Гаусса Ньютона метод

Применение явной разностной схемы к этой системе дает метод Гаусса—Ньютона [82] [c.223]

Программа позволяет генерировать системы уравнений и допускает использование различных подпрограмм. Она состоит из трех основных блоков, которые используются последовательно один за другим. Первый блок формирует уравнения из структуры ХТС в форме / (д ) = 0. Второй блок определяет оптимальную совокупность выходных переменных с учетом одного из критериев минимального числа итерируемых переменных или критерия чувствительности. Третий блок предназначен для решения систем уравнений (в том числе и уравнений для элементов ХТС с распределенными параметрами) методами простой итерации с модификациями или методом Гаусса— Ньютона. В этом же блоке имеются подпрограммы для оптимизации ХТС и расчета ХТС с учетом неопределенности некоторых параметров математических описаний ХТС. [c.108]

Метод Гаусса — Ньютона. Воспользуемся методом Ньютона для минимизации функции F (х). Как показано в Приложении Б, для нахождения последующего приближения к минимуму на каждой итерации необходимо решить уравнение (Б.2). Заменим в этом уравнении Гессиан его аппроксимацией (111,14), а вместо градиента F (а ) подставим его значение (111,13). Тогда получим [c.134]

Перейдем к обсуждению метода Гаусса — Ньютона и его модификации. Для кратности слово модификация опустим, хотя все сказанное будет относиться и к модифицированному методу Гаусса — Ньютона. [c.135]

Преимущество метода Гаусса — Ньютона в сопоставлении с методом Ньютона заключается в том, что векторы p в алго- [c.135]

Метод Гаусса —Ньютона [c.164]

Как показывает опыт, метод Гаусса — Ньютона дает хорошую сходимость, если величина скорости реакции W f функционально может быть достаточно адекватно представлена линейной частью ряда Тейлора (III.76). При этом необходимо тщательно контролировать размер шага h чтобы обеспечить наилучшие условия сходимости итерации. Математическое доказательство сходимости итерационного процесса при разложении функций, типичных для уравнений скоростей реакций, в ряд Тейлора даны в работе [157]. [c.168]

Анализируя уравнение (II 1.91), нетрудно видеть, что при =0 оно переходит в уравнение (III.83), давая значение шага Л в соответствии с процедурой метода Гаусса — Ньютона. Когда уравнение (III.91) дает значения шага, близкие к значениям, получаемым по методу градиента. Для любого промежуточного значения Я, между О и оэ величина шага будет определяться комбинацией шагов, получаемых обоими методами. [c.169]

Какой же алгоритм лучше всего использовать для вычисления констант устойчивости Ответить на этот вопрос не просто, поскольку проблема оценки параметров нелинейным методом наименьших квадратов в целом сложна. Традиционно в этой области (за двумя исключениями [35, 36]) используется либо метод Гаусса — Ньютона с процедурой оптимального сдвига Хартли [50] или без нее, либо метод Силлена [7], который в [c.92]

Новый коэффициент оптимизации должен быть больше нуля. Можно также для каждого значения 13 в данной точке использовать свой собственный коэффициент оптимизации FG(I3). Этот метод известен в литературе как метод Гаусса — Ньютона. Если новый коэффициент оптимизации равен нулю, то метод Гаусса — Ньютона превращается в наш старый метод Ньютона. Хотя метод Гаусса — Ньютона надежнее, сходимость достигается обычно медленнее. [c.292]

Уравнение (5.2.16) представляет собой алгоритм метода Гаусса (Гаусса — Ньютона, Ньютона — Рафсона) для решения задачи о наименьших квадратах в нелинейном случае. Очевидно, что гессиан в уравнении (5.2.13) заменен аппроксимирующим произведением двух. матриц, составленных из первых производных, и что век- [c.159]

Нетрудно заметить, что задача (29) — (30) аналогична рассмотренной выше задаче оптимального сбалансирования экспериментальных данных с той разницей, что уравнения ограничений (30) нелинейны относительно переменных у. Нелинейная задача сбалансирования решается методом Гаусса-Ньютона. Как обычно в таких случаях, задается некоторое приближение переменных В качестве балансовой ошибки используют не величину f(y , к), а линейное разложение функции f в окрестности [c.88]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

В данной работе для вычисления интеграла использовался метод Симпсона, для решения уравнения (2) метод Ньютона. В табл. I приведены примеры решения уравнения (2) для различных параметров распределения Гаусса. [c.99]

Все остальные методы локальны и уточняют положение какого-то минимума, который иногда может не быть глобальным. Их успешно применяют лишь в случае, когда известно достаточно хорошее приближение к структуре исследуемой молекулы. Это методы поочередного уточнения параметров, наибыстрейшего спуска и др. Наиболее распространен среди них метод минимизации функционала (6.15) по схемам Ньютона—Гаусса и Ньютона—Рафсона. При этом после разложения в ряд Тейлора выражения (6.15) для 8М(з) и пренебрежения всеми членами, начиная с квадратичного, возникает система линейных уравнений относительно искомых параметров. Эту систему решают известными методами, что позволяет, применяя итерационную процедуру, уточнять значения структурных параметров. Достоинством данного метода наряду с уточнением геометрических параметров является возможность оценить величину случайной ошибки при их определении. [c.150]

III. Алгоритм расчета параметров моделей жидкой фазы по методу Ньютона—Гаусса. [c.235]

В соответствии с методом Ньютона — Гаусса, функцию F Сп) разлагают в окрестности точки, соответствующей [c.235]

III. Алгоритм расчета параметров моделей жидкой фазы по методу Ньютона—Гаусса. ....................... [c.343]

Наиболее широко используемый для вычисления констант устойчивости нелинейный вариант метода наименьших квадратов— это уже описанный метод Ньютона — Гаусса [27]. При [c.88]

В большинство общепринятых алгоритмов метода наименьших квадратов для расчета констант устойчивости входит уравнение (5.9) алгоритмы основаны на методах Ньютона — Гаусса — Рафсона. Эти методы подразделяются на две группы в зависимости от способа, которым обеспечивается уменьшение суммы квадратов 5 на каждой итерации. В первой группе масштабная корректировка или оптимизация поправочного вектора выполняется таким образом, чтобы обеспечить максимальное уменьшение S на каждой итерации. Это безусловно обеспечивает сходимость. [c.91]

Наряду с рассмотренными имеются также и другие поисковые процедуры (так, например, метод Дэвидона — Флетчера — Пауэлла, метод Гаусса-Ньютона и др.). Методам численного поиска посвящена обширная литература [128—131], где детально освящены такие вопросы, как выбор направления движения, движение при наличии ограничений, сходимость процедуры и т. д. [c.325]

Однако метод Гаусса — Ньютона сохраняет некоторые недостатки метода Ньютона. Так, на каждой итерации требуется решать систему (111,15). Чтобы избежать этого, иногда вычисляют матрицу Bk заново не на каждой итерации, т. е. выбирают воз-растающ,ую последовательность целых чисел О, / i, / j,. . . и для кг kr i полагают Bk = Bk - Далее может случиться, чта [c.136]

Метод Марквардта. При практическом использовании метода Гаусса — Ньютона в некоторых случаях оказывается, что Р х) очень медленно убывает вдоль направления р . Часто это связано с тем, что направление становится почти ортогональным градиенту g . Поэтому в работах [92, 93] предлагается модификация метода Гаусса — Ньютона. Основная идея ее изложена в Приложении Б. На итерации к поисковое направление находится по формуле [c.138]

Методы, не использующие производные. Рассмотрим алгоритм [94]. Идея его заключается в том, чтобы на основе метода Гаусса — Ньютона создать метод, пе требующий вьгаисления точных производных Конечно, можно было бы воспользоваться разностной аппроксимацией производных (1,51). Но это приведет к ряду трудностей, связанных с выбором Дх/ и с большим числом вычислений функции f [х). [c.139]

Покажем, что если rangBfe = га (тге >> га), направление, генерируемое алгоритмом X, окажется направлением, которое определяется методом Гаусса — Ньютона. Действительно, воспользуемся тем, что [c.141]

Таким образом, если методы Ньютона и Гаусса — Ньютона можно применять только для функций (систем), для которых rang Bk = И) то для алгоритма X это ограничение отпадает и данный алгоритм можно рассматривать как расширение алгоритма VHL В работе [96] предлагается способ отыскания псевдообратной матрицы В тех случаях, когда матрица первых производных не может быть задана, приводится метод получения аппроксимации [c.142]

Алгоритм метода. Метод максимального приближения, сформулированный впервыеМаркардтом [186], основан на комбинации достоинств метода Гаусса — Ньютона и метода градиента, соединяя в себе как быструю сходимость процесса решения по методу Гаусса— Ньютона вблизи точки искомого экстремума, так и быструю сходимость процесса решения по методу градиента для первых итераций при движении от исходной точки, соответствующей начальным приближениям искомых констант. [c.168]

Масштабирование рекуррентного уравнения. Значения шага найденные методом Гаусса — Ньютона [решение уравнения (111.83)] не зависят от масштаба пространства 7 (иI, и , щ) искомых констант, т. е. являются инвариантными относительно линейных преобразований этого пространства. И наоборот, значения А , найденные методом градиента, в значительной мере не инвариантны к масштабу пространства констант. Поскольку метод максимального приближения является комбинированным, объединяя в себе как свойства метода Гаусса — Ньютона, так и свойства градиентных методов, то желательно пространство II (и , и ,. . ., щ) промас-штабировать. [c.170]

GAUSS [70]—одна из первых опубликованных программ, использующих метод минимизации Гаусса — Ньютона. Это улучшенный вариант более ранней программы [16], применяв- [c.99]

S OGS. Эта модификация программы GAUSS [2 позволяет вычислять константы устойчивости по данным, полученным при кислотно-основном титровании растворов, в состав которых входит не более двух металлов и двух лигандов. Минимизируется функция, представляющая собой сумму квадратов отклонений значений титра, что позволяет использовать единичные веса [29]. Минимизирующий алгоритм основан также на методе Гаусса — Ньютона, и хотя в программу включено уменьшение, в 2 раза большее сдвигов параметров, и в этом случае справедливы те же замечания, что и для программы GAUSS. [c.100]

LEAST. Следующим усовершенствованием была программа LEAST [31], включающая минимизацию функции методами Гаусса — Ньютона и Ньютона — Рафсона. В последнем случае принимаются во внимание члены второго порядка ряда Тейлора (см. разд. 5.3). Минимизируемой функцией является сумма квадратов отклонений во всех трех уравнениях материального баланса по общим концентрациям иона водорода, металла и лиганда. Это позволяет точно вычислять производные, в то время как в ранее обсуждавшихся программах используются приближенные разности. При вычислениях концентрации свободного металла и свободного лиганда рассматривают как параметры, подлежащие оценке в каждой точке измерений наряду с константами устойчивости [31]. Тем самым программа отличается от большинства других, в которых указанные величины находят одновременным решением уравнений материального баланса по металлу и лиганду, используя значения констант устойчивости на данной итерации. [c.100]

В начале каждой итерации требуется определить концентрации частиц в системе. (Эта процедура необходима также при вычислении приближений разностей дифференциалов для констант устойчивости.) DALSFEK достигает этого при помощи метода итерации Гаусса — Ньютона на некоторых предполагаемых концентрациях, используя текущие значения констант устойчивости и данные по материальному балансу (общие концентрации). Подобные процедуры включены в ранее опубликованные программы для расчета равновесий в растворах [5,6]. [c.323]

Найти минимум функции Q при оценке параметров уравнений локального состава труднее из-за сильной нелинейности расчетных зависимостей. Точка минимума на поверхности Q. .., 0 ) часто лежит на узкой, слегка изогнутой лощине, вдоль которой численное значение функции меняется очень незначительно, и резко возрастает в направлениях в сторону от лощины. При такой форме поверхности отклика далеко не все методы поиска экстремума эффективны. Для расчета параметров моделей жидкости успешно применяют методы Марквардта, Ньютона, Нелдера — Мида и некоторые другие [129, 237]. Применение к расчету параметров метода Ньютона — Гаусса, сочетающего простоту расчетного алгоритма с достаточно быстрой сходимостью, описано в Приложении III (стр. 235). [c.213]

Сходимость метода Ньютона — Гаусса в среднем высокая, причем в большинстве случаев потребность в применении релаксационной методики не возникает. Обычное число итераций при оценке двух энергетических параметров моделей локального состава по данным для бинарной системы, при аналитическом расчете производных dFa ild j, составляет от 5 до 15. При численном расчете производных число итераций выше. Скорость сходи-мости падает с уменьшением степени неидеальности системы. [c.236]

Другой путь для общего случая решения состоит в совместном решении системы из 2п нелинейных уравнений. Максвейн и Дурбин [31 ] провели такое решение с использованием метода Ньютона — Рафсона в сочетании с решением матриц по способу Гаусса. [c.183]

Матричные методы расчета колонн многокомпонетной ректификации. Выделение этой группы методов возможно и несовсем правомерно, т,ак как, например, при использовании релаксационных методов задача также может быть сведена к решению систем линейных алгебраических уравнений методами матричной алгебры [227—250]. Впервые матричные методы в расчетах процессов ректифик,ации были использованы в работах [227, 228, 229], при этом системы уравнений, описывающие распределение температур, составов и величин потоков пара и жидкости по ступеням (разделения, решались независимо друг от друга методом Гаусса [238—243]. Матричные методы р,асче-та в свою очередь. различаются по двум основным признакам— методу решения систем уравнений математического описания, записанных б матричной форме, и используемым методом снижения размерности реш,аемой системы уравнений. Так был предложен метод сведения нелинейной системы уравнений к линейной, что вполне возможно при использовании метода Тилле—Гедеса для расчета распределения составов и метода Ньютона—Рафсона для определения температур на ступенях разделения [239]. Следует отметить, что реал.из,ац ия матричных методов, особенно в сочетании с методом Ньютона—Рафсона, требует использования ЭВМ с колоссальным объемом оперативных запоминающих устройств (необходимость хранения матриц коэффициентов систем уравнений и матриц величия частных производных от системы уравнений м,атематического описания по всем итерируемым переменным). Некоторое сокращение-размерности системы уравнений математического описания возможно лишь для случая расчета процессов ректификации идеальных смесей [228], но введение учета неидеальности смеси приводит к увеличению размерности задачи до первоначальной. Предлагалось также в сочетании с матричным методом расчета использовать концепцию реальной ступени разделения при введении заданной постоянной величины к. п. д. Мерфри [230]. Позднее матричные методы получили развитие в целом ряде работ [230—245]. В связи с широким использованием в расчетах процессов химической технологии методов квазилинеаризации эти методы нашли широкое применение и в расчетах процессов ректификации многокомпонентных смесей [241, 238, 239]. Так, например, метод квазилинеаризации позволяет существенно улучшить характеристики сходимости матричных методов расчета [237]. В пос- [c.56]

Кехат и Гитис [329] сопоставили различные алгоритмы расчета процесса экстракции по равновесным ступеням с использованием нелинейной модели равновесия, а именно алгоритм Хансона [330], основанный на расчете от ступени к ступени поочередно сверху вниз и снизу вверх с коррекцией итерируемых переменных после каждой прогонки, алгоритм Роче [328], основанный на классической форме метода Ньютона с применением метода Гаусса для обращения якобиана, и свой алгоритм [329], который представляет собой метод Ньютона с демпфирующим множителем и (0< г<1), который определялся с использованием метода Фибоначчи при /г = 7, и подпрограм-мо.й расчета начального приближения с использованием нелинейной интерполяции с переменной экспонентой Р<=(1 —1) ( — номер ступени, N—число ступеней). Результаты сравнения сведены в табл. (табл. 2). [c.167]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология