Экстремумы функций мног,1 переменных

Математическое описание каталитического крекинга в движущемся слое использовано для определения режимов действующей установки, максимизирующих выходы бензина и суммы светлых углеводородов. Для поиска оптимума использовали программу поиска экстремума функции многих переменных [1]. При поиске подбирали следующие режимные показатели производительность установки, температуру сырья на входе в реактор, температуру катализатора на входе в реактор, циркуляцию катализатора. Подбор осуществляли внутри диапазонов, определяемых технологическими ограничениями по производительности 35—50 т/ч, температуре сырья на входе в реактор 455—490°С, температуре катализатора на входе в реактор 480—530°С и кратности циркуляции катализатора 75—110 т/ч. Результаты расчетов поиска оптимальных условий выходов бензина и суммы бензина и дизельного топлива приведены в табл. 19. [c.142]

Сравнение методов Зайделя — Гаусса, симплексного и других показывает, что для поиска экстремума функции многих переменных эффективен лишь активный поиск по наиболее короткому пути от исходной точки к экстремальной области- Такой поиск в общем случае разбивают на следующие три этапа [c.186]

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

Экстремумы функций многих переменных [c.92]

Особые точки и линии целевой функции. Как известно (см. главу 111), необходимым условием экстремума функции многих переменных является выполнение системы равенств [c.484]

Аналитические методы сводятся к непосредственному определению параметров точки экстремума функции многих переменных. Легко установить необходимые условия экстремума. Если изменять только один из X, например х- , то у будет функцией только одной переменной с экстремумом в точке х = Х - Но в этой точке производная у по х, должна обратиться в нуль. Следовательно, для функции многих переменных необходимые условия экстремума запишутся в виде [c.177]

Существует большое число модификаций градиентного метода поиска экстремума функций многих переменных, учитывающих искривление поверхности градиента или то, что при попадании на гребень ( овраг ) движение по градиенту оказывается медленным и неустойчивым. Данные о применении этих методов для расчетов равновесных составов имеются в обзорных работах [15—-17]. [c.110]

Следует подчеркнуть, что для поиска условного экстремума функции многих переменных метод штрафов более экономичен, чем метод множителей Лагранжа, так как, во-первых, не приходится увеличивать число подбираемых величин и, во-вторых, он применим к более широкому классу функций. [c.194]

Пример У1-3. Определение экстремума функции многих переменных методом наискорейшего спуска. [c.219]

Другой возможный метод нахождения решения нелинейной системы (У.1) заключается в переходе к поиску экстремума функции многих переменных. Если ввести такую функцию Р, что [c.144]

Задача поиска экстремума функции многих переменных, заданной уравнением у = 1 х, ), значительно сложнее, [c.184]

Поисковые методы экстремума функции многих переменных принято делить на локальные и нелокальные. Первая группа [c.184]

Применение метода наискорейшего спуска (подъема) в экспериментальных исследованиях для определения оптимальных условий осуществления процесса рассмотрено в главе I. Определение экстремума функции многих переменных, когда эта функция находится не в результате эксперимента, а при расчете по математическому описанию, рассмотрим на примере расчета констант скоростей по результатам эксперимента. [c.219]

Довольно просто можно обобщить рассматриваемую процедуру стохастической аппроксимации на случай поиска экстремума функции многих переменных. Такой поиск можно осуществлять обычным градиентным методом. Его итерационная процедура для детерминированного поиска охарактеризована выше (стр. 189). При стохастической аппроксимации выбор величин х- ,. .., х па шаге п + 1 поиска проводится по соотношению вида (VI.23) для каждого из X. [c.198]

Уже отмечалось, что производные 1 по х ж х можно найти методами численного интегрирования. Решение последней системы относительно величин х во всех промежуточных точках экстремали дает решение вариационной задачи. Хотя такое решение достаточно сложно (см- поиск экстремума функции многих переменных), оно требует меньших затрат машинного времени, чем решение краевой задачи. [c.214]

Подчеркнем, что при поиске экстремума функции многих переменных последовательность поиска остается той же. Вначале по точкам I и а, находят вектор А . [c.223]

Основной идеей прямых вариационных методов является сведение задачи о минимизации функционала к задаче нахождения экстремума функции многих переменных. Для этого представим за- [c.242]

Математическое описание каталитического крекинга в движущемся слое использовано для определения режимов действующей установки, максимизирующих выходы бензина и суммы светлых углеводородов. Для поиска оптимума использовали программу поиска экстремума функции многих переменных (см. главу VI). [c.369]

Поисковые методы, и соответственно методы нахождения равновесных составов по системам типа (П1.2), можно разделить на две основных группы 1) прямой поиск, когда при помощи некоторой итерационной процедуры ищут непосредственно решение системы (III.2) 2) непрямой поиск, когда используют хорошо разработанные и достаточно универсальные методы нахождения экстремума функции многих переменных Ф при этом нужно сформулировать такую функцию составов Ф(Л/ь. .., Л р), чтобы равновесный состав N1,.... Ир определял экстремум этой функции. [c.106]

Методы поиска экстремума функции многих переменных хорошо разработаны, и их применение оказывается более простым, чем применение прямого метода поиска. Наиболее часто используют какой-либо вариант градиентного поиска. [c.109]

На первый взгляд кажется, что использование этого метода позволяет достаточно просто решать задачу определения оптимума нелинейной функции многих переменных. Однако это не так. Существует ряд трудностей при его реализации и ограничений по сфере его применения. Во-первых, при большом числе оптимизируемых параметров рассматриваемый метод становится весьма сложным в части решения системы уравнений (3.1.1). Задача решения системы уравнений (3.1.1) только в простейших случаях оказывается легко разрешимой. В практических задачах оптимизации адсорбционных установок число переменных Х1, как правило, велико. Во-вторых, условие определения экстремума, выраженное зависимостью (3.1.1), является необходимым, но недостаточным для решения задачи. В самом деле, выражение (3.1.1) определяет положение стационарных точек внутри области, среди которых кроме экстремальных могут быть особые точки типа седла . Учет достаточных условий нахождения экстремумов функции многих переменных является весьма сложным как в алгоритмическом, так и в вычислительном плане [51—53]. В-третьих, рассматриваемый метод дает возможность найти экстремум только в том случае, если он лежит внутри, а не на границе области возможных значений аргументов. Между тем, как показывает соответствующий анализ, многие параметры и характеристики адсорбционных установок имеют свои оптимальные значения именно на границах допустимой области их изменения. Следовательно, требуется дополнительный анализ значений минимизируемой функции 3(х, х2.....х ) на границах допустимой области изменения параметров хи Х2,. . Наконец, четвертый недостаток рассматриваемого метода состоит в ограниченности его применения классом задач, в которых оптимизируемые параметры, определяющие значение минимума или максимума функции, независимы, т. е. хи Х2,. .., х [c.123]

Все указанные недостатки приводят к выводу о том, что использование классического метода определения экстремумов функции многих переменных для решения задач оптимизации параметров адсорбционных установок или отдельных элементов является неэффективным, поскольку 1) оно сводит первоначально поставленную задачу отыскания экстремума к таким вторичным задачам, которые оказываются не проще исходной, а зачастую и сложнее 2) при этом возникает необходимость в значительном изменении условий постановки адсорбционной задачи, искажающем ее сущность. [c.124]

Таким образом, задача определения констант и Q в обоих слу-чаях сводится к математической задаче нахождения экстремума функции многих переменных. Для решения этой задачи можно применять те же самые методы,что и для расчета оптимальных режимов работы каталитических реакторов. [c.86]

Первый подход. Задача оптимизации, сформулированная как задача определения условного экстремума функции многих переменных, сводится к задаче на безусловный экстремум с помощью метода уровней (см. главу V). Целевая функция в данном случае будет иметь [c.306]

Практически часто бывает трудно, а иногда и вообще невозможно аналитически решить систему уравнений (IV, 2) относительно некоторых переменных, т. е. представить ее в виде соотношений (IV, 3). Поэтому для решения задач отыскания экстремума функции многих переменных (IV, 1) с ограничениями на независимые переменные (IV, 2) обычно используют метод неопределенных множителей Лагранжа, вывод основных соотношений которого рассмотрен ниже. [c.149]

Необходимым условием экстремума функции многих переменных, как известно [1], является равенство нулю дифференциала этой функции в экстремальной точке, т. е. [c.149]

Минимизацию функции Ф можно выполнить одним из методов определения экстремума функции многих переменных (см. стр. 139). Принципиально выбор параметров модели может быть сделан для какой-либо одной совокупности переменных г (А = 1,.. п). При этом найденное минимальное значение Ф служит количественной оценкой корректности принятой структуры уравнений математической модели. [c.135]

Известно, что с увеличением числа переменных вычислительные трудности при поиске экстремума функции многих переменных резко возрастают (при прочих равных условиях). Поэтому в качестве косвенного критерия может быть выбрано число переменных функции, к поиску экстремума которой свелась первоначальная задача при этом, конечно, необходимо принимать во внимание сложность вычислений этой функции. Как мы видели, второй метод приводит к поиску экстремума функции п переменных б [c.33]

Процедура поиска экстремума функции многих переменных является чисто математической задачей, для решения которой на ЭВМ имеются хорошо разработанные методы [43, 44]. [c.76]

Функция возвращает решение системы уравнений, для которой число неизвестных меньше или равно числу неизвестных. Известно, что необходимым условием существования экстремума функции многих переменных является равенство нулю производных, т. е. выполнение системы равенств (9.1) [c.404]

Рещение задачи оптимизации осуществлено как рещение системы, обеспечивающей необходимое условие существования экстремума функции многих переменных. После получения результатов проверена возможность использования полученной расчетной зависимости. [c.409]

Рассмотрим градиентный метод для простейшего случая определения экстремума функции многих переменных 3(л ь Хг,..., Хп) при отсутствии каких-либо ограничений. Процесс оптимизации по методу градиента заключается в определении направления наискорейшего изменения функции 3 и в некотором перемешенин по этому направлению в прямую или обратную сторону. Направление наискорейшего изменения функции определяется направлением вектор-градиента оптимизируемой функции, которое всегда совпадает с направлением возрастания функции. Компонентами градиента дЗ/дХ° в какой-либо точке рассматриваемой области, заданной параметрами (л °, х°,. ... л °), являются частные производные функции д31дх°, дЗ дх, д31дх°. Отметим, что градиент дЗ/дХ° всегда перпендикулярен к поверхности равных значений функции 3 в рассматриваемой точке. [c.128]

В этой связи при применении метода градиента для отыскания кинетических констант, как и вообще для поиска экстремума функции многих переменных, требуется его модификация с целью улучшения и ускорения сходимости процесса поиска. В ряде случаев такая модификация приводит по существу к новому методу, например методу сопряженных градиентов [76, 88], методу проектирования градиента [197] и др. [c.161]

Метод градиента и его частный вариант — метод наискорейшего спуска наиболее широко применяются для нахождения экстремумов функций многих переменных. Для отыскания минимума плохо организованной функции более предпочтителен метод градиентов с постоянным или дробящимся шагом а, так как в этом случае на каждой итерации уточняется направление быстрейшего убывания функции Ф(а). Объем вычислений при использовании метода градиентов значительно больше, чем при поиске минимума методом наискорейшего спуска. Однако программа поиска а на ЦВМ методом градиентов существенно проще, чем аналогичная программа для метода наискорейшего спуска, оптимальный рабочий шаг в котором определяется из уравнения (IX. 23) или приближенным способом. Метод наискорейшего спуска выгодно применять, если известно, что функция ф(а) достаточно хорошо организована, например, не имеет оврагов или близка к квадратичной функции. При попадании изображающей точки а в овраг скорость сходимости методов градиента и наискорейшего спуска резко уменьшается, а траектории движения практически совпадают. На рис. IX.4 изображена траектория движения изображающей точки a t) [в соответствии с уравнением (IX. 22, а) при а = onst] на [c.226]

Классификация методов. Для решений сформулированной в гл. 1 задачи комплексной оптимизации параметров и профиля адсорбционных установок или отдельных ее частей и элементов при однозначно (детерминированно) заданных значениях влияющих факторов могут быть применены многие из известных математических методов поиска экстремума функции многих переменных [49, 50]. Однако при практической их реализации на ЭВМ возникают серьезные вычислительные трудности. Некоторые простейшие, широко известные методы минимизации обычно совершенно непригодны для решения реальных задач. Поэтому проблема выбора наиболее целесообразного метода решения задачи поиска минимума сложной функции из числа существующих имеет большое значение. [c.121]

Методы слепого поиска. Сущность решения задач на определение экстремума функции многих переменных 3(ХиХ2,. ... Хп) с помощью методов слепого поиска заключается в организации просмотра (в определенном порядке или случайным образом) допустимой области изменения оптимизируемых параметров X и сравнении соответствующих значений функции 3. При этом информация о функции 3, полученная в результате какого-либо варианта расчета, используется при последующем расчете лишь в ограниченном объеме, а само определение экстремального значения функции 3 не сопровождается последовательным улучшением промежуточных результатов. [c.125]

С целью отыскания экстремума функции многих переменных как частный случай метода оврагов можно рассматривать модификацию метода градиента, предложенную Островским и др. [69]. В начале поиска при движении в область минимума функции S (рис. 23) по программе градиента в соответствии с уравнениями (III.68)— (III.70) происходит спуск к оврагу (участок и зигзаго- [c.163]

Таким образом, задаче определения констант Ki, Q.i в обоих случаях сводится к математической задаче нахождения экстремума функции многих переменных. Для решения подобных задач в последнее время болкпое применение получили методы нелинейного программирования /2/, /3/, /4/, /5/. Остановимся на них под юбнее. [c.425]