Правильные многогранники

Рис. 11.11. Правильные многогранники с треугольными гранями а) тетраэдр Г, 6) октаэдр О, в) икосаэдр

Значения координационного числа обычно соответствуют числу вершин в правильных многогранниках (тетраэдр — 4, октаэдр — 6, куб — 8, додекаэдр — 12) или в простейших правильных плоских фигурах (отрезок прямой линии — 2, равносторонний треугольник — [c.17]

Пять правильных многогранников показаны на рис. 2-70, а их геометрические характеристики приведены в табл. 2-3. Вейль [10] считает, что существование тетраэдра, куба и октаэдра является весьма тривиальным геометрическим фактом. Однако он же подчеркивает, что открытие правильных додекаэдра и икосаэдра было, несомненно, одним из наиболее выдающихся и прекрасных открытий, сделанных на протяжении всей истории математики . Но вопрос, кто первым построил правильные полиэдры, согласно Кокстеру [48], звучит приблизительно так кто первым разжег огонь [c.82]

Элементы правильных многогранников [c.89]

Часть из этих групп является аксиальной (группы содержат только оси симметрии), в других добавляются плоскости и центр симметрии. Эти группы являются группами или подгруппами симметрии правильных многогранников тетраэдра, октаэдра и икоса- [c.52]

Различают два типа координационных сфер открытые и закрытые. В открытых структурах ион металла не экранирован полностью лиганда.ми и доступен извне. Типичны два ряда открытых конфигураций плоские правильные многоугольники с атомом металла в центре и правильные пирамиды с атомом металла в вершине. Лиганды в них сближены сильнее, чем в правильных многогранниках с тем же КЧ. [c.160]

Изомерия закрытых форм. Е -ажнейшие закрытые конфигурации с полностью равноценными лигандами — это или правильные многогранники (тетраэдр при к. ч. 4 октаэдр при к. ч. 6 куб при к. ч. 8 додекаэдр, икосаэдр), или призмы и антипризмы для четных координационных чисел (6, 8, 10 / и 12), соответственно три-, [c.104]

Платоновыми телами называют пять правильных многогранников — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. — Прим. перке. [c.164]

Если определение правильных многогранников не ограничивать выпуклыми фигурами, то их число возрастет с пяти до девяти. Дополнительные четыре фигуры показаны на рис, 2-75, а подробные сведения об этом можно найти, например, в книгах [48, 53]. Их общее название-звездчатые многогранники. [c.88]

Простейшие полуправильные полиэдры получаются из правильных путем симметричного усечения их вершин. Таковы усеченные правильные многогранники, помечснЕше в табл. 2-5 верхним индексом а . Два из полуправильных многогранников занимают особое место и называются квазирегулярными они помечены в табл. 2-5 верхним индексом 6 . Оба многогранника имеют два вида граней, и каждая грань одного вида целиком окружена гранями другого вида. Остающиеся шесть многогранников могут быть выведены из предыдущих случаев. [c.89]

Трудности, возникающие при рассмотрении пяти электронных пар в валентной оболочке, еще усиливаются при переходе к случаю семи электронных пар. Здесь снова различные конфигурации лигандов не отличаются резкими изменениями в энергии, как это наблюдается для ближайших координационных соседей, т. е. с числом заместителей шесть и восемь. Нет никакой возможности разместить семь эквивалентных точек в вершинах правильного многогранника, хотя общее число полиэдров с семью вершинами достаточно велико и равно 34 [82]. Однако ни один из них не выделяется по своей относительной стабильности от других. Некоторые из возможных конфигураций показаны на рис. 3-69. Между ними могут происходить быстрые перегруппировки. [c.157]

Икосаэдрическая упаковка. Наиболее симметричное расположение-это размещение 12 шаров в вершинах правильного икосаэдра-единственного правильного многогранника с 12 вершинами. Таким образом, икосаэдрическая упаковка является наиболее симметричной. Однако это не плотнейшая упаковка. Шары в таком расположении удалены друг от друга дальше, чем в любом другом. К тому же это не кристаллографическая упаковка. При совместной упаковке икосаэдры не образуют плоскую поверхность, а постепенно изгибаются и в конце концов образуют замкнутую систему, показанную на рис. 9-31 [36]. [c.445]

Для определения коэффициента лобового сопротив- пользоваться формулой ления частиц любой изометрической формы (формы правильного многогранника) при всех режимах обтекания 28,47 И. А. Вахрушев [95] рекомендует обобщенную формулу [c.430]

Все минеральные индивиды условно разделяются на две группы 1) правильные многогранники — идиоморфные-, [c.45]

Поэтому существует бесконечное число способов расположения двенадцати шаров, и наиболее симметричное из них — размещение шаров в вершинах правильного икосаэдра — единственного правильного многогранника с 12 вершинами. Длина ребра правильного икосаэдра примерно на 5% больше расстояния от центра до вершины, так что каждый из 12 шаров внешней оболочки соприкасается только с центральным шаром. (И наоборот, для того чтобы каждый из 12 шаров в икосаэдре касался центрального шара н в то л е время находился в контакте с пятью соседними шарами, центральный шар должен иметь радиус 0,902, если радиус внешних шаров принять за единицу.) Икосаэдрическое расположение ближайших соседей вокруг центрального не приводит к периодической трехмерной упаковке шаров, но представляется достаточно интересным для того, чтобы [c.179]

Труба в п-стороннем правильном многограннике с размером грани а [c.31]

Перечисленные особенности в морфологии кристалла не могут найти убедительного объяснения в рамках обычных представлений о термодинамике фазовых превращений. В самом деле, форма кристалла новой фазы обычно связывается с его поверхностным натяжением. Такая точка зрения приводит к выводу, что выделение новой фазы должно всегда иметь форму правильного многогранника [149]. При этом остаются непонятными наиболее интересные и наиболее распространенные случаи, когда выделения имеют форму пластин или игл (такие формы не могут быть объяснены чисто кинетическими причинами, так как пластинчатые и игольчатые включения существуют в течение времен, достаточных для достижения равновесных форм). Еще более непонятным представляется существование правильных сеток, образуемых выделениями если пользоваться классическими представлениями термодинамики фазовых превращений, то свободная энергия любой двухфазной системы зависит от суммарных объемов каждой из фаз и от площади границ включений и не зависит от их взаимного расположения. В такой ситуации распределение включений должно быть хаотическим. [c.193]

Тетраэдран, (СН)4, должен был бы быть простейшим полицикли-ческим углеводородом, имеющим строение правильного многогранника (рис. 3-32). Однако его синтез, видимо, неосуществим из-за чрезмерной энергии напряжения и легкости подхода со стороны атакующих реагентов. Тем не менее удалось получить его производное - тетра- г >ет-бу-тилтетраэдран [26]. Это вещество обладает поразительной устойчивостью, возможно, в силу того, что заместители помогают сдерживать молекулу от распада. [c.125]

Простейшим вариантом фильтрующих элементов с бумажными горизонтальными гофрамн является поперечно-гофрированный (рис. 44, г), например отечественный фильтрующий элемент ФЭМП-6, разработанный для дизельных двигателей большой мощности. Более сложную конструкцию имеют поперечно-складчатые фильтрующие элементы (рис. 44, в), сложенные в многоступенчатую гармошку, имеющую в плане вид правильного многогранника. В последнее время получили раопространение фильтрующие элементы со спиральным расположением бумажных гофров (рис. 44, ие). [c.263]

Координационное число. Первоначальное понятие валентности ока - а./ ось недостаточным для установления природы более сложных соединений, чем рассмотренные выше. В связи с этим А. Вер-нор г> 1893 г. ввел в химию понятие координационного числа, кото-]К1е соответствует числу атомов нли групп, пепосредственно связанных с атомом, считаюш нмся в молекуле центральным. Понятие координационного числа оказалось чрезвычайно плодотворным. Значение координационного числа обычно соответствует числу всрнпш в правильных многогранниках (тетраэдр — 4, октаэдр — [c.53]

ММ С одной главной осью симметрии п (бесконечные наборы групп п = 1, 2.. . . . оо) С несколькими высшими ооями симметрии и > 2 (точечные группы правильных многогранников) [c.51]

Теория кристаллического поля. В применении к комплексным соединениям теория кристаллического поля исходит из следующих предпосылок связь центральный ион — адденд носит электростатический характер адденды, располагающиеся вокруг центрального нона в вершинах правильных многогранников, представляют собой точечные заряды или диполи и создают вокруг центрального иона электростатическое поле. Причем, одни адденды отличаются от других только величиной этого поля при рассмотрении поведения центрального иона в поле учиты- [c.253]

В плоских многоугольниках и пирамидах при к. ч. больше 3 лиганды сближены сильнее, чем в правильных многогранниках с тем же к.ч. Координационные сферы, представляющие собой плоские многоугольники с к. ч. больше 6, не способны к существованию во-первых, из-за того, что однотипные лиганды с одинаковым эффективным зарядом и не связанные друг с другом химической связью, расталкиваются и, во-вторых, из-за расталкивания электронных облаков валентных орбиталей и.ентрального атома. Это же справедливо и для пирамид. Угол а в них меньше, чем в соответствующем плоском многоугольнике, поэтому расталкивание начинает проявляться здесь еще раньше. [c.102]

Еще Б IV столетии до Рождества Христова Платон установил, что могут существовать пять и только пять правильных многогранников тетраэдр, к , октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Восхищенный уникальной геометрией этих тел, он связал четыре из них с главными философскими началами материи, образующими Мир Огнем (тетраэдр). Землей (куб), Воздухом (октаэдр) к Водой (икосаэдр). Во времена Средневековья и Ренессанса геометрическое совершенство и красота Платоновых тел волновала умы философов и ученых. В эти столетия Совершенство и Гармония представлялись важнейшими мотивами, характерными для сотворенной Богом Вселенной. Поэтому значительные усилия бьыи приложены к тому, чтобы обнаружить Элементы Совершенства в Природе и найти способы связать Совершенство тех или иных конкретных явлений с Законами Вселенной как целого (примерно так же, как для современного физика-теоретика идеальной целью является свести основные параметры Мира к трем мировым константам скорости света, константе Планка и гравитационной постоянной). Естественно для мышления того времени самому существованию Платоновых многогранников ( совершенных тел ) придавали некий мистический и многозначительный смысл. Не приходится удивляться в этом историческом контексте, что такой выдающийся астроном, как Иоганн Кеплер (1571-1630), серьезно пытался построить орбиты пяти известных в его время планет на основе геометрии пяти Платоновых тел, прежде чем пришел к трем фундаментальнътм законам небесной механики (законам Кеплера, послужившим с свою очередь Ньютону основой для формулировки закона всемирного тяготения). [c.370]

Кроме правильных многогранников имеются еще различные семейства полиэдров с убывающей степенью регулярности [48, 53, 55]. Так называемые полуправильные, или архимедовы, многогранники подобны Платоновым телам в том отношении, что все их грани правильные многоугольники, а все их вершины совместимы. Однако не все многоугольники, образующие их грани, одинаковы. Тринадцать подобных многогранников перечислены в табл. 2-5, а некоторые из них показаны на рис. 2-76. В табл. 2-5 также приводятся их поворотные оси. [c.89]

В первом издании своей книги Правильные политопы [ 12] Кокстер утверждал, что ... основной побудительный мотив при исследовании правильных многогранников остался таким же, как и во времена пифагорийцев, и он состоит в эстетической привлекательности этих симметричных форм . Успехи современной химии, изучающей молекулы, не уменьшают справедливость этого суждения. Даже наоборот нет никакого сомнения, что эстетическая привлекательность этих систем немало способствовала быстрому развитию той области, которую можно было бы назвать химией полиэдров. [c.118]

В фуллеренах атомы зтлерода связаны многоцентровыми связями. При этом образуются правильные многогранники, в вершинах которых располагаются атомы. Наиболее характерны системы, содержащие 60 или 70 атомов, представляющие собой практически сферические частицы (рис. 24.2). [c.304]

На рис. 10.14 показана форма зоны Бриллюэна для гране-цситрированной кубической решетки, структурой которой обладают многие металлы. Это правильный многогранник с гексагональными и квадратными гранями. Поверхности постоянной энергии вблизи дна первой зоны примерно сферической формы, как показано на рис. 10.14, 1, что находится в согласии с моделью свободных электронов, но наверху зоны они искажены многогранником, как показано на рис. 10.14, б. Точки зоны с наибольшей энергией соответствуют вершинам многогранника. [c.234]

В литературе описаны различные схемы вывода возможных кристаллографических видов симметрии и образуемых последними правильных групп точек, а, следовательно, правильных многогранников. Общеприняты две системы обозначений видов симметрии по Шенфлису и по 1Т, которые используются одновременно. По Шенфлису циклический вид симметрии, имеющий только одну ось симметрии, обозначается С. При наличии горизонтальной плоскости симметрии добавляется индекс Л, при наличии вертикальной - индекс V. Если помимо одной поворотной оси имеются и другие элементы симметрии, вводится обозначение О. При наличии поворотных и инверсионных осей - D (в данном случае их пять), при наличии горизонтальной плоскости симметрии - Д-/,. Объемноцентрированная двукратнопримитивная структура обозначается /. Икосаэдрическая структура с горизонтальной плоскостью симметрии - //,. [c.127]

Кроме пяти выпуклых правильных многогранников существуют четыре звездчатых многогранника, получаемых при продолжении до пересечения гра-ней выпуклых многог раппнков. [c.90]

S2P( 2H5)2) [2]. Возможно, естественно, и образование метал-лоциклов большего размера, как, например, в тетрамерном изо-пропилксантате цинка [3]. В разд. 19.6.15 были приведены схемы строения двух различных типов цепей в соединениях цинка. Если все лиганды дают по две мостиковые связи, то может возникать слой, в котором атомы Zn имеют по 4 связи, простейшей моделью которого является плоская сетка 4 (рис. 26.4,6). Эта структура осз ществляется в этилксантатах цинка, кадмия и ртути [4]. Тетраэдры S4, образуемые вокруг атома металла, в ряду соединений Zn, d, Hg все более отклоняются от правильного многогранника, что можно увидеть из сравнения наибольшего и наименьшего значений углов между тетраэдрическими связями, составляющими 115, 121, 148 и 103, 94, 84°. В соединениях ртути длины связей, образующих наибольший угол, составляют 2,42 А, а прилегающие к наименьшему углу имеют в среднем длину 2,82 А. [c.295]

Чтобы избежать указанных недостатков метода быстрейшего спуска, было предложено много новых численных методов нелинейного программирования методы решетки , параллельных линий , ортогональното преобразования пространства независимых переменных , последовательных симплексов , случайного поиска , тяжелого шарика , овражный и др. Некоторые из них, например методы последовательных симплексов и случайного поиска, особенно удобны для использования в вычислительных машинах. По методу последовательных симплексов движение осуществляется перекатыванием правильного многогранника (симплекса) в пространстве независимых переменных. В одном из вариантов случайного поиска из некоторой начальной точки делаются шаги заданной длины в случайном направлении. Если какая-то проба оказалась удачной. То полученная точка рассматривается как начальная при следующем шаге и т. д. [c.132]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология