Гаусса Ньютона

Применение явной разностной схемы к этой системе дает метод Гаусса—Ньютона [82] [c.223]

Программа позволяет генерировать системы уравнений и допускает использование различных подпрограмм. Она состоит из трех основных блоков, которые используются последовательно один за другим. Первый блок формирует уравнения из структуры ХТС в форме / (д ) = 0. Второй блок определяет оптимальную совокупность выходных переменных с учетом одного из критериев минимального числа итерируемых переменных или критерия чувствительности. Третий блок предназначен для решения систем уравнений (в том числе и уравнений для элементов ХТС с распределенными параметрами) методами простой итерации с модификациями или методом Гаусса— Ньютона. В этом же блоке имеются подпрограммы для оптимизации ХТС и расчета ХТС с учетом неопределенности некоторых параметров математических описаний ХТС. [c.108]

Метод Гаусса — Ньютона. Воспользуемся методом Ньютона для минимизации функции F (х). Как показано в Приложении Б, для нахождения последующего приближения к минимуму на каждой итерации необходимо решить уравнение (Б.2). Заменим в этом уравнении Гессиан его аппроксимацией (111,14), а вместо градиента F (а ) подставим его значение (111,13). Тогда получим [c.134]

Алгоритм VII (Гаусса — Ньютона). Этот алгоритм включает шаги [c.134]

Перейдем к обсуждению метода Гаусса — Ньютона и его модификации. Для кратности слово модификация опустим, хотя все сказанное будет относиться и к модифицированному методу Гаусса — Ньютона. [c.135]

Преимущество метода Гаусса — Ньютона в сопоставлении с методом Ньютона заключается в том, что векторы p в алго- [c.135]

Метод Гаусса —Ньютона [c.164]

Как показывает опыт, метод Гаусса — Ньютона дает хорошую сходимость, если величина скорости реакции W f функционально может быть достаточно адекватно представлена линейной частью ряда Тейлора (III.76). При этом необходимо тщательно контролировать размер шага h чтобы обеспечить наилучшие условия сходимости итерации. Математическое доказательство сходимости итерационного процесса при разложении функций, типичных для уравнений скоростей реакций, в ряд Тейлора даны в работе [157]. [c.168]

Анализируя уравнение (II 1.91), нетрудно видеть, что при =0 оно переходит в уравнение (III.83), давая значение шага Л в соответствии с процедурой метода Гаусса — Ньютона. Когда уравнение (III.91) дает значения шага, близкие к значениям, получаемым по методу градиента. Для любого промежуточного значения Я, между О и оэ величина шага будет определяться комбинацией шагов, получаемых обоими методами. [c.169]

Какой же алгоритм лучше всего использовать для вычисления констант устойчивости Ответить на этот вопрос не просто, поскольку проблема оценки параметров нелинейным методом наименьших квадратов в целом сложна. Традиционно в этой области (за двумя исключениями [35, 36]) используется либо метод Гаусса — Ньютона с процедурой оптимального сдвига Хартли [50] или без нее, либо метод Силлена [7], который в [c.92]

Новый коэффициент оптимизации должен быть больше нуля. Можно также для каждого значения 13 в данной точке использовать свой собственный коэффициент оптимизации FG(I3). Этот метод известен в литературе как метод Гаусса — Ньютона. Если новый коэффициент оптимизации равен нулю, то метод Гаусса — Ньютона превращается в наш старый метод Ньютона. Хотя метод Гаусса — Ньютона надежнее, сходимость достигается обычно медленнее. [c.292]

Уравнение (5.2.16) представляет собой алгоритм метода Гаусса (Гаусса — Ньютона, Ньютона — Рафсона) для решения задачи о наименьших квадратах в нелинейном случае. Очевидно, что гессиан в уравнении (5.2.13) заменен аппроксимирующим произведением двух. матриц, составленных из первых производных, и что век- [c.159]

Нетрудно заметить, что задача (29) — (30) аналогична рассмотренной выше задаче оптимального сбалансирования экспериментальных данных с той разницей, что уравнения ограничений (30) нелинейны относительно переменных у. Нелинейная задача сбалансирования решается методом Гаусса-Ньютона. Как обычно в таких случаях, задается некоторое приближение переменных В качестве балансовой ошибки используют не величину f(y , к), а линейное разложение функции f в окрестности [c.88]

Наряду с рассмотренными имеются также и другие поисковые процедуры (так, например, метод Дэвидона — Флетчера — Пауэлла, метод Гаусса-Ньютона и др.). Методам численного поиска посвящена обширная литература [128—131], где детально освящены такие вопросы, как выбор направления движения, движение при наличии ограничений, сходимость процедуры и т. д. [c.325]

Модифицированный алгоритм Гаусса — Ньютона (VIII). Этот алгоритм включает шаги [c.135]

Однако метод Гаусса — Ньютона сохраняет некоторые недостатки метода Ньютона. Так, на каждой итерации требуется решать систему (111,15). Чтобы избежать этого, иногда вычисляют матрицу Bk заново не на каждой итерации, т. е. выбирают воз-растающ,ую последовательность целых чисел О, / i, / j,. . . и для кг kr i полагают Bk = Bk - Далее может случиться, чта [c.136]

Метод Марквардта. При практическом использовании метода Гаусса — Ньютона в некоторых случаях оказывается, что Р х) очень медленно убывает вдоль направления р . Часто это связано с тем, что направление становится почти ортогональным градиенту g . Поэтому в работах [92, 93] предлагается модификация метода Гаусса — Ньютона. Основная идея ее изложена в Приложении Б. На итерации к поисковое направление находится по формуле [c.138]

Методы, не использующие производные. Рассмотрим алгоритм [94]. Идея его заключается в том, чтобы на основе метода Гаусса — Ньютона создать метод, пе требующий вьгаисления точных производных Конечно, можно было бы воспользоваться разностной аппроксимацией производных (1,51). Но это приведет к ряду трудностей, связанных с выбором Дх/ и с большим числом вычислений функции f [х). [c.139]

Покажем, что если rangBfe = га (тге >> га), направление, генерируемое алгоритмом X, окажется направлением, которое определяется методом Гаусса — Ньютона. Действительно, воспользуемся тем, что [c.141]

Таким образом, если методы Ньютона и Гаусса — Ньютона можно применять только для функций (систем), для которых rang Bk = И) то для алгоритма X это ограничение отпадает и данный алгоритм можно рассматривать как расширение алгоритма VHL В работе [96] предлагается способ отыскания псевдообратной матрицы В тех случаях, когда матрица первых производных не может быть задана, приводится метод получения аппроксимации [c.142]

Алгоритм метода. Метод максимального приближения, сформулированный впервыеМаркардтом [186], основан на комбинации достоинств метода Гаусса — Ньютона и метода градиента, соединяя в себе как быструю сходимость процесса решения по методу Гаусса— Ньютона вблизи точки искомого экстремума, так и быструю сходимость процесса решения по методу градиента для первых итераций при движении от исходной точки, соответствующей начальным приближениям искомых констант. [c.168]

Масштабирование рекуррентного уравнения. Значения шага найденные методом Гаусса — Ньютона [решение уравнения (111.83)] не зависят от масштаба пространства 7 (иI, и , щ) искомых констант, т. е. являются инвариантными относительно линейных преобразований этого пространства. И наоборот, значения А , найденные методом градиента, в значительной мере не инвариантны к масштабу пространства констант. Поскольку метод максимального приближения является комбинированным, объединяя в себе как свойства метода Гаусса — Ньютона, так и свойства градиентных методов, то желательно пространство II (и , и ,. . ., щ) промас-штабировать. [c.170]

GAUSS [70]—одна из первых опубликованных программ, использующих метод минимизации Гаусса — Ньютона. Это улучшенный вариант более ранней программы [16], применяв- [c.99]

S OGS. Эта модификация программы GAUSS [2 позволяет вычислять константы устойчивости по данным, полученным при кислотно-основном титровании растворов, в состав которых входит не более двух металлов и двух лигандов. Минимизируется функция, представляющая собой сумму квадратов отклонений значений титра, что позволяет использовать единичные веса [29]. Минимизирующий алгоритм основан также на методе Гаусса — Ньютона, и хотя в программу включено уменьшение, в 2 раза большее сдвигов параметров, и в этом случае справедливы те же замечания, что и для программы GAUSS. [c.100]

LEAST. Следующим усовершенствованием была программа LEAST [31], включающая минимизацию функции методами Гаусса — Ньютона и Ньютона — Рафсона. В последнем случае принимаются во внимание члены второго порядка ряда Тейлора (см. разд. 5.3). Минимизируемой функцией является сумма квадратов отклонений во всех трех уравнениях материального баланса по общим концентрациям иона водорода, металла и лиганда. Это позволяет точно вычислять производные, в то время как в ранее обсуждавшихся программах используются приближенные разности. При вычислениях концентрации свободного металла и свободного лиганда рассматривают как параметры, подлежащие оценке в каждой точке измерений наряду с константами устойчивости [31]. Тем самым программа отличается от большинства других, в которых указанные величины находят одновременным решением уравнений материального баланса по металлу и лиганду, используя значения констант устойчивости на данной итерации. [c.100]

GAUSS Аналитическая концентрация иона водорода Гаусса — Ньютона 70 [c.102]

LEAST Аналитические концентрации Гаусса — Ньютона или Ньютона — Рафсона 31 [c.102]

SQUAD Спектрофото- метрические Светопоглощение Гаусса — Ньютона 74 [c.102]

В начале каждой итерации требуется определить концентрации частиц в системе. (Эта процедура необходима также при вычислении приближений разностей дифференциалов для констант устойчивости.) DALSFEK достигает этого при помощи метода итерации Гаусса — Ньютона на некоторых предполагаемых концентрациях, используя текущие значения констант устойчивости и данные по материальному балансу (общие концентрации). Подобные процедуры включены в ранее опубликованные программы для расчета равновесий в растворах [5,6]. [c.323]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология