Метод решения трехдиагональной системы уравнений

Ранее отмечалось, что одной из важнейших проблем расчета является обеспечение сходимости решения. Неустойчивость решения в значительной степени зависит от накопления ошибок округления вследствие конечности представления чисел в памяти. Особенно существенные ошибки появляются при выполнении операции вычитания сравнимых по величине чисел. Алгоритм, используемый для решения трехдиагональной системы уравнений материального баланса, не содержит операции вычитания сравнимых величин и поэтому обладает устойчивой сходимостью. Тем не менее при наличии зон постоянных концентраций возможна колебательность решения, устранить которую в большинстве случаев удается с помощью форсирующих процедур. Скорость сходимости и затраты машинного времени на решение существенно зависят от числа компонентов разделяемой смеси, числа тарелок и в меньшей степени от начального приближения. Существенным является также выбор метода определения равновесной температуры, так как эта операция выполняется на каждой итерации и для каждой тарелки. [c.341]

Алгоритм решения трехдиагональной системы уравнений заключается в том, что последовательно исключаются поддиагональ-ные элементы матрицы системы (10—34) (элементы вектора А), а диагональные (элел1енты вектора В) приводятся к единичным. Одновременно вычисляются новые значения элементов векторов С и О. Как и в обычном методе Гаусса, прямым ходом матрица при- [c.255]

Рассмотрим следующий пример. При расчете многостадийных процессов (папример, абсорбция, ректификация, экстракция), а также решении дифференциальных уравнений в частных производных разностными методами матрица коэффициентов системы уравнений имеет специальный вид с большим числом нулевых элементов. Для решения таких систем линейных уравнений обьга-но используются методы, позволяющие хранить в памяти только ненулевые элементы матрицы, благодаря чему существенно сокращается объем занимаемой памяти. Запишем подпрограмму решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, алгоритм решения которой приведен в гл. 6. [c.290]

Как уже подчеркивалось ранее, система конечно-разностных уравнений является алгебраической и поэтому к ней применимы известные методы решения алгебраических уравнений. В то же время отметим, что каждое неявное конечно-разностное уравнение содержит только три значения искомой функции в соседних узлах. Вследствие этого матрица коэффициентов системы конечно-разностных уравнений имеет специальный, так называемый, трехдиагональный вид. Для системы (13.9) матрицей является [c.389]

Принципиальная возможность расчета и перспективность использования азеотропно-экстрактивной ректификации была показана в работе [481, где предложена и схема алгоритма, основанная на методике релаксации. Однако основная задача состоит в разработке эффективной процедуры решения системы уравнений материального баланса, поскольку, обладая устойчивой сходимостью, метод релаксации весьма времеемок. Позднее был предложен комбинированный метод, основанный на методах релаксации и трехдиагональной матрицы [791. Другим подходом является использование метода Ньютона—Рафсона для решения системы уравнений материального баланса [801. И все же в виду сложности задачи основное внимание до сих пор уделяется разработке алгоритмов сведения материального баланса при отборе одной из фаз со ступени разделения или расслаивании целевых продуктов в гравитационных декантаторах. Но этим не исчерпываются особенности ректификации с расслаиванием жидких фаз. Большие возможности этого процесса заключаются в перераспределении потоков отдельных фаз внутри колонны на специальных устройствах [811 для создания необходимого температурного режима, а также изменения условий протекания процесса. [c.355]

При решении линейных дифференциальных уравнений второго порядка система линейных алгебраических уравнений является трехдиагональной. Для таких систем разработан специальный метод решения, называемый методом прогонки. [c.381]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Для решения таких систем линейных алгебраических уравнений цред-лагается следующее разбитие общей системы уравнений на подсистемы меньшей размерности за счет подстановки одних переменных через другие. дреобразование полученных матриц подсистем к трехдиагональному виду, соответствующему условиям для точного решения методом прогонки, расчет методом прогонки и обратное цреобразование переменных даю получения всех корней системы.Сокращение размерности системы линейных алгебраических уравнений дает возможность ускорить счет и расширить круг решаемых задач. [c.192]

Неявное решение дифференциальных уравнений в частных производных. В неявных методах решения аппроксимирующие разности и коэффициенты А, В ж С рассматриваются для времени i -Ь Дi. Если коэффициенты А, В и С линейные функции зависимых переменных /, это приводит к блочно-трехдиагональной системе линейных уравнений для Блочно-трехдиагональные [c.142]

Таким образом, интегрирование системы линейных дифференциальных уравненЕва в соответствии с формулой (7.10) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которой имеет трехдиагональную структуру, поэтому для ее решения удобно воспользоваться методом прогонки, эффективным с точки зрения быстродействия и занимаемой памяти [96, 97]. [c.391]

В дальнейшем предпринимались попытки моделировать многокомпонентную периодическую ректификацию с учетом удерживающей способности колонны. Математические модели колонн представляют собой системы нелинейных жестких дифференциальных уравнений. Трудность решения этих уравнений на ЭВМ явилась сдерживающим фактором широкого применения математического моделирования как для целей проектиро вания периодических ректификационных колонн, так и для управления ими i[51—541. В работах [50, 54] описан метод расчета ректификационных колонн периодического действия для разделения многокомпонентных систем, основанный на решении задачи собственных значений трехдиагональной матрицы составов. [c.38]