Разложение функций в ряды по функциям Бесселя

Уравнение (1.68) является дифференциальным уравнением 2-го порядка с двумя независимыми решениями. Поскольку первое решение 1п х) найдено, второе ищем, предполагая, что р——п, и проверяя, является ли J-n(x) вторым решением. Подставляя р=—п в выражение (1.104), находим, что все разложения в ряд функции Бесселя 1-го рода записываются в виде [c.63]

После разложения в ряд функции Бесселя можно представить уравнение (5.219) следующими уравнениями [c.178]

Эта разность должна быть малой в точках круга некоторого радиуса рг. Определение коэффициентов вычислительной схемы из этого условия сводится к разложению частотной характеристики трансформации в ряды функций Бесселя первого рода нулевого порядка. [c.67]

Представляется интересным получить предельную форму условия-критичности (11.50) для очень тонких стержней Ъ—>0). Использование разложения в ряд Тейлора различных функций Бесселя и случае малого аргумента позволяет приближенно записать [c.543]

Чтобы удобнее было преобразовать эти выражения для потоков, целесообразно использовать разложения в ряд сингулярных функций. По теореме сложения функций Бесселя ыо/кпо написать (см. рис. 11.9) [c.547]

Используя разложение ехр [шо sin Qi/X] в ряд по функциям Бесселя выражение для потенциала поля можно преобразовать к виду [c.183]

Как и при нахождении весовой функции 2 1), для кп () можно вместо выражения (4.1.61) получить разложение в ряд по функциям Бесселя произвольного порядка п. Для этого при переходе к оригиналу в выражении (4.1.61) воспользуемся разложением (4.1.56) функции "- [ (р)] (при Ро = 0, а =/ 1 //ак, Ь — + Яз). Тогда для /гц (О получим [c.136]

Ранее при нахождении весовых и переходных функций кожухотрубчатого теплообменника, математическая модель которого учитывает тепловую емкость стенки, помимо точных аналитических выражений типа (4.2.30) и (4.2.32) были получены также разложения этих функций в ряды по функциям Бесселя. Аналогичные разложения в ряды нетрудно получить и для функций I) и [c.154]

Формулы (4.2.65) и (4.2.67) дают выражения для функций Т[ (х, /) и / б з(х, /) с помощью функции Бесселя /о(/) нулевого порядка. Кроме этих выражений можно получить для з(х, ) и 7 б /) разложения в ряды по функциям Бесселя 1пО) произвольного целого порядка. Делается это точно так же, как и ранее при выводе разложений (4.2.33), (4.2.34) для случая [c.170]

Можно получить также для Ли (О и /г 2(0 выражения в виде разложений в ряды по функциям Бесселя, Для этого нужно вместо соотношений (4,2,65), (4,2,67) использовать соотношения (4.2.68), (4.2.69). [c.172]

Функция Бесселя /2/1+1 (/1) определяется с помош,ью разложения в ряд [c.187]

Найденный в (47) ряд является разложением функции Бесселя мнимого аргумента (гл. XI). Таким образом, имеем [c.209]

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ [c.439]

Из сравнения равенств (1.87) и (1.85) следует, что коэффициенты являются коэффициентами разложения функции Ф(р)/о(р ) в ряд Фурье - Бесселя. [c.35]

У поверхности при 1 ) — О разложения функций Бесселя в ряды дают [c.244]

После несложных алгебраических преобразований получим разложение в ряд модифицированной функции Бесселя 1-го рода ге-го порядка / х) в виде [c.65]

Между тремя функциями Бесселя / (х), / (х), / +1 (х), индексы которых отличаются на единицу, существует простая линейная зависимость. Ее легко получить, исходя из разложения этих функций в ряды. Дифференцируя почленно ряд (3), получим [c.436]

При вычислении этих интегралов используется известное разложение в ряды по функциям Бесселя от мнимого аргумента [72] [c.106]

Учитывая первые члены разложения функции Бесселя в ряд, получим [c.93]

В качестве иллюстрации рассмотрим очень коротко типичный и хорошо развитый метод С-функций Барнета и Коулсона [8] (подробности этого метода изложены в [9, 10]). Общий интеграл электронного отталкивания включает четыре слейтеровские функции, каждая из которых содержит расстояния и углы для соответствующей ей локальной системы координат с центром на одном из ядер. Таким образом, интеграл, вообще говоря, оказывается четырехцентровым. Чтобы осуществить интегрирование, надо все локальные переменные и величину r 2 выразить через какие-то общие для всех центров координаты. Для этого можно, во-первых, записать 1/г12 в координатной системе с произвольным началом отсчета в виде некоторого бесконечного ряда, так называемого неймановского разложения (см., например, приложение 5 в книге [5]). Во-вторых, можно использовать тот факт, что функция вида (где — расстояние от точки Г1 до ядра Ь) может быть записана в системе координат с другим началом (например, а) в виде бесконечного ряда, состоящего из произведений сферических гармоник и так называемых С-функций — функций Бесселя мнимого аргумента и полуцелого порядка. Если выбрать начало координат в точке, отличной от любого из четырех фиксированных ядер, то после разложения всех сомножителей в указанные ряды подынтегральное выражение окажется произведением пяти бесконечных рядов. После такого преобразования легко теперь аналитически осуществить интегрирования по угловым переменным. Тогда после длинных преобразований мы сводим всю проблему к суммированию бесконечного ряда, каждый член которого содержит интеграл по двум радиальным переменным (г и Га) и умножается на некоторый числовой множитель, получаемый в результате интегрирования по угловым переменным. Вообще говоря, все интегралы, появляющиеся в этом ряду, должны рассчитываться численно. Хуже, однако, то, что сам ряд иногда сходится так плохо, что время, требующееся для расчета необходимого количества интегралов межэлектронного отталкивания, становится непомерно большим даже для самых быстрых вычислительных машин. [c.309]

Для очень малых значений х точная формула Ми упрощается, если использовать разложение в ряд по степеням д сферических функций Бесселя относительно коэффициентов Ми а и [c.179]

Видим, что (3-49) представляет собой разложение функции F(r) в ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности [c.89]

Соотношение (13) представляет собой разложение функции в ряд по функциям Бесселя. Для определения постоянных С воспользуемся тем же приемом, что и в предыдущей задаче, но предварительно докажем, что система функций Yl (ах), У х Jq (Ьх) является ортогональной. Введем обозначения [c.119]

Формз ла (VI.20) получена разложением в степенные ряды функций Бесселя, входящих в точное рещеиие для 2к и щренебрежением членами высшего порядка по параметру рсо /С. С помощью формулы (VI.20) по экспериментально оиределепной величине можно найти С, поскольку эта формула является квадратным уравнением с известными (и постоянными для каждой частоты) коэффициентами. [c.125]

Методы разложения в ряды Фурье—Бесселя и в ряды по сннк-фукциям имеют то преимущество перед обыкновенными рядами Фурье, что их амплитуды становятся исчезающе малыми на некотором расстоянии за пределами интервала измерений, но в то же время теряется понятие частоты. Разложение гравитационной аномалии (х, у) как функции двух пространственных координат иа сумму членов, взвешен11ых произведениями синк-функций, и.меет вид [c.453]

Для функций T x, t) и f g f) мы получили кроме выражений (4.2.30) н (4.2.32) также н разложения в ряды по функциям Бесселя (4.2.33), (4.2.34). Производя по формулам (4.2.37), (4.2.38) замену аргументов л и i в этих разложениях, можно получить выражения для функций hu t) и huit), аналогичные (4.2.43) и (4.2.44), в которые вместо ф[( ) и щ 1 ) будут входить ряды по функции Бесселя. Чтобы не загромождать изложение, эти представления для функций h t) и h 2 t) выписывать не будем. Исследуем общий вид функций hu t) и hn t). Поскольку функции Ф1( ) п fpa( 0 имеют запаздывание на величину l/w , то при [c.160]

Задачи, решаемые с помощью разложения функции в ряд по функциям Бесселя, рассматриваются в гл. XVII. [c.441]

Используя начальные т=0 0 = во и граничные условия (третьего рода) и разложение функции (1) в ряд Бесселя и ограничиваясь первым членом, так как ряд сходится достаточно быстро и подставляя г=0, определим относительную избыточную температуру в центре колонки 0осн В этом случае формула (1) приобретает вид [c.97]

В некоторых случаях может оказаться полезным разложение и по другим функциям. Например, произвольная функция / (/) может быть разложена в ряд по функциям Бесселя, который благодаря свое.му сходству с рядом Фурье называется р я д о м Фурье — Бесселя 1193]. Разложение в ряд Фурье — Бесселя тшло при.менение при изучении пространственных вариаций силы тяжес1и 11444]. Для этой же цели было использовано разложение на суммы членов вида (sin, v)/.v, где. v — пространственная координата 11427, 1447]. Эти разложения (см. раздел 10.2Л) и.меют то преимущество, чт<Гна некотором удалении от интервала наблюдения они дают бл)(зк 1е к нулю амплитуды в противоположность незатухающим амплитудам в случае рядов Фурье. Однако и в случае этих разложений понятие частоты теряется. [c.112]

Из этих рядов можно разложить функции в ряды Фурье -Бесселя и по косинусам на разных интервалах (О, р,), тогда как в рядах Шлемильха интервал разложения ограниченный и равен (О, л). При этом в рядах Фурье - Бесселя значение [c.60]

Следует отметить, что если представить граничные частоты в виде СОг = m/s, р, = ш,/5, где т, т, и s - некоторые постоянные числа, например, s - расстояние между пунктами наблюдений, то при соответствующем наборе чисел ш и т, с использованием выражений (2.19)-(2.24) можно получить вычислительные схемы, не уступающие по точности ныне существующим и применяемым на практике. Например, при ти, = = 2,236 из. выражения (2.23) можно получить формулу, которую можно сравнить с вычислительной схемой А.К. Малович-ко. При (О, = л/Ах и Н = Ах выражение (2.25) определяет формулу Рейнбоу двухмерного случая. Его же вычислительная схема трехмерного случая получается при разложении функции ехр(рЯ) в ряд Фурье - Бесселя. [c.62]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология