Переходные функции

Рис. 6.4. Функция отклика объекта на единичное ступенчатое воздействие Рис. 6.5. Переходные функции в полулогарифмическом масштабе

Рис. 6.3. Переходные функции в полулогарифмическом масштабе

Таким образом, для определения правила действия оператора А на любую функцию (/) (т. е. для определения реакции объекта на любое входное возмущение) достаточно знать действие этого оператора на o t — т). Функция G t,x), характеризующая оператор А (соответственно, и технологический объект, описываемый оператором Л), называется весовой, или импульсной переходной, функцией. Для любого линейного объекта выходная функция v t) определяется по входной функции u t) и весовой функции по формуле (2.2.43). Физический смысл весовой функции состоит в том, что G(t,x) определяет, какой вклад в значение выходной функции V в момент времени i дает значение входной [c.60]

Испытательные воздействия делятся на апериодические и периодические. К первым относятся следующие сигналы ступенчатая функция ударная волна прямоугольный импульс. Эти воздействия применяют для снятия переходных функций с промышленных объектов. [c.25]

Применяя уравнения (111,53) и (111,54) для случая ступенчатого входного воздействия (jl = 1/р), можно найти коэффициенты передачи и значения переходных функций при т 0. Вычислим пределы некоторых из рассматриваемых функций. Из уравнения (111,336) непосредственно следует [c.95]

Далее переходная функция аппроксимируется решением дифференциального уравнения с заранее заданной структурой. [c.25]

Затем строим переходную функцию в полулогарифмическом масштабе. Для облегчения построения используем десятичные логарифмы и получаем следующие выражения Ig [/с—f (i)]= lg i+0,434 pi. [c.319]

На рис. 6.3 показана переходная функция (кривая 1) Ig [/с—F (t)] в полулогарифмическом масштабе. [c.319]

Решением этого уравнения является переходная функция [c.105]

Систематически изложены методы исследования динамики процессов химической технологии. Приведены примеры использования этих методов для решения практических задач. Рассматриваются методы теоретического и экспериментального получения передаточных, весовых и переходных функций технологических объектов, а также методы определения параметров математических моделей процесса по экспериментальным переходным кривым. [c.2]

С помощью весовой функции G t,x) линейный оператор А представлен в виде интегрального оператора. Соотношение (2.2.47) [или более общее соотношение (2.2.43)] можно рассматривать как доказательство утверждения о том, что любой линейный оператор представим в виде интегрального оператора общего вида. Это утверждение играет большую роль в теории линейных операторов оно позволяет свести исследование линейного оператора А к исследованию импульсной переходной функции G t,x). [c.61]

Переходная функция. Наконец, рассмотрим еще один вид представления (2.2.33). В качестве РЦ,х) возьмем параметрическое семейство ступенчатых функций — т). Функция определяется следующим образом [c.66]

Функция Н 1,%) =А(% 1 — т) называется переходной функцией объекта. Она представляет собой реакцию объекта на входное ступенчатое возмущение, подаваемое в момент времени — т. С использованием переходной функции Н 1,х) (2.2.64) можно записать в виде [c.66]

Для переходной функции реальных технологических объектов выполнено условие, аналогичное условию (2.2.45) для весовой [c.66]

Интегральные представления (2.2.46), (2.2.56) и (2.2.67) для правила действия линейного оператора А являются частными случаями (2.2.34). В принципе можно построить множество других представлений, которые будут частными случаями (2.2.34) и получающихся при выборе более сложного вида параметрической системы функций Р(/, т) в (2.2.33). Однако все такие представления будут слишком сложны из-за трудности отыскания функции s(t), необходимой для построения исходного представления (2.2.33). Поэтому при исследовании динамики технологических процессов применяют только интегральные представления с использованием весовой функции G t, т), частотной характеристики F(i, ш) [или параметрической передаточной функции F t,p) и переходной функции Эти функции в дальнейшем будем называть ха- [c.67]

Чтобы закончить рассмотрение функций G t,r), F(t,p) и характеризующих линейный объект и его оператор, выведем соотношения, связывающие переходную функцию H t,%) с частотной характеристикой и весовой функцией. Сначала выразим весовую функцию G t, т) через переходную. Для этого представим b t — т) в виде предела последовательности функций бю, ai(i — т) 6(i—т) == [c.67]

Аналогично получаем, что и переходная функция Н(1,т) будет для стационарного объекта зависеть только от разности t — x, т. е. [c.69]

Переходная функция реальных объектов также подчиняется условию h(t) =0 при t < 0. [c.69]

Соотношения (2.2.74) и (2.2.76), связывающие передаточную функцию с весовой и переходной функциями, очень часто используются при описании стационарных объектов. Они позволяют по одной из функций W p), h t) или g t) найти две другие. Как правило, исходной, наиболее просто определяемой, является передаточная функция W p). [c.70]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Рис. 2.4. Переходная функция h t) линейного стационарного объекта. Величина заштрихованной площади равна значению инерционности процесса.

Приведем простой пример определения весовой, передаточной и переходной функций для простого химико-технологического объекта, описываемого одним обыкновенным дифференциальным уравнением. Пусть имеется реактор идеального перемешивания (рис. 2.5), в который с объемной скоростью L поступает жидкость с растворенным в ней трассером — веществом, которое химически не взаимодействует с другими веществами и используется при исследовании структуры потоков в аппарате. Обозначим концентрации трассера на входе в аппарат и на выходе из него, соответственно, через Сах(<) и Свых(0, объем жидкости в аппарате — через V. Расход жидкости L будем считать постоянным. [c.73]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

Здесь р), Яг,(О, /( ) —передаточная, весовая и переходная функции по каналу ш 1) /( ). [c.77]

Чтобы получить переходную функцию оператора, задаваемого уравнением [c.83]

Аналогично можно получить весовую и переходную функции для более общего случая, когда оператор задан уравнением [c.83]

Рассмотрим конкретный пример применения полученных при = 1, т — О формул для весовой и переходной функций. Пусть уравнение (3.1.6) имеет вид [c.84]

Передаточная функция стационарного объекта, описываемого уравнением (3 1.1), является дробно-рациональной функцией вида (3.1.35). Поскольку для дробно-рациональных функций переход к оригиналам осуществляется весьма просто, выражение (3.1.35) часто используют для определения весовой и переходной функций стационарного объекта. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для определения весовой функции g(t) требуется применить обратное преобразование Лапласа к функции W p), а для определения переходной функции h(t) — K функции W p)/p. Необходимо разложить дробно-рациональные функции W (р) и р)/р на простейшие дроби и осуществить переход к оригиналам в каждом слагаемом. [c.92]

Осуществив переход к оригиналу в каждом слагаемом правой части, получим выражение для переходной функции [c.93]

Для получения переходных функций необходимо рассматривать реакцию объекта на введение ступенчатой функции х( )- Например, переходные функции и /112(0 являются решением системы уравнений [c.95]

После того как определены передаточные функции объекта, их можно при необходимости использовать для нахождения весовых и переходных функций по формулам (2.2.87). Для этого нужно разложить дробно-рациональные функции ц р) и ц р)/р на простейшие дроби и перейти от изображений к оригиналам. Наибольшие затруднения возникают при отыскании корней полинома Ф(р), стоящего в знаменателе дробно-рациональной функции H i (p), поскольку этот полином обычно имеет большой порядок. [c.96]

После построения передаточной функции стационарного объекта можно определить и другие его характеристики весовую и переходную функции. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для их нахождения нужно применить обратное преобразование Лапласа к функциям р) и р)/р. [c.101]

Например, в рассмотренном выше примере весовая и переходная функции легко определяются из соотношения (3.2.21). Действительно [c.101]

Уравнение (3.2.16), полученное из исходного уравнения (3.2.13) в результате применения преобразования Лапласа, легко решается, и передаточная функция (3.2.21) имеет очень простой вид, что позволяет полностью описать действие оператора на произвольную входную функцию и без труда найти весовую и переходную функции. В том случае, когда исходное уравнение, с помощью которого задается оператор объекта, является более сложным, чем (3.2.13), новых принципиальных трудностей в определении [c.101]

Весьма трудную задачу в этом случае представляет также нахождение весовой функции g t] и переходной функции Я(/), которые являются оригиналами функций W(p) и р) р, соответственно. В следующем разделе будут рассмотрены некоторые методы, позволяющие решить эту задачу. [c.103]

Как правило весовые и переходные функции непосредственно из математической модели определить не удается, поскольку для их нахождения необходимо решать краевую задачу для системы [c.103]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Сравнение расчетных переходных функций с экспериментальными динамическими характеристиками проводили на лабораторной и промышленной установках. Лабораторная установка представляла собой насадочную колонну диаметром 150 мм, заполненную кольцами Рашига размерами 15x15x2 мм на высоту 1 м. В качестве двухфазной системы использовали систему воздух-вода. Диаметр промышленной колонны составлял 2,4 м насадкой служили керамические кольца Рашига размером 60x60x8 мм высота слоя насадки составляла 12 м. Давление в колонне 29— 31 атм температура газовой фазы 50—60° С температура жидкости 6—10° С. Для лабораторного и промышленного аппаратов получено удовлетворительное совпадение экспериментальных и расчетных динамических характеристик (см. рис. 7.22). На рисунке отчетливо виден характерный скачок по величине ДР, наблюдающийся в момент подачи возмущения по расходу газа и характеризуюпщй практически мгновенный переход системы в промежуточное состояние т[. После указанного скачка картина переходного процесса по каналу 2 аналогична процессу, наблю- [c.414]

Отметим, что использование разложений (3.3.1), (3.3.2) весовой и переходной функций, полученных с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции, целесообразно при численном расчете значений g(t) и h t). В качестве функций фя(0 и фигурирующих в разложениях (3.3.1) и (3.3.2), [c.109]

При снятии переходных функций испытательный сигнал наносится вручную или о помощью резкого изменения регулирующего органа исполнигельного механизма. [c.25]

Онределение коэффициентов передачи колонны при изменении нагрузки (по газу или жидкости) по соответствующим передаточным функциям с помощью предела осложнено тем, что при р -> О получается неопределенность тина 0/0. Применение правила Лопи-таля в данном случае весьма затруднительно из-за сложности исходных выражений. Однако предельные значения переходных функций можно найти из решения нелинейной системы уравнений, написанной для нового установившегося состояния, т. е. для времени т оо [c.95]

На рис. 6.3 показана переходная функция (кривая 3 Ig [k—F (г)—4,1е"> 1 ] в полулогарифмическом масштабе. При построении надо иметь в виду, что логарифмируется абсолютное значение функции, а знак постоянной определяется из рассмотрения функции до ее логарифмирования. Из графика (рис. 6.3) видно, что функция [c.319]

Основная задача изотермической динамики адсорбции в неподвижном слое адсорбента была сформулирована академиком М. М. Дубининым [6] и заключается в предвычисленин основных функций процесса динамики адсорбции (L, t) и a(L, t) на основе знания уравнения изотермы адсорбции и основных коэффициентов уравнения кинетики. Задача определения параметров изотермы ТОЗМ и эффективных коэффициентов внутренней диффузии на основе минимального экспериментального материала решена нами в предыдущих разделах. Здесь рассмотрим математическую модель однокомпонентной изотермической динамики адсорбции в неподвижном слое зерен адсорбента для реальных сорбционных процессов. Вообще, как и при моделировании любых физических процессов, в динамике адсорбции принято использовать модели различной сложности в зависимости от поставленной цели. Цель нашей работы — получение аналитических решений системы уравнений, описывающих реальный динамический процесс в системе адсорбируемое вещество — адсорбент как в линейной, так и нелинейной области изотермы с учетом различных размывающих эффектов. Аналитические решения позволят сравнительно легко проанализировать зависимость процесса от основных физико-химических параметров, определяющих равновесные и кинетические свойства системы, а также переходные функции процесса. Математическая модель однокомпонентной динамики адсорбции в неподвижном слое зерен адсорбента включает следующие основные уравнения. [c.58]

Весьма важной характеристикой стационарного объекта является переходная функция h t). По определению она представляет собой выходную функцию объекта, на вход которого подано воздействие в виде ступенчатой функции х(0. т. е. когда на входе объекта в момент t = О пронзощел скачок входного воздействия от нуля до единицы. Таким образом, /г(<) описывает процесс перехода объекта из стационарного режима работы, соответствующего u t) О, в стационарный режим работы, соответствующий и(0 = 1 (рис. 2.4). [c.72]

Рзделив обе части уравнения на а 1), сведем его к уравнению (3.1.3). Тогда весовая и переходная функции будут, соответственно, иметь вид [c.84]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология