Алгоритм метода Гаусса

Решение систем линейных уравнений. Обусловленность систем. Методы Крамера, Гаусса, Зейделя. Алгоритмы методов 2 [c.158]

Для решения задачи (VII,8) можно использовать известный алгоритм минимизации функций многих переменных — метод нулевого порядка Гаусса — Зейделя. Следует, конечно, отметить, что метод Гаусса — Зейделя был развит и применялся для минимизации функций непрерывных переменных. Здесь же он будет использован для минимизации функции F целочисленных переменных. Однако это не должно приводить к каким-либо принципиальным затруднениям. [c.248]

Ниже приведена распечатка более совершенной программы для обращения матриц, в которой реализован известный из литературы алгоритм, основанный также на методе Гаусса — Жордана. Пусть читатель с помощью указанного литературного источника самостоятельно проанализирует этот алгоритм и программу. [c.200]

В настоящей главе рассмотрен ряд методов поиска экстремума целевой функции, использованных в различных алгоритмах оптимизации теплообменных аппаратов метод случайного поиска, методы сеток и спуска, метод Гаусса — Зейделя, метод независимого спуска с ранжированием переменных (предложен автором). Разработаны структуры, реализующие эти методы. Проведено сопоставление методов по их алгоритмической сложности. Показаны преимущества предложенного автором метода при оптимизации сложных целевых функций многих пере менных. Приведенные в главе структуры поиска экстремума являются обязательным элементом любых алгоритмов оптимизации теплообменников (см. главу 3). Они служат исходными данными при синтезе систем оптимизации промышленного теплообменного оборудования. [c.280]

Уравнение (5.2.16) представляет собой алгоритм метода Гаусса (Гаусса — Ньютона, Ньютона — Рафсона) для решения задачи о наименьших квадратах в нелинейном случае. Очевидно, что гессиан в уравнении (5.2.13) заменен аппроксимирующим произведением двух. матриц, составленных из первых производных, и что век- [c.159]

В настоящее время считается общепризнанным, что одним из средств преодоления этих трудностей является использование модифицированных методов исключения (типа метода Гаусса), специально ориентированных на учет разреженности матриц [28, 45, 232]). Это дает существенный эффект в экономии памяти ЭВМ и времени ее работы за счет 1) применения специальных способов хранения элементов матриц в форме списков , позволяющих фиксировать только их ненулевые элементы и без особых трудностей вносить изменения при появлении дополнительных ненулевых элементов 2) использования алгоритмов определения оптимального порядка исключения неизвестных, обеспечивающих минимизацию числа появляющихся новых ненулевых элементов и 3) проведения арифметических операций только с ненулевыми элементами. Вместе с тем имеются некоторые особенности реализаций данных приемов в нашем случае. [c.116]

В большинство общепринятых алгоритмов метода наименьших квадратов для расчета констант устойчивости входит уравнение (5.9) алгоритмы основаны на методах Ньютона — Гаусса — Рафсона. Эти методы подразделяются на две группы в зависимости от способа, которым обеспечивается уменьшение суммы квадратов 5 на каждой итерации. В первой группе масштабная корректировка или оптимизация поправочного вектора выполняется таким образом, чтобы обеспечить максимальное уменьшение S на каждой итерации. Это безусловно обеспечивает сходимость. [c.91]

Какой же алгоритм лучше всего использовать для вычисления констант устойчивости Ответить на этот вопрос не просто, поскольку проблема оценки параметров нелинейным методом наименьших квадратов в целом сложна. Традиционно в этой области (за двумя исключениями [35, 36]) используется либо метод Гаусса — Ньютона с процедурой оптимального сдвига Хартли [50] или без нее, либо метод Силлена [7], который в [c.92]

Методы расчета пламен с более сложной геометрией описаны лишь вкратце. Не рассматривался такой важный класс течений, как турбулентные реагирующие потоки. Вследствие неопределенности ряда параметров и трудностей с детальным описанием как газодинамики, так и механизма химических превращений они рассматриваются в основном умозрительно и более формально по сравнению с относительно простыми течениями, рассматривавшимися здесь. Они попадают в общий класс рециркуляционных течений (см. разд. 7.3), и для их расчета должны использоваться итерационные алгоритмы типа Гаусса — Зей-деля. Такие течения пришлось оставить вне поля зрения настоящей работы. [c.130]

Алгоритм решения трехдиагональной системы уравнений заключается в том, что последовательно исключаются поддиагональ-ные элементы матрицы системы (10—34) (элементы вектора А), а диагональные (элел1енты вектора В) приводятся к единичным. Одновременно вычисляются новые значения элементов векторов С и О. Как и в обычном методе Гаусса, прямым ходом матрица при- [c.255]

III. Алгоритм расчета параметров моделей жидкой фазы по методу Ньютона—Гаусса. [c.235]

III. Алгоритм расчета параметров моделей жидкой фазы по методу Ньютона—Гаусса. ....................... [c.343]

Для поиска X = x, x i,. . x d применим следующий итерационный алгоритм, по существу основанный на методе покоординатного спуска Гаусса — Зейделя. [c.304]

Обработку экспериментальных данных проводили по программе многомерного регрессионного анализа [75], предназначенной для нахождения арифметических средних, стандартных ошибок, коэффициентов корреляции и регрессии. При решении нормальных уравнений был использован метод исключения Гаусса, алгоритм решения нормальных уравнений заимствован из работы [76]. Решение проводили поэтапно в уравнение регрессии последовательно добавлялись члены, при этом из оставшихся добавлялся тот член, который проводил на данном этапе остаточную дисперсию к минимуму. [c.45]

Методы, не использующие производные. Рассмотрим алгоритм [94]. Идея его заключается в том, чтобы на основе метода Гаусса — Ньютона создать метод, пе требующий вьгаисления точных производных Конечно, можно было бы воспользоваться разностной аппроксимацией производных (1,51). Но это приведет к ряду трудностей, связанных с выбором Дх/ и с большим числом вычислений функции f [х). [c.139]

Покажем, что если rangBfe = га (тге >> га), направление, генерируемое алгоритмом X, окажется направлением, которое определяется методом Гаусса — Ньютона. Действительно, воспользуемся тем, что [c.141]

Данный алгоритм реализует метод Гаусса — Зейделя нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств на параметры оптимизации. Размерность оптимизируемого вектора Ут равна 2 для аппаратов типа А Ут = (Сх, ) или 1 для ап паратов типа В и С Ут = ((3х). П > решении аадачи статической оптимизации в качестве критерия оптимальности принимаются приведенные годовые затраты (Я), а при решении задачи приближения — разность между значениями длины трубчатки конденсатора, соответствующей набору Ук, УС, Ф, задаваемым технологическим параметрам X, текущему значению вектора Ут и значением нормализованной длины трубчатки,, к которому осуществляется приближение варьированием координат вектора Ут. Таким образом, в данной постановке алгоритм должен минимизировать выбранные критерии оптимизации. [c.136]

Для решения систем линейных уравнений в классическом МНК можно применять традиционные способы исключения методом Гаусса или Гаусса-Жордана. Однако более эффективно предварительное разложение матрицы X, например с применением таких алгоритмов, как разложение Хаусхолдера, Ш-разложение или сингулярное (8УВ) разложение. Использование одного из наиболее мощных алгоритмов, ЗУВ-разложения, рассмотрено ниже. [c.547]

Алгоритм метода. Метод максимального приближения, сформулированный впервыеМаркардтом [186], основан на комбинации достоинств метода Гаусса — Ньютона и метода градиента, соединяя в себе как быструю сходимость процесса решения по методу Гаусса— Ньютона вблизи точки искомого экстремума, так и быструю сходимость процесса решения по методу градиента для первых итераций при движении от исходной точки, соответствующей начальным приближениям искомых констант. [c.168]

S OGS. Эта модификация программы GAUSS [2 позволяет вычислять константы устойчивости по данным, полученным при кислотно-основном титровании растворов, в состав которых входит не более двух металлов и двух лигандов. Минимизируется функция, представляющая собой сумму квадратов отклонений значений титра, что позволяет использовать единичные веса [29]. Минимизирующий алгоритм основан также на методе Гаусса — Ньютона, и хотя в программу включено уменьшение, в 2 раза большее сдвигов параметров, и в этом случае справедливы те же замечания, что и для программы GAUSS. [c.100]

Найти минимум функции Q при оценке параметров уравнений локального состава труднее из-за сильной нелинейности расчетных зависимостей. Точка минимума на поверхности Q. .., 0 ) часто лежит на узкой, слегка изогнутой лощине, вдоль которой численное значение функции меняется очень незначительно, и резко возрастает в направлениях в сторону от лощины. При такой форме поверхности отклика далеко не все методы поиска экстремума эффективны. Для расчета параметров моделей жидкости успешно применяют методы Марквардта, Ньютона, Нелдера — Мида и некоторые другие [129, 237]. Применение к расчету параметров метода Ньютона — Гаусса, сочетающего простоту расчетного алгоритма с достаточно быстрой сходимостью, описано в Приложении III (стр. 235). [c.213]

Разработано много вариантов градиентного метода, обеспечивающих более быструю сходимость к оптимуму. Можно не определять направление градиента на каждом шаге, а перемещаться вдоль направления г° до тех пор, пока. функция Ф не начнет убывать, или до границы области. Этот вариант носит название метода наискорейшего спуска. Перемещение в пространстве переменных Х], хг,. .., х. может происходить не строго в направлении градиента, а вдоль любого допустимого направления, составляющего с градиентом острый угол (метод Гаусса — Зейделя, метод возможных направлений Зойтендей-ка). Сходимость на поверхностях сложных конфигураций (с хребтами, оврагами и седловыми точками) обеспечивается с помощью специальных алгоритмов [c.23]

Алгоритм решения методом Гаусса следующий. Пусть в исходной системе апФО и т=п [c.89]

Кехат и Гитис [329] сопоставили различные алгоритмы расчета процесса экстракции по равновесным ступеням с использованием нелинейной модели равновесия, а именно алгоритм Хансона [330], основанный на расчете от ступени к ступени поочередно сверху вниз и снизу вверх с коррекцией итерируемых переменных после каждой прогонки, алгоритм Роче [328], основанный на классической форме метода Ньютона с применением метода Гаусса для обращения якобиана, и свой алгоритм [329], который представляет собой метод Ньютона с демпфирующим множителем и (0< г<1), который определялся с использованием метода Фибоначчи при /г = 7, и подпрограм-мо.й расчета начального приближения с использованием нелинейной интерполяции с переменной экспонентой Р<=(1 —1) ( — номер ступени, N—число ступеней). Результаты сравнения сведены в табл. (табл. 2). [c.167]

Таким образом, если методы Ньютона и Гаусса — Ньютона можно применять только для функций (систем), для которых rang Bk = И) то для алгоритма X это ограничение отпадает и данный алгоритм можно рассматривать как расширение алгоритма VHL В работе [96] предлагается способ отыскания псевдообратной матрицы В тех случаях, когда матрица первых производных не может быть задана, приводится метод получения аппроксимации [c.142]

Гешать системы линейных уравнений можно обычными точными методами, например известным алгоритмом Гаусса последовательного исключения неизвестных. [c.218]

Решить систему уравнений (II. 188) можно различными методами [131а], реализуемыми, как правило, в виде стандартных программ для ЭВМ. Например, при помощи алгоритма Гаусса [131а, 131] решение системы уравнений (11.188) можно записать следующим образом [c.90]

Помимо рассмотренной выше формы уравнений состояния сетн в вкде узловых уравнений и помимо прямого метода их решения с помощью алгоритма Гаусса, существуют другие формы, методы и алгоритмы решения той же задачи [7]. Выше рассмотрен лишь наиболее распространенный подход. [c.160]

НЫХ Производных приводит к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, во времени. После расщепления системы по схеме Гаусса аналогично тому, как описано в разд. 4.3, эти уравнения могут быть проинтегрированы численно любым стандартным методом, например одним из вариантов метода Гира для жестких систем.. Ниже будет также обсуждаться алгоритм, не использующий расщепления системы уравнений. Начальные значения коэффициентов получаются при подстановке разложений (6.1) и (6.2) в начальные условия, в том числе в начальные профили концентрации во всех т точках коллокации (ср. разд. 4.2.1). [c.104]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология