения (А.24) был уже найден инвариант тензора первого ранга (вектора), й именно [c.229]

Тензор первого ранга. Вектор является в математическом отношении тензором первого ранга. Векторная функция / (если оси координат выбраны) может быть, как широко известно из курса физики, разложена на 3 компоненты /1, /2, /3, параллельные осям координат Х1, Хг, хз (рис. У.19). [c.401]

Пироэлектрический эффект является тензором первого ранга, т. е. описывается вектором поляризации Р. При изменении температуры АТ изменение вектора поляризации АР равно [c.409]

Оператор Ni представляет магнитное взаимодействие, возникающее благодаря электронам с не равным нулю орбитальным угловым моментом, и для этих электронов N2 = 0. Контактное ферми-взаимодействие для s-электронов на ядре описывается оператором N2. и два члена являются векторными операторами, которые преобразуются как тензоры первого ранга. Второй член в Ni, зависящий от г, может быть заменен эквивалентной операторной функцией, которая определяется выражением [7, 12] [c.445]

Величины Ох, Оу, называются компонентами вектора а. Происхождение термина тензор первого ранга связано с использованием одного индекса. Поскольку для скаляра индексов не требуется, то ему соответствует нулевой ранг. [c.36]

Что касается потоков Л и I, то они могут рассматриваться либо как скаляры — тензоры нулевого ранга, если имеется в виду только их абсолютная величина, или модуль, либо как векторы — тензоры первого ранга, если имеются в виду их модуль и направление одновременно. [c.154]

Все три перечисленные задачи для тензоров первого ранга (векторные параметры) и второго ранга (тензор деформации) подробно исследовались разными авторами [2- ], и результаты сведены в таблицы. Для тензоров высших рангов, свойства которых, как отмечалось выше, в последние годы стали интенсивно исследоваться, соответствующие таблицы находятся в стадии разработки. Ниже мы кратко сформулируем основные принципы решения трех сформулированных задач. [c.140]

В трехмерном эвклидовом пространстве физическая величина, которую можно представить в виде тензора ранга V, имеет 3 компоненты скалярную величину можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а вектор — как тензор первого ранга. Как правило, скалярные величины (тензоры нулевого ранга) обозначены курсивом (так, а — скаляр) произвольные векторы (тензоры первого ранга) — жирным курсивом [о — вектор с компонентами Оа (а = 1, 2, 3)] тензоры второго и более высокого ранга обозначены рубленым шрифтом [например, Т — тензор второго и более высокого ранга, его компоненты (а, р = 1, 2, 3)]. [c.261]

Существует единственный изотропный тензор первого ранга — нуль-тензор. Изотропными тензорами второго ранга являются лишь скалярные кратные a-тензору Кронекера. Аналогично изотропный тензор третьего ранга можно представить только как произвольный скаляр, умноженный на тензор Леви-Чивита. Наконец, самым общим видом изотропного тензора четвертого ранга является выражение [c.480]

Векторы являются тензорами первого ранга, а скаляры — тензорамн нулевого ранга. Позже будет дано более полное определение тензоров второго ранга. [c.442]

При операциях сложения или вычитания форме скобок, заключающих внутри себя эти операции, не придается никакого особого значения. Таким образом, величины (о-1с) и (а т) являются скалярами, величины [ Хгс1 и [т- ] — векторами, а величина а т) представляет собой тензор второго ранга. Величину ( —1с) можно выразить и в виде [г —и ] или в виде (г —ю в зависимости от того, какой способ записи удобнее. Заметим, что скаляры формально можно считать тензорами нулевого ранга, а векторы — тензорами первого ранга. [c.650]

Тензор рассеяния не единственный. В технике и физике применяют другие тензоры, такие, как тензоры деформации и напряжения, тензор моментов инерции, тензор g-факторов (в атомной физике). Тензоры деформации и напряжения встречаются при изучении деформации тел под действием внешних сил. Деформация не всегда параллельна направлению приложенной силы, поэтому возникающие при деформации тела силы сопротивления, вообще говоря, анизотропны. Тензоры или диады могут быть очень простыми наиболее простым тензором, тензором нулевого ранга, является скаляр. Векторы также служат примерами тензоров. Обычный вектор представляет собой тензор первого ранга. Тензор рассеяния и тензор напряжения — тензоры второго ранга. Такие тензоры также называют диадами. Полиады — тензоры высших рангов, например тензор гиперкомбинационного рассеяния света. При рассмотрении свойств тензоров используется аппарат векторной алгебры. [c.40]

Итак, тензор нулевого ранга определяется одним числом, которое не зависит от выбора координат. Тензор первого ранга — тремя числами, каждое из которых относится к одной из осей. Тензор второго ранга — девятью числами, каждое из которых относится к одной из двух осей и которые комбинир тотся попарно. Число индексов при коэффициенте соответствует рангу тензора при ранге О — индексов нет при ранге 1 —индексов 1 при ранге 2—индексов 2. [c.403]

К тензорам первого ранга относятся векторные величины. Векторами являются градиенты скаляров, в частности градиенты интенсиалов — температуры, давления, электрического и химического потенциалов и т. д. Следовательно, сила [c.154]

V — градиент интенсиала — представляет собой вектор, или тензор первого ранга. [c.154]

Если каждому атому в диссимметричной фазе приписывается некоторый полярный вектор, то при преобразованиях пространственной группы исходного кристалла имеет место не только перестановка атомов, но и поворот атомного вектора. Состояние кристалла в целом должно описываться 3 аУУ-компонентным вектором-столбцом (ст — число атомов в примитивной ячейке),отдельныекомпонентыкоторогоуказьгеают проекцию вектора на каждом атоме. ЗстУУ-компонентные орты в этом пространстве образуют базис векторного представления пространственной группы кристалла. Поскольку полярный вектор можно рассматривать как тензор первого ранга, мы можем воспользоваться результатами 3, справедливыми для тензора любого ранга. Следует лишь матрицу преобразования тензора [c.34]

Пусть Оу - векторное представление, описьйающее симметрию полярного вектора (тензора первого ранга). Тензор ранга г преобразуется как произведение компонент г векторов, и его трансформационные свойства поэтому описываются тензорным представлением 2)/=... X X Оу. Интересующие нас физические характеристики кристалла описываются тензорами, симметричными относительно перестановок некоторых индексов. Наиболее употребительные тензоры приведены в табл. 6.1 [c.140]

Ферроэлектрики. Это — наиболее исследованный класс ферроиков. Как видно из табл. 6.3, макроскопической переменной, описывающей ферро-электрические переходы, является полярный вектор - тензор первого ранга. Поскольку вектор преобразуется по представлению с размерностью не выше трех, любой собственный ферроэлектрический переход должен описываться одним из двенадцати типов термодинамических потенциалов, отвечающих кристаллографическим точечным /-группам ( 14). ЦРБИ этйхтрупп приведены в 14. [c.151]

Тензорным произведением вектора а на тензор w называется тензор третьего ранга луг, элементы которого суть Свертка этого произведения представляет собой тензор первого ранга, т. е. вектор. Свертывание произведения мы обзначим точкой между а и [c.481]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология