Вычисление частных производных функции Ф(а)

Вычисление частных производных функции Ф(а) [c.234]

Аналитическое определение производных <ЗФ(а)/< агц связано с существенным усложнением программы решения задачи на ЦВМ п увеличением объема запоминаемой информации. Однако при некоторых условиях оказывается выгоднее (в смысле затрат машинного времени) один раз интегрировать систему из /г + 1 нелинейных и (п + )пк линейных уравнений, чем пк -Ь 1 раз находить решения системы (IX. 3), состоящей из п нелинейных зависимостей. В работах [11, 12] показаны примеры вычисления частных производных функций типа Ф(а) аналитическими методами. [c.238]

При выполнении предположения о том, что при фиксированном с задача второго уровня имеет единственное решение, справедлива формула для вычисления частных производных функции % (с), аналогичная формуле (VI,4) [c.238]

После вычисления частных производных функций с ( , 1) (2. 169) по i и и их подстановки в уравнение второго закона Фика (2. 166) можно определить связь между величинами и Я путем сравнения коэффициентов. Она имеет вид [c.228]

Таким образом, успех использования квазиньютоновских методов и методов сопряженных направлений для решения задач большой размерности будет существенно зависеть от эффективности вычисления частных производных целевой функции (точности и трудоемкости их нахождения). Отсюда еще большую роль для решения таких задач сыграет применение сопряженного процесса для получения этих производных. [c.260]

Практическое применение метода Ньютона сопряжено с некоторыми вычислительными трудностями. Во-первых, на каждом шаге итерации нужно решать линейную систему уравнений. Во-вторых, на каждом шаге нужно определять не только значения функций fi i =. .., п), но также п элементов матрицы F x и если частные производные fl.xj не имеют простого аналитического вида, то часто желательно обойтись без их вычисления. [c.68]

Снять спектр газа (см. с. 67) и определить значение Ие(1 — —2хе). Не допуская большой ошибки, можно принять, что 2Xe< l. Рассчитать 0 по (1.90) и 0/7" для 298 К и заданной температуры. По таблице термодинамических функций Эйнштейна для линейного гармонического осциллятора определить колебательную составляющую энтропии при обеих температурах. Логарифм поступательной, вращательной и электронной суммы по состояниям определить по уравнениям (1.86), (1.88), (1.92). По (1.84) и (1.87) рассчитать частную производную логарифма поступательной и вращательной суммы по состояниям при постоянном объеме. Расчет поступательной суммы по состояниям по уравнению (1.86) проводить для давления 1,0133-10 Па. Таким образом, вычисленная энтропия будет стандартной энтропией вещества. По уравнению (1.109) вычислить поступательную, вращательную и электронную составляющие энтропии и сложить полученные величины с колебательной составляющей. Если требуется определить энтропию при нескольких температурах, то расчет следует произвести с помощью ЭВМ по программе, приведенной в приложении. [c.71]

При наличии звеньев с распределенными параметрами все изложенное выше относительно вычисления частных производных оптимизируемой функции Ф остается в силе с некоторыми добавлениями и уточнениями, на которых мы сейчас остановимся. [c.207]

При интегрировании в подынтегральном выражении в (IV.32) после вычисления частной производной, Г 2 должно рассматриваться как функция Г. (Гг =АГ ). В окончательном выражении после интегрирования, как и в аргументе функции p 2, нужно вновь подставить значение =Г2/Г,. [c.38]

По методу быстрейшего спуска , перемещение вдоль одной оси заменяется движением в направлении градиента. Варианты этого метода отличаются Друг от друга способами определения направления движения (т. е. вычисления частных производных, если функция аналитически не задана) и величины шага, а также критериями окончания операции поиска. [c.131]

При необходимости вычисления частных производных свойства Е по глубине реакции Для других условий проведения процесса можно поступить следующим образом. Используя функции (3.9.1) и (3.9.2), представим полный дифференциал свойства Е в виде [c.178]

Естественно, что для сложного вида функции Ф, больших п и N решение задачи подбора констант является весьма громоздким, так как приходится многократно производить вычисление частных производных (например, по правилам дифференцирования сложных функций [27, 30]). [c.372]

Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных остаются теми же, что и для функций одной переменной, и только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная. [c.143]

Обычно частные производные критерия по варьируемым переменным определяются численно с помощью соответствующих разностей. Однако численное определение частных производных с помощью соответствующих разностей требует (Л1+1)-го вычисления целевой функции, т. е. (Л1-(-1)-го расчета всей схемы, где М — общее число управлений в схеме. При большом М задача расчета всех частных производных может потребовать очень больших затрат машинного времени. В связи с этим была предложена [4 5 J эффективная процедура вычисления частных производных целевой функции для сложной схемы, основанная на введении понятия сопряженного процесса. Эффективность совместного применения управлений основного и сопряженного процессов тем больше, чем больше число управлений. [c.371]

Для вычисления N частных производных в каждой точке определения градиента функции необходимо N - - 1 раз рассчитать схему производства стирола. Учитывая наличие в схеме рециркуляционных связей и математических моделей ректификационных колонн, для расчета которых требуются итерационные процедуры, затраты машинного времени па расчет схемы и, следовательно, производных значительны. На электронно-вычислительной машине Минск-32 время расчета схемы составило в среднем 25—27 с, а время расчета производных по девяти варьируемым параметрам 4—4,5 мин. [c.172]

В методе градиента направление шага обусловливается величинами частных производных оптимизируемой функции в рассматриваемой точке. Всегда следует иметь в виду, что градиент ортогонален к поверхности постоянного уровня функции цели только в точке его вычисления, да и то с определенным приближением, поскольку производные обычно находятся с помощью приближенной формулы (IX, 33). [c.496]

Из формулы (5-36) следует, что для вычисления k + 1-го приближения нет необходимости в определении матрицы частных производных, а достаточно лишь заполнить матрицу Ф последовательными значениями функции F (X) в п точках. При выполнении последующего приближения достаточно заменить один из столбцов матрицы Ф, где номер заменяемого столбца определяется как г = [c.303]

В табл. 3 для метода наискорейшего спуска, различных начальных точек и разных п приведено число к. Для данных значений п ш 1 оба метода привели к одним и тем же оптимальным значениям целевой функции. Правда, метод наискорейшего спуска дал несколько лучшие (по количеству вычислений) результаты. Это, по-видимому, можно объяснить тем фактом, что г/з как функция переменных не имеет ярко выраженного овражного вида. Частные производные (/ = 1, 2,. . ., тг) в начальной [c.52]

Бесконечные ряды находят широкое применение в технических расчетах. Результаты анализа многих процессов часто выражаются в виде ряда разложение функции 8 ряд позволяет найти ее численное значение. Ряды имеют большое значение в решении обыкновенных дифференциальных уравнений, а также при решении уравнений с частными производными и а приближенных вычислениях. [c.264]

В работе [67] предлагается алгоритм расчета частных производных от одной функции нескольких переменных. Вообще говоря, с целью вычисления матрицы (XII,11) можно применять данный алгоритм отдельно для каждой функции / . Но этот путь может оказаться невыгодным в том случае, если функции. . ., / имеют какие-то общие выражения. Действительно, указанный алгоритм менее экономен по сравнению с алгоритмом, учитывающим наличие общих выражений в системе функций (XII,10). Поэтому в работе [68] предлагается.алгоритм формирования программы для расчета всей матрицы (XII,11), Он основан на построении некоторой схемы, эквивалентной системе функций (XII,10), и применении к упомянутой схеме понятия сопряженного процесса (см. главу VII). Рассмотрим такой алгоритм подробно. [c.288]

Самым грубым приближением к у (х h) было бы Ь hf (а, Ъ). Для более точной квадратичной аппроксимации нужно вычислять частные производные функции / [х, у) в точке (а, Ь). Это, однако, неудобно. Поэтому обычно пользуются другим методом, известным как метод Рунге — Кутта, позволяющий аппроксимировать у х h) с точностью до первых четырех членов ряда Тейлора путем вычисления ироизводной в нескольких определенным образом [c.114]

Как уже говорилось, основная термодинамическая характерис тика химической реакции АОт-, вообще говоря, довольно сильно зави сит от температуры. Эта зависимость устанавливается различными мето дами из ни в первую очередь следует указать на аналитический вы вод функции АОт = / Т), а также на вычисление ДОг при различных температурах методами статистической термодинамики (гл. VI) Обратимся к первому из упомянутых методов. Будем исходить из известного уравнения Гиббса — Гельмгольца ( .48) переписываем его, помня о постоянстве давления и заменяя частную производную обычной [c.122]

В формулы (IX. 22, а) и (IX. 22, б) входят значения частных производных Ф(й) в точках 5 (г = О, 1, 2,. ..). Для определения их следует предварительно аналитически продифференцировать Ф(<5) по и составить программу вычисления производных. Для некоторых плохо организованных функций вычисление на ЦВМ п значений (ЗФ/dai более трудоемко, чем нахождение п -f 1 значений Ф(а). В таких случаях выгоднее (в смысле затрат машинного [c.225]

С целью ускорения решен ия, после корректировки температур по методу Бройдена во внутреннем кситуре алгоритма (я котором определяются 7) при фиксированных набор матрицы частных производных не производится, а используется апгфоксимированная отрицательная обратная матрица Якоби предыдущей итерации (Н = -1" ). Расчётными исследованиями было установлено, что при этом общее число итераций для достижения функции цели во внутреннем контуре остагтся неизменным, но время расчёта существенно сокращается за счёт сокращения действий, связанных с вычислением частных производных. [c.59]

Прямыми поисковыми называют методы, не требующие вычисления частных производных (355(0)/( 05. Градиентные методы основываются на вычислении градиента функции 55(0). Среди прямых поисковых методов укажем прежде всего метод оврагов [122, 123], методы Розепброка [124] и Пауэлла [125, 126]. Метод оврагов , хорошо зарекомендовал себя при решении задач, связанных с оценкой кинетических параметров [107]. Эффективным оказывается также метод случайного поиска [127]. Кстати, методом случайного поиска пользовались при уточнении оценок параметров скорости зародышеобразования и роста кристаллов (см. выше). [c.324]

Следует отметить, что второй способ, как правило, значительнопроще с точки зрения программирования и требует меньшего объема памяти ЭВМ. Однако для сложных функций 3(Х) и при большом числе параметров X он может потребовать значительного времени счета. Первый способ более трудоемок с точки зрения программирования и подготовки задачи, а также требует большого объема памяти ЭВМ. Его преимуществом является врзможиость снижения времени счета. Выбор одного из двух указанных методов определения частных производных функций 3 Х) должен производиться с учетом конкретных условий решения той или иной задачи. Численный способ определения частных производных является единственным для весьма часто встречающихся в инженерной практике задач, в которых аналитическое вычисление д31дХ по какой-либо причине невозможно. [c.129]

После вычисления частных производных от функции ф х,х ) по переменным X и х, полной произзодной и подстановки в уравнение Эйлера получаем [c.50]

Эти методы относятся к многочисленной группе так называемых методов слепого поиска. Для них характерен просмотр-в определенном порядке (сканирование) или случайный отбор значений переменных минимизируемой функции до тех пор, пока не будет найдена ее заданная величина. Здесь процесс изучения локальной окрестности не требует вычисления частных производных (в этом привлекательность и простота таких методов) и обычно не отделяется от шагов при движении к искомому экстремуму. Так как производные не вычисляются, то не существует никакого простого способа использования информации о численном изменении минимизируемой функции S кроме сравнения последовательных оценок S (и ) иб (и + ) с помощью неравенств S (и + ) <5 (и )или5 (u + ) > >5 (и ) и т. д. В соответствии с результатами сравнения определяются действия, которые необходимо совершить для дальнейшего-движения к экстремуму. [c.185]

Пр][ применении метода градиента на каждом шаге нужно определять значения всех частных производных оптимизируемой функции по всем независимым переменным. Е]сли расчет одного значения данной функции требует значптельг[ого объема вычислений, то время поиска оптимума, особенно при большом числе независимых переменных, может быть весьма большим. [c.497]

Здесь дЗ/дХ)у — составляющая градиента функции 3 по совокупности параметров вычисленная при совокупности параметров X, удовлетворяющих условиям (3.1.21) (йЗ/дУ)у — составляющая градиента функции 3 по совокупности параметров У, вычисленная при значениях параметров Ко, удовлетворяющих условиям (3.1.21) дУ1дХ — мatpицa частных производных компонентов совокупности параметров У по компонентам совокупности параметров X, вычисленных нз условия (3.1.21). [c.137]

Общая организация программы ОПП аналогична организации программы РАСП (см. рис. 105) и табл. 17. Основное отличие состоит в составе библиотеки процедур. Библиотека математических процедур включает дополнительно процедуру DFP, реализующую алгоритм оптимизации Давидона — Флетчера — Пауэлла и составленную в определенной стандартной форме. Последняя предусматривает наличие двух формальных процедур расчета значения функции и вычисления ее частных производных по оптимизируемым переменным. В связующей части программы в качестве фактических [c.287]

При решении на АЦВК задачи отыскания условного минимума Ф(а) интегрирование в ускоренном масштабе времени системы уравнений (IX. 3) поручают АВМ запоминание решений, вычисление Ф(а ), Ф(а + Да) и частных производных дф d )/дai l выполняет ЦВМ. Она же вычисляет некоторые, наиболее нелинейные , элементы функций системы (1Х.З), с помощью ПКП производит поочередное варьирование параметров на величины Да,ц и изменяет их на величину а дф а ) /дai x на г-й итерации градиентного спуска. [c.236]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология