Методы определения экстремумов функций многих переменных

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

Пример У1-3. Определение экстремума функции многих переменных методом наискорейшего спуска. [c.219]

Аналитические методы сводятся к непосредственному определению параметров точки экстремума функции многих переменных. Легко установить необходимые условия экстремума. Если изменять только один из X, например х- , то у будет функцией только одной переменной с экстремумом в точке х = Х - Но в этой точке производная у по х, должна обратиться в нуль. Следовательно, для функции многих переменных необходимые условия экстремума запишутся в виде [c.177]

Применение метода наискорейшего спуска (подъема) в экспериментальных исследованиях для определения оптимальных условий осуществления процесса рассмотрено в главе I. Определение экстремума функции многих переменных, когда эта функция находится не в результате эксперимента, а при расчете по математическому описанию, рассмотрим на примере расчета констант скоростей по результатам эксперимента. [c.219]

Все указанные недостатки приводят к выводу о том, что использование классического метода определения экстремумов функции многих переменных для решения задач оптимизации параметров адсорбционных установок или отдельных элементов является неэффективным, поскольку 1) оно сводит первоначально поставленную задачу отыскания экстремума к таким вторичным задачам, которые оказываются не проще исходной, а зачастую и сложнее 2) при этом возникает необходимость в значительном изменении условий постановки адсорбционной задачи, искажающем ее сущность. [c.124]

Минимизацию функции Ф можно выполнить одним из методов определения экстремума функции многих переменных (см. стр. 139). Принципиально выбор параметров модели может быть сделан для какой-либо одной совокупности переменных г (А = 1,.. п). При этом найденное минимальное значение Ф служит количественной оценкой корректности принятой структуры уравнений математической модели. [c.135]

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [c.59]

Определение экстремальных точек функции многих переменных для весьма важного случая наличия дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами может быть осуществлено с использованием классического математического метода множителей Лагранжа. Пусть имеем функцию цели хг, Хп), экстремум которой требуется найти, причем имеют место дополнительные условия [c.124]

На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции многих переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по сфере его применения. Во-первых, при большом числе оптимизируемых параметров рассматриваемый метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений (3.1.1). Задача решения системы уравнений (3.1.1) только в простейших случаях оказывается легко разрешимой. В практических задачах оптимизации адсорбционных установок число переменных Х1, как правило, велико. Во-вторых, условие определения экстремума, выраженное зависимостью (3.1.1), является необходимым, но недостаточным для решения задачи. В самом деле, выражение (3.1.1) определяет положение стационарных точек внутри области, среди которых кроме экстремальных могут быть особые точки типа седла . Учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является весьма сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане [51—53]. В-третьих, рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений аргументов. Между тем, как показывает соответствующий анализ, многие параметры и характеристики адсорбционных установок имеют свои оптимальные значения именно на границах допустимой области их изменения. Следовательно, требуется дополнительный анализ значений минимизируемой функции 3(х, х2.....х ) на границах допустимой области изменения параметров хи Х2,. . Наконец, четвертый недостаток рассматриваемого метода состоит в ограниченности его применения классом задач, в которых оптимизируемые параметры, определяющие значение минимума или максимума функции, независимы, т. е. хи Х2,. .., х [c.123]

Таким образом, задача определения констант и Q в обоих слу-чаях сводится к математической задаче нахождения экстремума функции многих переменных. Для решения этой задачи можно применять те же самые методы,что и для расчета оптимальных режимов работы каталитических реакторов. [c.86]

Рассмотрим градиентный метод для простейшего случая определения экстремума функции многих переменных 3(л ь Хг,..., Хп) при отсутствии каких-либо ограничений. Процесс оптимизации по методу градиента заключается в определении направления наискорейшего изменения функции 3 и в некотором перемешенин по этому направлению в прямую или обратную сторону. Направление наискорейшего изменения функции определяется направлением вектор-градиента оптимизируемой функции, которое всегда совпадает с направлением возрастания функции. Компонентами градиента дЗ/дХ° в какой-либо точке рассматриваемой области, заданной параметрами (л °, х°,. ... л °), являются частные производные функции д31дх°, дЗ дх, д31дх°. Отметим, что градиент дЗ/дХ° всегда перпендикулярен к поверхности равных значений функции 3 в рассматриваемой точке. [c.128]

Первый подход. Задача оптимизации, сформулированная как задача определения условного экстремума функции многих переменных, сводится к задаче на безусловный экстремум с помощью метода уровней (см. главу V). Целевая функция в данном случае будет иметь [c.306]

Непрямые методы, как было сказано выше, основаны на определении условий оптимальности. В первую очередь к ним относится метод неопределенных множителей Лагранжа — классический метод отыскания условного экстремума функции многих переменных при наличии ограничений, заданных равенствами [c.24]

Методы слепого поиска. Сущность решения задач на определение экстремума функции многих переменных 3(ХиХ2,. ... Хп) с помощью методов слепого поиска заключается в организации просмотра (в определенном порядке или случайным образом) допустимой области изменения оптимизируемых параметров X и сравнении соответствующих значений функции 3. При этом информация о функции 3, полученная в результате какого-либо варианта расчета, используется при последующем расчете лишь в ограниченном объеме, а само определение экстремального значения функции 3 не сопровождается последовательным улучшением промежуточных результатов. [c.125]

Рассматривается применение метода поиска экстремума функции многих переменных к определению констант скоростей химических реакций. Функцией многих переменных в данном случае является сумма квадратов отклонении экспериментальных значений концентраций от расчетных, а аргументом — значения констант. Метод проиллюстрирован на примере поиска констант скоростей для целевой стадии процесса сопряженного окисления ацетальдегида и циклогексанона кислородом воздуха. Полученные расчетные значения концентраций близки к экеперимент.чльным. [c.96]

Таким образом, задаче определения констант Ki, Q.i в обоих случаях сводится к математической задаче нахождения экстремума функции многих переменных. Для решения подобных задач в последнее время болкпое применение получили методы нелинейного программирования /2/, /3/, /4/, /5/. Остановимся на них под юбнее. [c.425]

Непрямые методы основаны на предварительном определении условий оптимальности и дальнейшем приближении к ним. К их числу относятся, например, метод определения условного экстремума функции многих переменных, применяемый в классическом анализе2 , и дискретный принцип максимума . Эти методы требуют большой осторожности при постановке задачи и проверки достаточных условий. Непрямые методы не всегда приводят к глобальному экстремуму. [c.22]

Метод же сопряженного процесса, при применении которого отсутствуют неточности, обусловленные итеративным подбором неизвестных переменных, оказывается свободным от рассмотренных выше осложнений (наподшим, что сопряженный процесс описывается линейными уравнениями и расчет его в случае замкнутой с. х.-т. с. сводится к решению систем линейных уравнений, которое в большинстве случаев на современных вычислительных машинах может быть осуществлено с достаточной точностью). Отметим при этом, что для многих методов поиска экстремума функций (таких, например, как в работе [7]) вопросы точности определения градиента критерия оптимизации весьма важны. [c.167]