Размерные постоянные и число основных единиц

Я предпринял поэтому систематическое изложение принципов метода размерностей, иллюстрировав применения многими примерами. Примеры специально подобраны так, чтобы особо оттенить те пункты, в отношении которых ошибки являются распространенными. Я имею в частности в виду вопросы о характере формул размерностей, потребном числе основных единиц и природе размерных постоянных. В добавление к примерам в тексте, в конце книги приложены задачи, которые, думаю, окажутся полезными. [c.10]

Размерные постоянные и число основных единиц [c.57]

Из сказанного также следует чтобы уменьшить число основных единиц на одну, две или более, необходимо соответствующее число размерных постоянных превратить в безразмерные постоянные. Так, от системы с тремя основными единицами Ь, М, Т можно перейти к системе с двумя основными единицами. Для этого можно воспользоваться, например, законом всемирного тяготения [c.14]

Единицу измерения любого фактора выразим через произведение степеней единиц измерения основных факторов. Далее для упрощения обозначим у через и предположим, что какие-то величины из ряда. .., х можно сгруппировать в безразмерные комплексы ф ,. .., ф,. Если безразмерные комплексы нельзя образовать, в число переменных факторов х ,. .., а включают размерные постоянные, не меняющиеся в ходе процесса (ускорение свободного падения, вязкость и т. д.). [c.131]

Сюда входят, включая и величину N, к 1) величин. Они могут быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными. Однако в данном случае требуется, чтобы для численных величин, входящих в уравнение, характеризующее физическое явление, была принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблюдении этого условия уравнение остается справедливым при произвольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные единицы должны быть независимыми по своим размерностям, а число их таким, чтобы имелась возможность представить через них размерности всех других величин, входящих в функциональную зависимость (116). [c.570]

Налагаем условие, чтобы это равенство выполнялось независимо от выбора основных единиц. Первый же взгляд на уравнение приводит нас в некоторое смущение, так как в левой части стоит только время, в правой же части времени нет совершенно. Критик за нашей спиной подсказывает Но вы включили не все величины, от которых зависит результат, ясно, что вами забыта постоянная тяготения . — Как это может быть, — возражаете вы, — постоянная тяготения должна появиться сама собою, об этом позаботится природа . Несомненно, что два тела с массами тг и шг на расстоянии г одно от другого всегда вращаются с одинаковым периодом. Мы включили в таблицу все физические величины, которые могут изменяться. Критик, однако, настаивает на своем уступая ему, мы вставляем постоянную тяготения в число переменных, чтобы попробовать, что из этого выйдет. Назовем эту постоянную С] очевидно, что ее размерность будет М Ь Т , так как она определяется законом тяготения Ньютона. [c.16]

Существенный результат П-теоремы состоит в ограничении, налагаемом ею на число аргументов произвольной функции. Чем меньше аргументов, тем более ограничена функция, тем более исчерпывающий ответ мы получаем. Если в задаче четыре переменных и три основных единицы, то наш анализ показывает, что имеется единственное произведение без размерности, которое можно определить, и что некоторая функция этого произведения равна нулю. Это эквивалентно утверждению, что в данном частном случае само произведение является некоторой постоянной, и мы имеем полные сведения о характере решения за исключением численной величины постоянной. Такое решение мы имели в первой главе при рассмотрении задачи о маятнике. Без применения анализа размерностей всякое непротиворечивое соотношение между четырьмя аргументами могло казаться возможным, и мы не могли бы догадаться об истинном решении. Если число переменных на два больше, чем число основных, то будет два произведения без размерности, решением будет произвольная функция двух этих произведений, равная нулю. Эта функция может быть разрешена для одного из произведений в функции другого. С таким случаем мы встречались в задаче о теплопроводности. Разумеется, существенно знать, что решение имеет именно такую форму. Не применяя анализа размерностей, мы могли бы только утверждать, что существует некоторая функция пяти переменных, равная нулю. [c.57]

Повторим прежде всего результаты предшествующей главы. Приступая к анализу размерностей, мы должны представить себе, что перед нами задача обычного анализа, которую надо выполнить по крайней мере до стадии суждения о природе проблемы и до выяснения всех физических переменных, которые должны войти в уравнения движения (в общем смысле) и также всех размерных коэффициентов, требуемых для написания уравнений движения. Затем нужно выписать размерности всех переменных относительно основных единиц. Эти единицы для каждой конкретной проблемы должны выбираться так, чтобы число их было возможно большим при условии отсутствия компенсирующих размерных постоянных в уравнениях движения. Далее, в соответствии с П-теоремой должны быть образованы произведения переменных, не имеющие размерности. Эти произведения следует выбирать из большого возможного разнообразия таким способом, чтобы переменные, в которых мы заинтересованы особо, фигурировали вполне отчетливо. После формирования произведений П-теорема непосредственно приводит к функциональному соотношению. [c.65]

Рассмотрим теперь задачу, иллюстрирующую неизменность результата при увеличении числа единиц, если одновременно увеличивается число размерных постоянных. Возьмем ту же задачу, как и раньше, с тем различием, что теперь мы будем говорить просто о массе на конце пружины, не детализируя ее как произведение плотности на объем. Переменными будут масса т, время колебания I и упругость пружины к. Ускорение тяжести можно опустить, так как мы уже видели, что оно не влияет на результат. Возьмем пять основных единиц, выбрав помимо обычных массы, длины и времени еще силу и скорость. Задача очевидно механическая, и взаимоотношение между частями системы должно определяться экспериментальным законом пропорциональности силы массе, умноженной на ускорение. Формулируя уравнения движения, мы должны, следовательно, ввести фактор пропорциональности, который появится в виде новой размерной постоянной. Этот фактор связывает силу, массу и ускорение. Но ускорение должно быть определено по-новому, если мы пользуемся скоростью как основной единицей, его размерность будет УТ . Уравнение движения, написанное так, выражает связь между силой, скоростью и временем. Но сила связана со смещением через упругую постоянную и для решения уравнения требуется соотношение между смещением, скоростью и временем. Разумеется, можно исходить из экспериментального факта наличия пропорциональности между скоростью и отношением пути [c.73]

Очевидно, что нам нужно выбрать столько же постоянных, сколько имеется основных единиц, иначе не хватит уравнений для определения неизвестных. Так, например, в только что разобранном случае мы фиксировали 4 константы гравитационную, постоянную, скорость света, квант действия и газовую постоянную в соответствии с этим у нас было 4 основных единицы. Существенно помнить однако, что не всякие 4 алгебраических уравнения с 4 неизвестными имеют решение, для этого их коэффициенты должны удовлетворять некоторому условию. В применении к формулам размерности, в которые входят неизвестные, это условие сводится к тому, что детерминант показателей не должен равняться нулю. Вообще говоря, нельзя ожидать, что случайно взятый четырехстрочный детерминант будет равняться нулю. В случае детерминантов, составленных из показателей формул размерностей постоянных природы, это, однако, не так. Соответствующие формулы размерности почти всегда очень просты, и показатели почти всегда малые целые числа. При таких условиях равенство нулю детерминанта показателей — явление обычное, и часто предложенная схема определения абсолютных единиц оказывается невозможной. Исчезновение детерминанта указывает, что все величины не являются размерно независимыми, т.е. вместо четырех независимых величин, при помощи которых надо определить неизвестные, мы имеем меньшее число. Например, мы нашли, что постоянная тяготения имеет формулу размерности, совпадающую с размерностью квадрата отношения заряда к массе электрона. Это значит, что мы не можем построить систему [c.115]

Вначале разберем вопрос (уже слегка затронутый ранее) о характере соответствия между величиной, называемой количеством теплоты, и величинами механической природы. Понятие количества теплоты сложилось в рамках калориметрии, т. е. в системе соотношений, совершенно не связанных с зависимостями механической природы. При исследовании процессов перераспределения тепла в чистом виде (перенос тепла в твердом теле или в потоке жидкости умеренной скорости), когда первоначальное калориметрическое представление о теплоте не вступает в противоречие с физическим содержанием задачи, количество теплоты следует отнести к числу первичных величин. Если же существенны эффекты взаимного преобразования теплоты и работы, то обязательной становится энергетическая концепция теплоты со всеми вытекающими отсюда последствиями. В частности, возникает дилемма 1) либо количество теплоты подлежит переводу в разряд вторичных величин, и в таком случае принятая для нее основная единица измерения (например, калория) должна быть заменена производной единицей, принятой для работы (например, джоулем) 2) либо количество теплоты оставляется в числе первичных величин (с сохранением первоначальной единицы измерения), и одновременно в круг величин, существенных для процесса, включается размерная постоянная (механический эквивалент теплоты) с размерностью В современной практике широко распространены оба решения, хотя перевод количества теплоты в разряд вторичных величин (замена калории джоулем) не создает никаких осложнений, в связи с чем принципиальные преиму- [c.239]

Рассмотренную в работе Б. Н. Калашникова систему переменных целесообразно проанализировать в соответствии с требованиями метода анализа размерностей. Решение задачи с точностью до постоянной можно получить только в случае, если разность между числом существенных для процесса переменных и числом размерностей основных физических величин равна 1. При этом единицы измерения должны быть независимы, но например с -, имеют зависимые единицы. [c.21]

Информация, которую содержит решение той или иной задачи методом размерностей, тем полнее, чем меньше число безразмерных величин, получаемых в результате решения задачи, т. е. чем меньше п — к. Поэтому в некоторых случаях может оказаться выгодным увеличение числа основных единиц измерения, т. е. увеличение к. Однако не следует упусг ать из виду, что введение дополнительных основных единиц приводит к появлению новых размерных постоянных. Если эти постоянные не существенны для изучаемой задачи, то п остается неизменным и п — к уменьшается. Если же новые постоянные оказываются существенными для данной задачи, то одновременно с к увеличивается и /г. В этом случае введение дополнительных основных единиц не приводит к выигрышу. [c.22]

Перед нами таблица из двенадцати размерных постоянных, на основе которых желательно определить абсолютную систему единиц. Постоянные определены через 4 основные единицы, поэтому, вообще говоря, достаточно четырех любых констант из двенадцати для определения абсолютной системы. Однако показатели настолько просты, что в действительности во многих случаях детерминант показателей равен нулю, и данное сочетание констант оказывается непригодным. Так, например, С с точки зрения размерности определяется той же формулой, как и h , поэтому непригодна ни одна комбинация, в которую одновременно входят С, h я с. Постоянная к имеет такую же размерность, как ha , и, следовательно, сочетание к, с, h и а тоже не годится. N и к разноразмерны, следовательно, исключаются все комбинации, в которые входят к и N. Этими примерами число непригодных случаев не ограничивается. Мораль заключается в том, что не следует пытаться строить абсолютную систему единиц на основе какой-либо комбинации постоянных, не убедившись сначала в возможности этого. Невозможными могут оказаться сочетания, кажущиеся на первый взгляд особенно подходящими. Нельзя, например, одновременно приравнять единице скорость света, квант действия, заряд электрона и газовую постоянную. [c.117]

Чтобы уравнение было верным при любом согласованном выборе единиц измерения, оно должно быть однородным по размерности, т. е. все члены уравнения должны иметь одинаковую размерность. В системе РМЬТ, чтобы обеспечить однородность по размерности, в законе Ньютона нужна размерная постоянная g Ее численное значение зависит от системы единиц измерения. Например, она может быть равна 9,81 кг-мЫГ -сек . Любые числа, входяш ие в однородное но размерности уравнение, безразмерны. Уравнение (14. 6), если его записать в виде 9,81 Р — Ма, перестанет быть безразмерным. В таком виде оно не справедливо при единицах, отличных от тех, которые входят в уравнение (14. 8). С другой стороны, в системе МЬТ уравнение (14. 1) однородно по размерности. Так как число основных размерностей уменьшено на единицу, а Р приписана размерность произведения Ма, g принимает безразмерное значение, равное 1. [c.160]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология