Собственные функции ортогональные

О < ф < 2я. Например, угол ф может определять положение точки на окружности. Очевидно, что ф) = ф + 2л соответствует той же точке, что и ф. Как следует из задачи 17, решение этого уравнения имеет вид f = =ехр ( тср). При т, равном целому числу, условие периодичности с периодом 2я обеспечивает его однозначность. Покажите, что две собственные функции ортогональны. [c.21]

Когда совпадают два или больше собственных значений, соответствующих какому-то вырожденному состоянию системы, то и в этом случае можно без потери общности принять, что соответствующие собственные функции ортогональны друг другу. Обычно предполагают, что совокупность всех нормированных собственных функций уравнения (1.1.1) образует полную ортонормированную систему. Это означает, что любая функция из одного и того же класса функций может быть представлена как линейная комбинация базисных функций Ч " полной системы с любой требуемой точностью при условии, что взято достаточное число функций в этой комбинации. Подробности см. в гл. 2. [c.12]

Бы, по-видимому, знакомы со стандартными свойствами эрмитовых операторов и матриц, а также со свойствами их собственных функций и собственных значений — что они могут быть диагонализованы унитарным преобразованием, что собственные функции ортогональны, что собственные "Г1 . иия вещественны и т. д. Если же нет, то посмотрите, пожалуйста, почти любой курс квантовой механики университетского уровня. Кроме того, вам должен быть известен тот факт, что среднее значение любого эрмитова оператора больше его наименьшего собственного значения или равно ему. [c.13]

Уравнение (8.2656) имеет совокупность собственных функций г ) (г), соответствующих собственным значениям и по определению ортогональны только в активной зоне. Определение критического размера реактора производится так иге, как и выше. [c.360]

Из определения эрмитова оператора и уравнения (2.9) не следует, что собственные функции / f , fkg принадлежащие одному собственному значению, будут ортогональны друг другу. Но, построив из этих функций линейные комбинации, можно получить систему полностью ортогональных функций. Систему ортогональных функций можно нормировать, т. е. для каждой из них найти нормирующий множитель Nk (уравнение (2.9) решается с точностью до произвольного множителя) и путем умножения на него перейти к системе функции ф1, Фа,. .., Фй. для которой [c.13]

Важное свойство собственных функций уравнения Шредингера, относящихся к различным собственным значениям, — их взаимная ортогональность интеграл по всему пространству от произведения любой пары собственных функций равен нулю [c.14]

Этот результат для молекулы с одинаковыми ядрами может быть достигнут значительно проще, но здесь на примере Н2 показаны особенности метода, характерные и для расчета более, сложных систем. Для нахождения трех неизвестных величин с,, Сд и были использованы три уравнения (26.15), (26.15 ) и(3.11). Так как вековое уравнение оказалось квадратным относительно Е, были получены два значения для энергии, именно и Е , и два набор 1 коэффициентов Су и С2, именно 1/>/2 и 1/л/2 для с, и 1/у/Т и—1/.у/2дш С2,и соответственно две молекулярные орбитали и Т4. Как следует из свойств собственных функций уравнения Шредингера [см. (3.10)], эти орбитали ортогональны, т. е. [c.97]

Докажите интегрированием ортогональность собственных функций гамильтониана частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной а(0 х а). [c.19]

Докажите ортогональность собственных функций гамильтониана плоского ротатора. [c.22]

Построенные три собственные функции, принадлежащие значениям 5= 1/2 и Мз= 1/2, как нетрудно убедиться, линейно зависимы в + в + в" = 0. В качестве двух линейно независимых функций выберем 0 = 1/2, 1/2)1 и линейную комбинацию 11/2, 1/2)2 = = в + св , где константа с оп])еделяется из условия ортогональности 1/2, 1/2)1 и 1/2, 1/2)2- В итоге 1/2, 1/2)2 = а(1)Д(2)а(3)- [c.132]

Если а,, то это равенство будет выполняться только при условии <Ц), I = 0. Две функции, удовлетворяющие такому соотношению, называются (взаимно) ортогональными. Следовательно, собственные функции эрмитова оператора, принадлежащие различным собственным значениям, должны быть ортогональны. [c.49]

Таким образом, собственные функции эрмитова оператора всегда можно считать взаимно ортогональными, независимо от того, принадлежат ли они разным или одинаковым собственным значениям. Для дискретного спектра они к тому же могут быть выбраны нормированными на единицу. Средние значения оператора Л на таких функциях, как уже было сказано, равны соответствующим собственным значениям А на исходных функциях, [c.50]

Из соотношений типа (19) для следует к тому же, что средние значения этих операторов на функциях, собственных для равны нулю. Действительно, коль скоро - эрмитов оператор, его собственные функции взаимно ортогональны. С другой стороны, оператор действует согласно соотношению (19), так что [c.98]

Естественно, что при таком подходе остается проблема возбужденных состояний. Однако и для них можно сформулировать утверждения типа представленного неравенством (7), хотя и в не столь удобной форме. Именно собственное значение первого возбужденного состояния служит нижней границей функционала энергии на всех тех функциях ф, которые ортогональны ф , т.е. точной собственной функции основного состояния [c.146]

Для следующего (второго) возбужденного состояния поиск должен вестись среди функций ф, ортогональных одновременно точным собственным функциям ф и ф и т.д. [c.146]

ЧТО при скалярном умножении слева на Ч д/х) (т.е. при умножении на Ро/( ) интегрировании по х) с учетом ортогональности собственных функций эрмитова оператора дает (для любого /) [c.163]

Мы приходим к заключению, что система собственных функций полна. Кроме того, отсюда следует, что собственные значения действительны и что любые два собственных вектора ортогональны в терминах скалярного произведения (5.7.4). Для дискретных собственных значений собственные векторы можно нормировать, так что [c.123]

Удовлетворяющие уравнению Шредингера волновые функции для разных собственных значений ортогональны Это значит, что [c.18]

Если с помощью линейной комбинации выразить через исходный набор собственных функций еще одиу гибридную орбиталь и потребовать, чтобы такие орбитали были ортогональными, то для двух гибридных ор- [c.44]

Упражнение I. Путем подстановки в уравнение (12.64) проверить, что ilio и itii — решения уравнения Шредингера, а также, что эти собственные функции ортогональны. [c.381]

Понятие ортогональности встречается в векторной алгебре если два вектора а и b образуют между собой угол 90°, то скалярное произведение векторов обрап ает-ся в нуль, т. е. а-Ь = О, и векторы называют ортогональными. Это означает, что если выразить вектор а через другие векторы пространства, то это выражение не будет содержать вектора Ь иначе говоря, векторы а и b совершенно независимы друг от друга. Аналогично если собственные функции ортогональны, то это означает, что они независимы ни одна из них не содержит примеси другой. [c.102]

Их собственные функции и ijjm, относящиеся < различным собственным значениям L и Lm(L ф Lm), ортогональны [c.40]

Уравнения (1.115) представляют собой уравнения на собственные функ-г и и собственные значения одного и того же оператора Р. Так как Р - линейный оператор, то нормировка функций достигается путем умножения функции на подходящий нормировочный множитель. Так как Р - эрмитовский оператор, то в силу известной теоремы собственные функции либо автоматически ортогональны, либо (в случае вырождения) легко делаются ортогональными. [c.46]

Если принять во внимание явный вид дублетных спиновых ( )ункций (1.83) и (1.84) для трехзлектронной системы, то нетрудно убедиться, что каждая из базисных функций в (2.48) является собственной функцией 8 и 8г. В трехзлектронной задаче имеются две линейно независимые дублетные спиновые функции с Ms = Л. с чем и связано появление в (2.48) двух взаимно ортогональных функций и Ф при условии р Ф д Ф 1. Если же два из трех индексов р, ц, I совпадают, то в разложении возникает только один тип детерминантов Фр ,. После некоторых размышлений можно понять и указанную в (2.47) область изменения индексов. [c.69]

Здесь А - произвольный линейный самосопряженный оператор. В зависимости от того, как он выбран, получим те или иные собственные функ-Щ1и фк (при любом выборе А орбитали ф принадлежат одному и тому же подпространству Ям)- В частности, будут ли ф ортогональны друг другу, определяется спектром оператора Р +рАр. Если выбрать А так, что спек тр оператора Е + рАр окажется невырожден, то разные орбитали ф)с будут обязательно ортогональны друг другу как собственные функщ1и одного линейного самосопряженного оператора, соответствующие разным собственным числам. Если же А таков, что спектр оператора Р +рАр окажется вырожденным, то разные собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному числу оператора Р + рАр, должны быть только линейно независимы, но не обязаны быть ортогональны. Этим обстоятельством воспользуемся при введении оператора псевдопотенциала (см. гл. 4, 8). [c.99]

Система собственных функций г-го вырожденного состояния не обязательно ортогональна, однако всегда можно найти такие их линейные комбинации, которые будут ортогональны. В дальнейшем будем считать, что система собственных функций оператора Н ортонормирована. Условие одновременной ортогональности и нормированности функций Р, (г=1, 2. .., со) записывается следующим образом [c.13]

Значение ортогональных функций определяется тем, что свойством ортогональности обладают собственные функции важных квантово-механических операторов. Физический смысл равенства нулю интеграла S(pm(pndx можно понять, если вспомнить, что квадрат волновой функции есть мера вероятности найти частицу микромира в данном состоянии. [c.55]

Самосопряженные операторы обладают свойством, которое имеет большое значение для квантово-механических расчетов. Собственные функции таких операторов ортогональны, т.е. / фтфпй(л = 0 пригде фт и ф —две собственные функции. Это определение распространяется и на комплексные функции [см. уравнение (4.4)]. Докажем, что функции -ф1 и гра ортогональны, если обе они являются собственными функциями оператора Эрмита и их собственные значения неодинаковы. По условию [c.56]

Идея вычисления вероятности того, что каждое измерение даст одно из этих значений, заключается в разложении функции вряд по собственным (взаимно ортогональным) функциям оператора, т. е. по функциям )1, г 2, 111п. Каждую из них надо умножить на какой-то коэффициент Си С , С так, что получится ряд [c.57]

Матричный элемент оператора А в его собственном предсгазлении имеет вид = Так как А = а Ч и собственные функции, соответствующие различным собственным значениям оператора, ортогональны, то, следовате а.но, А = а 3, ,, где — символ Кронекера. [c.89]

Основной целью квантово-механического рассмотрения металлов является расчет зонной структуры. Наиболее простым является приближение почти свободных электронов, в котором собственная функция разлагается по функциям плоских волн. Коэффициенты при этом разложении получаются на основе решения уравнения Шредингера с потенциалом свободных атомов. Для решения возникающих сотен линейных уравнений используются вычислительные машины. Медленная сходимость связана с тем, что вблизи сердцевины ионов волновые функции электронов проводимости имеют сильные осцилляции, отвечающие собственным функциям атомов. Чтобы их описать в рамках разложения по плоским волнам, нужно вводить в разложение большое число плоских волн. Положение существенно улучшается в методе ортогонализованных плоских волн. В этом методе функции, описывающие плоские волны, ортогонализируются по отношению к собственным функциям электронов внутренних оболочек ионов. Как указывалось, ортогональность функций в квантовой механике означает, что они разные . [c.644]

Собственные функции для одномерного гамильтониана, как и для любого эрмитова оператора, ортогональны, если они относятся к разным собственным значениям. Более того, в одномерных задачах функции, отвечающие финитному движению, всегда невырождены, т.е. каждому собственному значению прина длежит лишь одна собственная функция. Если же энергия такова, что она отвечает непрерывному спектру, то кратность вырождения не превышает двух. Эти два утверждения (как, впрочем, и ряд других, представленных ниже) следуют из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, и на доказательстве их мы останавливаться не будем, т.е. будем принимать как должное. [c.70]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология