Конечно-разностные уравнения

Последнее обстоятельство является важным, так как, чтобы в результате решения конечно-разностных уравнений получить зависимость числа Нуссельта от числа Рейнольдса, эти уравнения должны быть справедливы для областей, примыкающих к стенкам, А там вклад турбулентности в переносные свойства потока может лишь ненамного изменять их по сравнению с ламинарным течением. Для таких условий, как уже отмечалось выше, модели турбулентности наименее разработаны, поэтому возможность получить указанным способом формулы для интенсивности теплоотдачи сильно ограничена. [c.41]

Рис. 1. Ячейки, используемые при решении конечно-разностных уравнений для иг, и и ш

После дискретизации области и построения дискретного аналога краевой задачи необходимо оценить сходимость конечно-разностного решения к точному решению исходной задачи, а также получить конечно-разностное решение, т.е. решить систему конечно-разностных уравнений. Реализация этих двух этапов представляет основные принципиальные трудности при практическом использовании метода конечных разностей. [c.387]

Трудности решения системы конечно-разностных уравнений в первую очередь обусловлены ее большой размерностью, равной числу дискретных точек, в которых ищутся значения функций. Размерность 25 387 [c.387]

При фиксированной размерности трудоемкость решения системы конечно-разностных уравнений зависит от типа разностной схемы. Поясним это на примере системы уравнений (13.3), где во втором слагаемом вместо индекса, указывающего номер временного шага, пока проставлены звездочки. Рассмотрим два варианта [c.388]

Системы нелинейных интегро-дифференциальных или конечно-разностных уравнений, отражающих физико-химическую сущность технологических процессов [c.58]

Анализ функционирования ХТС, для которой известны математические модели отдельных элементов и технологическая топология, состоит в расчете полной математической модели для определения параметров выходных технологических потоков при заданных технологических условиях и параметрах входных потоков системы. Сложные ХТС включают большое число элементов, описываемых многомерными дифференциальными и конечно-разностными уравнениями. Поэтому даже простой однократный расчет математических моделей таких систем на современных ЦВМ занимает много времени и приводит к многочисленным трудностям как при программировании задач, так и при технической эксплуатации вычислительных машин. Указанные трудности обусловлены многомерностью решаемых задач, а также малым объемом памяти ОЗУ и низким быстродействием применяемых в настоящее время ЦВМ. Синтез оптимальных ХТС связан с неоднократным решением задач анализа их функционирования или полного расчета. [c.212]

Решение уравнения диффузионной модели движения жидкости на тарелке получено в предположении линейной равновесной зависимости. Однако для других случаев такое решение можно получить лишь численно. Особенно это относится к многокомпонентной ректификации. Поэтому практически целесообразнее использовать описание моделей структуры потоков конечно-разностными уравнениями, которые в линейном приближении равновесных зависимостей (что часто справедливо в пределах точности вычислений) на ступени разделения позволяют получить несложные с вычислительной точки зрения зависимости. [c.89]

Следует отметить, что исследование объектов, описываемых дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциаль-ными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру. Формально замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями, а интегральных — алгебраическими уравнениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. При подобных преобразованиях исходной системы уравнений, естественно, допускается погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования. [c.202]

Тогда для определения искомых функций 1/г и У в очередной точке получим следующие конечно-разностные уравнения [c.106]

С. Конечно-разностные уравнения. Конечно-разностные уравнения для переменных иг, ики) имеют тот же вид, что и уравнения для температур. Следует только иметь в виду, что все точки должны быть сдвинуты на половину интервала в соответствующем направлении (в направлении 6, когда Ф означает иг, в направлении г для о и в направлении г для а>). [c.38]

Вклады конвекции в конечно-разностные уравнения вычислить теперь не столь просто, поскольку скорости на Границах новых ячеек должны определяться путем интерполяции однако эта процедура не вызывает затруднений. [c.38]

Коэффициенты Ь п, Ь1 и т. д. получаются дифференцированием конечно-разностных уравнений для скоростей (которым пропорциональны Ь) относительно членов 6 р (содержащих давление). [c.39]

Эго конечно-разностное уравнение для поправки к давлению формально весьма сходно с общим конечно-разностным уравнением (1) 1.4.1. Нужно только отождествить р с Ф, 6" с а и /> с 5р и положить 0. [c.39]

Уравнение (И) завершает систему подлежащих решению конечно-разностных уравнений. [c.39]

Для описания стационарных процессов обычно используют модели, представляющие собой линейные конечно-разностные уравнения вида [c.112]

Исследование объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, по имеющему ячеечную структуру. Формально математически замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. [c.128]

Известно, что аппроксимацию дифференциального уравнения можно осуществлять различными способами. Но помимо вопроса построения конечно-разностных уравнений здесь еще возникают фундаментальные вопросы о методе их решения, устойчивости" разностной схемы при счете и точности получаемых решений. Так как мы решаем задачу на машине, то не последнюю роль играют вопросы размещения в машинной памяти необходимой информации и удобства алгоритма для программирования. [c.69]

Между этими двумя категориями сеточных задач существует глубокая разница. Если для неявных схем задача сводится к решению системы алгебраических уравнений, то в случае явных решение сеточной задачи осуществляется по шагам в направлении оси I. Если в нервом случае на сегодня основным вопросом является вопрос фактического решения системы конечно-разностных уравнений, то для явного случая, наоборот, фактическое решение сеточной задачи не представляет труда, но зато вопросы сходимости и устойчивости разностных схем являются фундаментальными. [c.70]

Рассмотрим явную схему. Разрешая конечно-разностные уравнения относительно значений искомых функций на слое к - - ж учитывая граничные и начальные условия, получим [c.70]

Стандартная задача оптимизации процесса с К ключевыми веществами и М управляющими параметрами сводится к решению системы 2К дифференциальных или конечно-разностных уравнений (соответственно для процесса в реакторе идеального вытеснения или в цени реакторов идеального смешения) совместно с М алгебраическими соотношениями, удовлетворяющимися в каждой точке. [c.227]

Устойчивое решение можно получить, если применить неявную разностную схему (см. рис. 3.12) [167]. В этой схеме линейный дифференциальный оператор А аппроксимируем разностным оператором X на (t + А )-м слое, а нелинейную функцию /(и) задаем при (. Систему уравнений (3.51) заменяем приближенными конечно-разностными уравнениями [c.112]

Дифференциальные операторы аппроксимируем разностными операторами, как и в двумерной задаче, но по одной координате - на половине шага, а по другой - на полном шаге. Схема трехмерной сетки представлена на рис. 3.13. Конечно-разностные уравнения имеют вид [c.114]

Итоговые обобщенные нестационарные конечно-разностные уравнения записываются в виде [c.452]

Алгоритм имеет следующую структуру. Вначале вводятся исходные данные, константы, величина шага по времени при решении конечно-разностных уравнений. Затем следует подпрограмма инициализации графического режима. Перечисленные блоки составляют общую часть программы. Далее следует циклическая часть, которая многократно повторяется в процессе расчета. Она начинается с оператора-счетчика К=К+1. Затем идет собственно расчет искомых величин. Расчет температур жидкой и газовой фаз в камере для двух рассматриваемых случаев осуществляется по одним и тем же конечно-разностным формулам. После расчета температур и вывода результата на печатающее устройство алгоритм разветвляется на два направления по признаку ветвления X . [c.444]

Уравнение (10.4) является нелинейным конечно-разностным уравнением интегрального типа относительно неизвестной функции п (К). Поэтому оно имеет несколько решений. Каждое решение обеспечивает экстремум свободной энергии и описывает упорядоченное или неупорядоченное распределение атомов. Каждому набору термодинамических параметров с, Т (состав, температура) соответствует решение уравнения (10.4), отвечающее абсолютному минимуму свободной энергии (10.5) и описывающее стабильную фазу. Изменяя параметры Т, с, мы можем прийти к ситуации, когда абсолютный минимум свободной энергии будет отвечать другому решению уравнения (10.4) и, следовательно, другой равновесной фазе. В этом случае переход от одного решения уравнения (10.4) к другому будет описывать фазовый переход между двумя фазами. В частности, фазовый переход порядок — беспорядок будет происходить, если решение п (К) = с, не зависящее от коор- [c.104]

Метод решения заключается в переходе к нестационарным задачам, которые аппроксимируются системами конечно-разностных уравнений. В одномерном случав для осуществления неявных разностных схем применяется метод прогонки ( I ) [c.471]

Как уже подчеркивалось ранее, система конечно-разностных уравнений является алгебраической и поэтому к ней применимы известные методы решения алгебраических уравнений. В то же время отметим, что каждое неявное конечно-разностное уравнение содержит только три значения искомой функции в соседних узлах. Вследствие этого матрица коэффициентов системы конечно-разностных уравнений имеет специальный, так называемый, трехдиагональный вид. Для системы (13.9) матрицей является [c.389]

С. Конечно-разностные уравнения. Природа конечно-разностных уравнений. Если пространство разбито на е интервалов в направлении 0, на в направлепии гкп в направлении z, то в каждый момент времени для каждой из трех зависимых переменных Ту, Т. и Гд должны быть рассчитаны iiQn n величин. Обычно значения п примерно равны 10, т. е. в каждый момент времени нужно рассчитать около 3000 величин. Для этого составляется набор алгебраических уравнений для переменных, связывающих значение каждой переменной, например Тур, с ее значениями в соседних ячейках Tyjv, Ту , Ту , Ту у, Ту , Tyi и в предыдущий момент времени Тур-. Эти уравнения называются конечно-разностными. [c.36]

Получение уравнений. Конечно-разностные уравнения вида (1), число которых составляет ЗХпвп п , можно получить из соответствующих уравнений в частных производных для трех переменных Ту, Т , Т (см. 1.2.7) путем интегрирования этих уравнений по объемам соответствующих ячеек. [c.36]

Решение для одного шага по времени можно получить с помощью простого метода, называемого релаксационной процедурой Гаусса—Зайделя. В этом методе значения всех переменных по очереди нычнсляются из конечно-разностных уравнений, в которых они расположены слева, причем в правые части уравнений подставляются значения переменных в соседних точках. Так как при смещении на одну ячейку корректируется значение температуры, использовавшееся до этого при вычислении значения температуры в соседней ячейке, то очевидно, что процесс нужно повторять много раз. Не столь очевиден, по тем не менее имеет место тот факт, что при многократном повторении величйны изменений температуры в каждой ячейке делаются все меньше и наконец становятся пренебрежимо малыми. Тогда говорят, что достигнута сходимость решения. Затем можно перейти к следующему шагу по времени. [c.37]

Из уравнения (1) выводится конечно-разностное уравнение для давления илн, точнее, для поправки к давлению. Процедура заключается в следующем. До тех пор, пока не достигнута сходимость решс1Н1я, скорости ие будут, вообще говоря, удовлетворять уравнению (I). Если з aчeния коэффициентов Ь обозначить звездочкой, а необходимые поправки к ним — штрихом, то (1) запишем в виде [c.39]

Можно установить связь между дЛ1Шой ячейки Ai и параметром продольного переноса Ред. Запишем уравнение (11) из табл. 3,2 в виде конечно-разностного уравнения, используя центральные разности [c.121]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 0. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 0. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Нелинейная система конечно-разностных уравнений решалась методом релаксаций (см , например, Калиткин [1978]). На начальной (нулевой) [c.127]

Возвраш аясь к уравнению (10.15), заметим, что число трансцендентных уравнений, полученных в результате подстановки в (10.15) координат узлов решетки Бравэ х, у, г), равно числу t различных значений, которые принимает функция п (К) на множестве всех узлов решетки И.зинга (числу подрешеток t, на которое разбивается решетка твердого раствора при упорядочении). Система трансцендентных уравнений, полученная из (10.4) благодаря использованию метода статических концентрационных волн, принципиально проще, чем исходное конечно-разностное уравнение (10.4). В самом деле, уравнение (10.4), по существу, представляет собой систему N трансцендентных уравнений относительно N неизвестных п (К). Система же (10.15) состоит из I трансцендентных уравнений относительно нескольких неизвестных т]5 (в случае СнзАи, разобранном выше, 1=2). [c.108]

При реализации алгоритма использованы конечно-разностные методы применена безытерационная безусловно-устойчивая разностная схема, имеющая второй порядок точности по обеим координатам. В работе подробно описан метод решения системы конечно-разностных уравнений с переменным шагом по обеим координатам. [c.88]

Если сложить уравнения А и В между собой, то получим конечно-разностное уравнение, которое аппроксимирует уравнение (3) с точностью величины порядка Теперь на каждом полушаге будем решать одномерную алгебраи -ческую задачу для тре-точечного разностного уравнения. Решая последовательно системы уравнений А и В, мы переходим с целого шага с на шаг 2- [c.482]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология