Фурье комплексные ряды

Комплексные ряды Фурье. Приведенные выше формулы громоздки в обращении, поэтому для удобства в работе с ними лучше выразить сигнал 5г через коплексные амплитуды 5 [c.39]

I Кинетические закономерности некоторого физического процесса (в частности, экстрагирования или растворения), можно представить функцией / (т), которую можно разложить в ряд Фурье комплексной формы [c.174]

Ряды Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Комплексная форма, ряда Фурье. [c.152]

Равенство (1.18) представляет собой прямое преобразование Фурье. Аналогичный предельный переход Т -> оо), выполненный по отношению к комплексной форме ряда Фурье (1.16), дает зависимость [c.21]

Важность изложенного здесь математического аппарата для теории релаксационных явлений объясняется следующими соображениями. Пусть в формуле (3.10) u t) равна вещественной части выражения uoe линейность отклика по отношению к воздействию (в форме, например, (3.2)) позволяет вводить в рассмотрение комплексные амплитуды, и, кроме того, наряду с чисто гармоническим воздействием рассматривать любую линейную комбинацию таких воздействий в виде ряда или интеграла Фурье. Тогда [c.114]

Уравнения типа [16] не раз были предметом математического анализа, причем, применяя ряд преобразований, их нетрудно привести к виду, легко поддающемуся решению. В частности, для таких уравнений нередко получают решение в виде интегралов Фурье или функций комплексного переменного. [c.100]

Обычно, однако, в качестве весовой функции берутся не структурные факторы, а структурные амплитуды Р. В четвертой части (второй том) подробно рассматривается физическое содержание этого понятия. Здесь достаточно сказать, что структурная амплитуда является комплексной величиной, зависящей как от амплитуды, так и от фазы соответствующего дифракционного луча. Обратная решетка с такой весовой функцией удобна для математических преобразований при изложении различных теоретических аспектов структурного анализа. В частности, при помощи обратной решетки может быть изложена теория разложения электронной плотности в ряды Фурье. Однако для конкретного кристалла, структура которого еще не исследована, обратная решетка в таком виде не может быть построена, так как для определения начальных фаз отраженных лучей требуется дальнейшая обработка экспериментальных данных. [c.315]

Предполагается, что читатель знаком с основами анализа, рядами Фурье и теорией функций комплексного переменного. Кроме того, считается, что читатель знает, что такое частотная характеристика линейной системы, и знаком с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики. Однако для большей полноты в первых двух главах книги дается краткий обзор этих вопросов. Основные принципы корреляционного и спектрального анализа наблюдений изложены в гл., 3. Традиционные методы анализа одномерной линейной системы и методы оценивания ее характеристик детально описаны в гл. 4 и 5. Здесь рассмотрены обычные функции когерентности, когерентные спектры, влияние обратной связи и помех на входе и выходе системы на оценки параметров, использование зондирующих сигналов и методы оценивания частотных характеристик. [c.8]

Нередко в теории рядов Фурье используются и две другие формулы, которые непосредственно следуют из простых тригонометрических соотношений и из элементарной теории комплексных чисел. Первая формула имеет вид [c.18]

Если функция x t) действительная, ее ряд Фурье можно представить в комплексной форме как для положительных, так и для отрицательных частот. В частности, коэффициенты Л комплексные [c.19]

Ароматич. гетероциклич. соединения, напр, тиофен, удовлетворительно сульфируются серной к-той, однако многие из них при этом осмоляются. Для сульфирования соединений ряда фурана, пиррола, индола и др. применяют комплексно связанный серный ангидрид. Парафиновые углеводороды устойчивы к действию обычных сульфирующих агентов. Высшие парафины (от гексана) сульфируются 15%-ным олеумом при их темп-ре кипения, причем одновременно они окисляются. Значительно легче сульфируются углеводороды при совместном действии сернистого ангидрида и кислорода. Процесс имеет радикальный характер и поэтому ускоряется, напр., при облучении УФ-светом [c.555]

Аналогично функции Pn(t) являются коэффициентами ряда Фурье в комплексной форме для функции Z t, т) [c.27]

В этом случае ДПФ ар(п) последовательности х Ш) дает комплексные коэффициенты ряда Фурье периодической функции х () и это обстоятельство может быть использовано для их вычисления. [c.141]

Функция F t) описывает непрерывный спектр ЯМР. Автокорреляционную функцию можно приближенно представить в виде ряда и вычислить непосредственно по определяющей формуле. Однако расчеты удобнее проводить, если эту функцию вычислять по этапам в следующей последовательности 1) выполнить преобразование Фурье для функции F t), чтобы найти функцию G(x) 2) умножить функцию G(x) на комплексно сопряженную ей функцию, чтобы получить спектр мощности G(x) исходной функции 3) обратным преобразованием Фурье по найденному спектру мощности G(x) найти автокорреляционную функцию. Эту процедуру из трех этапов удобно выполнять при помощи алгоритма БПФ. В задачу данного исследования входила проверка возможности сокращения таким путем размерности векторов образов, т. е. возможности отбора признаков. [c.158]

Отсутствие в соединении атома, легко фиксируемого благодаря преобладающему участию в рассеянии рентгеновских лучей, значительно уменьшает возможности исследования структуры на первых его стадиях. Главная трудность заключается в отсутствии разумных оснований для выбора фазовых коэффициентов или знаков структурных амплитуд при построении ряда Фурье первого приближения. К кристаллохимическим данным приходится прибегать уже на этой сравнительно ранней стадии исследования. Принципы плотнейшей упаковки молекул—в случае чисто органических кристаллов, плотнейшей упаковки шаров—в случае ионных кристаллов, плотнейшей упаковки комплексов и ионов внешней сферы—в случае комплексных соединений—часто позволяют найти одну или несколько правдоподобных моделей структуры. Иногда определенные соображения о размещении атомов могут быть высказаны, исходя из оптических, магнитных и других свойств кристалла. Расчет фаз дифрагированных лучей (или знаков структурных амплитуд при наличии центров инверсии) на основе этих данных позволяет построить ряд первого приближения. Распределение электронной плотности, получаемое в результате суммирования ряда, должно либо подтвердить, либо отвергнуть предполагаемую модель структуры. Если модель была в общих чертах правильна, расположение максимумов будет ей соответствовать, и дальнейшая работа заключается лишь в уточнении координат атомов путем перерасчета фаз и повторных построений ряда. Неправильность исходного варианта структуры обнаруживается при наличии резких разногласий между предполагаемыми координатами атомов и расположением максимумов электронной плотности. Может оказаться, что распределение электронной плотности, полученное в результате суммирования первого ряда, является настолько размытым, что не позволяет категорически подтвердить или отвергнуть структуру. В этом случае решение дается после построения нескольких повторных рядов. В случае правильности исходной модели последовательные приближения должны выделять структуру все более четко. В противоположном случае повторные построения рядов не приводят к положительному результату. Взятый за основу вариант строения кристаллов приходится отвергнуть и все расчеты производить снова, исходя из иного предположения о структуре. [c.515]

Используем формулу (5.Д.З) при обсуждении поверхности сечения. Чтобы провести усреднение по Шз, разложим Яг в ряд Фурье по ы/д. В комплексных обозначениях ряд будет иметь вид [c.287]

Упомяну еще о написании действительного ряда Фурье в комплексной форме. [c.36]

Это — изящная запись в комплексной форме обычного ряда Фурье, представляющего действительную функцию. [c.36]

Как показано в Дополнении 13.1, синусы и косинусы можно представить в виде комплексных экспонент. Поэтому приведенный выше ряд Фурье можно переписать в виде [c.315]

Аналогично функцию f (t) можно разложить для j/ < 1 в ряд Лежандра [193]. Разложение по многочленам Лежандра как один из видов обобщенного Фурье-аиализа предложен в [5Й1. Как уже отмечено в разделе 2.5.1, разложение функции по сферическим гармоникам имеет особую ценность для геофизики. Кроме того, нужно учитывать, что комплексное преобразование Фурье, рассмотренное выше, является всего лишь одним случаем пз довольно большого числа различных интегральных преобразований (193]. [c.112]

Ряд Фурье может быть также записан в комплексной форме следуюш.им образом [c.14]

Емкость Уг располагаем в непосредственной близости от приемного фланца компрессора. При этом скорость 2 можно с достаточной точностью считать постоянной на участке емкость - компрессор. Эта скорость для компрессора любого типа может быть выражена рядом Фурье в комплексной форме [c.35]

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области Будет показано, что обсуждав-наяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных компонент в двух рядах на определенной частоте Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8 1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса. [c.98]

IV. Методы, основанные на применении функци1 комплексного переменного. Решение интегрального уравнени [4,2] или эквивалентного ему уравнения [10] в строгой форме може быть получено при помощи преобразований Фурье, Лапласа или Мел лина. Уравнение [10] представляет собой известное уравнение Лапласг ряд решений которого приводится в специальных руководствах. [c.306]

Ди- и моноалкилалюминийалкоксиды образуют с гидридом натрия комплексные соединения стабильность последних понижается в ряду АШз (К0)2АШ>Н2АЮН [153]. Однако при реакции гидрида натрия с диэтилалюминийэтоксидом в среде тетрагидро-фурана получается стабильный комплекс. [c.49]

Судя по тому, что в ряде превращений тиофена, фурана и их гомологов, происходящих в присутствии катализатора типа катализаторов Фриде-ля— Крафтса, разрыва цикла пе происходит, можно полагать, что при полимеризации указанных гетероциклических соединений в присутствии комплексного металлоорганического катализатора циклы сохраняются. В пользу этого говорит и весьма высокая температура разложения этих полимеров. Эта точка зрения соответствует в известной мере и представлениям Майзоля и Джонсона [3], которые тримеру тиофена, образующемуся в присутствии кислых катализаторов, приписывают строение [c.230]

Рассмотрим однокомпонентный действительный процесс У (О в некотором фиксированном интервале О < t Т. Каждая реализация У ,(1) является обычной функцией времени и может быть разложена в ряд Фурье в этом интервале. Чтобы избежать комплексных коэфО)ициентов, мы используем синус-преобразование Фурье [c.64]

Задача об апроксимации функций тригонометрическими полиномами. Теорема Фурье. Исторические замечания о понятии функции. Класс функций, разложимых в ряд Фурье. Метод комплексных величин когда можно и когда нельзя его применять. [c.26]

Коэффицнеиты и Ь называются коэффициентами ф у р ь е, а их вычисление — Фурье-анализом или гармоническим а н а л и з о м и в более специальном варианте — анализом волновых форм Разложение (1) выполняется для всех видов функций / (/), удовлетворяющих условиям Дирихле, безразлично вещественных или комплексных. Соответствующие козф( )ициенты Фурье будут также веществен tы ш или комплексными. У физического временного ряда, аналогичного геофизической записи, / (/) — вещественная [c.37]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология