Доверительный интервал в генеральной совокупности

Пример. Пусть генеральная совокупность обладает нормальным распределением с известным средним квадратическим отклонением ст = 3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочному среднему х = 4,0, если объем выборки и = 36 и задана надежность у = 0,95. [c.294]

Доверительный интервал для генеральной совокупности [c.6]

Таким образом, значение р=1/2 попадает в доверительный интервал. На этом основании можно сделать вывод о том, что наблюдаемая выборка не противоречит гипотезе о симметричности распределения генеральной совокупности случайной величины X. [c.78]

Если рассматривают не единичное отклонение, а арифметическое среднее и , вычисленное из п отклонений генеральной совокупности, математическая статистика показывает, что доверительный интервал в Уп раз уже гр а [c.140]

Если для оценки неизвестного параметра 0 мы определим вместо одного два значения А ж В таким образом, что здесь имеется вероятность 1 — а осуществления неравенства Л < Qдоверительными пределами, а интервал между ними является 100 (1 — а)%-ным доверительным интервалом. Так как вероятность того, что этот интервал не включает в себя 0, составляет а, то при обратном утверждении мы рискуем ошибиться на 100 а%. Следует подчеркнуть, что мы не утверждаем, что 0 имеет вероятность 1 — а для попадания в область между данными пределами. Значение 9 есть просто неизвестная постоянная, и поэтому мы не можем относительно нее сделать такого рода предположения. Любая статистическая характеристика является приближенной. Поэтому она может иметь определенный смысл лишь в том случае, когда указываются границы возможной погрешности оценки или, иначе говоря, указывается интервал, о котором с известной вероятностью можно утверждать, что он покрывает оцениваемое нами, вообще говоря, постоянное значение параметра. Предположим, например, что мы желаем по данным выборки оценить характеристику jt центра группирования нормальной генеральной совокупности, среднее квадратическое отклонение которой мы считаем известным. [c.656]

Разумеется, доверительный интервал несет в себе больше информации, чем просто значение оценки. Ширина доверительного интервала, определяемая выбранной доверительной вероятностью, характеризует степень возможной близости оценки к неизвестному параметру генеральной совокупности. Очевидно, что при заданном значении а ширина доверительного интервала уменьшается с ростом объема выборки. Однако поскольку скорость этого уменьшения невелика (в соответствии с зависимостью 1/ /п), на практике увеличение объема выборки сверх разумных пределов нецелесообразно достигнутое сужение доверительного интервала может не компенсировать затрат времени и средств, необходимых для выполнения дополнительных анализов . [c.431]

Задача интервального оценивания состоит в определении по данным выборки числового интервала, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно утверждать, что внутри интервала находится оцениваемый параметр. Точечные оценки не дают информации о точности конкретной величины. Интервальная оценка позволяет с высокой вероятностью искать истинное, но не известное значение параметра распределения генеральной совокупности. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений. Доверительный интервал наблюдения можно представить следующей зависимостью [c.262]

Пр имер 2. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п = 10 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение з = 0,16. Пайти доверительный интервал для аг с надежностью 0,999. [c.312]

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения генеральной совокупности определяется неравенством [c.238]

Средняя линия соответствует среднему качеству продукции, а следовательно, параметру // распределения. Если ошибкой метода анализа пренебречь, то среднее квадратичное (г как рассеяние отклика х, обусловленное производством, соответствует параметру (Тх определенного распределения. Для последующей оценки доверительного интервала надо проверить полученные данные на нормальность, т. е. на соответствие гауссову распределению. Это делают обычно графически (см. разд. 3.1) или с помощью вычислений (см. разд. 7.8). Представления такого типа, когда данные постоянно накапливаются, называются контрольными картами. При наличии нормальности распределения предполагают, что значения качества (и, следовательно, лежащий в их основе процесс) находятся в управляемом состоянии, пока значения Х (1) рассеиваются внутри границ /I Зсг(Р = 0,997) (или // 2,58<т и соответственно Р = 0,99). Появление значений выше или ниже этих контрольных пределов означает, что соответствующие данные с вероятностью Р больше не принадлежат генеральной совокупности с этими /I и сг. Многократное появление значений выше или ниже контрольного предела в каком-либо одном направлении дает повод к проверке стабильности производственного процесса. Подозрение о наличии систематических изменений возникает также тогда, когда [c.208]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

Рассмотрим построение доверительного интервала. Пусть из генеральной совокупности X с нормальным законом распределения Л Ои, о) и неизвестным среднеквадратическим отклонением а взята случайная выборка [c.30]

Для построения доверительного интервала необходимо знать распределение этой оценки. Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально, можно показать (например, используя свойство линейности нормального распределения), что х также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием т и средним квадратическим отклонением -/п. Тогда, используя функцию [c.41]

Толерантный множитель к определяется с таким расчетом, чтобы с доверительной вероятностью Р интервал с границами, определяемыми формулой (1-48), содержал заданную долю Ро генеральной совокупности случайных значений. Величины 7 , и Ур определяются по формулам [c.43]

Пр имер. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально с известным а = 0,40. Пайти по данным выборки доверительный интервал для а с надежностью 7 = 0,99, если п = 20, хв =6,34. [c.310]

Пр имер. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Пайти доверительный интервал для Хг с надежностью 7 = 0,99, [c.311]

Здесь ip,n — коэффициент Стьюдента, значения которого зависят как от числа вариант п (от числа выполненных определений), так и от доверительной вероятности Р. Доверительная вероятность представляет собой вероятность нахождения арифметического среднего й генеральной совокупности в пределах доверительного интервала нвы6 е- Чаще всего выбирают Р = 0,95 или Р = 0,99. Некоторые значения коэффициента Стьюдента приведены ниже [c.134]

Пр имер 1. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Пайти доверительный интервал для сгт с надежностью 7 = 0,95, если п = 20, 5 = 0,40. [c.311]

Величина доверительного интервала, который накрывает истинный параметр генеральной совокупности, характеризует точность оценки, а доверительная вероятность — ее достоверность. Предельная абсолютная ошибка е и доверительная вероятность а связаны соотношением [c.45]

Таким образом, л а, 5 я г а . Статистическую оценку приближенности этих равенств производим путем нахождения доверительных интервалов для экспериментальных величин х я з, т. е. таких наименьших интервалов, в которых с заданной надежностью будут определены а и а. Доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности вычисляем как [c.237]

Индекс в в обозначениях сводных характеристик показывает, что они относятся только к выборке. При распространении выборочных сводных характеристик на всю партию материала необходимо учитывать ошибки выборки. Непосредственное сравнение сводных выборочных характеристик с нормативами является формальным, так как сводные характеристики всей партии материала, или генеральной совокупности, Мг, Ог, стг и Сг могут отличаться от выборочных в пределах доверительного интервала, ограниченного ошибками выборки. При достаточно большом объеме выборок (п ЗО) доверительные интервалы приближенно можно определять по формулам [c.406]

В связи с тем, что рассматриваемая выборка из ограниченного числа измерений принадлежит генеральной совокупности,распределенной по нормальному закону, можно определить доверительный интервал, в который попадает среднее ари етическое значение данной выборки. Поскольку нас интересует только верхнее значение плотности тока, рассматривается правосторонний интервал [c.49]

Пусть генеральная совокупность обладает нормальным распределением с неизвестным средним квадратическим отклонением. Тогда для построения доверительного интервала для неизвестного математического ожидания а следует использовать такую с. в., распределение которой не содержало бы неизвестного параметра с. Такой является с. в., распределенная по закону Стьюдента с -1 степенью свободы. В этом случае доверительный интервал для математического ожидания имеет вид [c.294]

Решение. Поскольку а генеральной совокупности неизвестно, воспользуемся формулой (11.15) для нахождения доверительного интервала. По таблице (см. приложение 6) находим коэффициент Стьюдента I, соответствующий 5 степеням свободы и вероятности 0,95, т. с. = 2,57, и подставляем его в формулу (11.15) [c.298]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Значение Ахз составляет только /в от Дла прежде всего потому, что па = 8 и / = 7, но также и вследствие малого значения s,a. Эта величина и ее разброс около Хз явно не совпадают с si и S2 и их разбросом около Х] и Х2-Из третьей серии значений находят взаимосвязь между числом определений п, оценочной величиной — медианой х и средним арифметическим х для величины JJ, генеральной оовокупносги, а также диапазоном значений J и стандартным отклонением s для стандартного отклонения а гениальной совокупности. Кроме того, устанавливают зависимость величин п, t(P, f) я доверительного интервала Дл от п (табл. Д.40). [c.470]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Для проверки гипотезы о среднем значении и вычисления доверительного интервала в одномерном случае обычно используется статистика, получающаяся в результате деления разности между выборочным средним значением в и гипотетическим математическим ожиданием 0 генеральной совокупности на средкеквадратическое отклонение а. Если выборка произведена из совокупности (0, ), то величина [c.41]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология