Ошибка оценки среднего значения

При оценке правильности или воспроизводимости результатов необходимо различать понятия об абсолютной и относительной ошибках. Абсолютной ошибкой называют разницу в абсолютных цифрах между полученным результатом и истинным (или наиболее достоверным) или средним значением. Относительной ошибкой называют отношение обычно в процентах) абсолютной ошибкой к истинному или среднему) значению. [c.480]

Стандартное отклонение среднего результата, выборочную дисперсию среднего значения, доверительный интервал и точность определения используют для различных статистических расчетов. При оценке точности полученных результатов вычисляют стандартное отклонение среднего результата (среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического) [c.195]

Формулы (2.41) и (2.42) отражают ту же самую зависимость случайной ошибки от Л , Г и В, что и аналогичные формулы для оценок среднего значения и среднего квадрата из табл. 2.1. Но в этом случае в знаменателе Вг появляется дополнительный член, а именно ширина интервала Ах, а в формуле для систематической ошибки (2.40) Ах стоит в числителе. Поэтому при выборе значения Д с для оценивания плотности всегда [c.52]

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности. Чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию Фишера (см. гл. II, 11). Если рассчитанное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то влияние рассматриваемого фактора нет оснований считать значимым. Если же рассчитанное значение критерия Фишера окажется больше табличного, то рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних. В дальнейшем будем полагать, что выполняются следующие допущения 1) случайные ошибки наблюдений имеют нормальное распределение 2) факторы влияют только на изменение средних значений, а дисперсия наблюдений остается постоянной эксперименты равноточны. [c.75]

Проведенная специально оценка воспроизводимости результатов показала, что отклонения отдельных измерений от их среднего значения не превышают 2,5% при подъеме температуры в калориметре на 0,1° вероятная ошибка отдельного измерения не превышает 1,6%. [c.96]

Хорошее перемешивание реагирующих фаз при высоте рабочей зоны колонны около 15 м делает малоэффективной установку в колонне устройств, предназначенных для дополнительного перераспределения внутренней циркуляции потоков газа и жидкости. Были проведены сопоставительные испытания двух промышленных колонн диаметром 2,2 м и высотой рабочей зоны 14—15 м одна из колонн была пустотелая, другая — снабжена рассекателями, представляющими собой смонтированные под углом 45° к горизонтальной плоскости и расходящиеся из центра стальные пластины. Сравнение сделано для битумов с температурой размягчения по КиШ, равной 53 4 °С, при температуре окисления 280 5°С и расходе воздуха 3400 100 м /ч. В результате установлено отсутствие значимой разницы между средними квадратичными ошибками и средними значениями измерений содержания кислорода в испытуемых колоннах (оценка по критериям Фишера и Стьюдента). Следовательно, эффективность обеих колонн одинакова [82]. [c.59]

В первую строку матрицы планирования всегда вписывают MI2 раза символы + и Л1/2 — 1 раза символы —. Вторую и последующие [М — 1)-е строки матрицы образуют простой перестановкой индексов. В последней М-й строке записывают индексы только нижнего уровня. Оценка каждого планирования основана главным образом на проверке средних значений по -критерию. Для этого по результатам опыта рассчитывают среднюю квадратичную ошибку. Соответствующий пример рассмотрен ниже. [c.38]

Частицы неправильной формы. Близкое совпадение кривых на рис. Х1У-8 для частиц разных правильных форм дает уверенность в том, что линейный размер Ь, определенный уравнением (XIV, 13), можно применять к частицам любой формы. Таким образом, в случае частиц неправильной формы среднее значение трех кривых, приведенных на рис. Х -8, может быть использовано для оценки е с ошибкой, вероятно, менее 10%. [c.423]

Этот критерий хорошо работает тогда, когда различия между классами в первую очередь определяются различиями в некоторых средних значениях. Если все средние значения одинаковы, т. е. Ф = О, возможность дискриминации все же имеется из-за отличия в моментах более высоких порядков. Это принципиальная трудность работы со всеми критериями для выявления и отбора признаков, которые основаны на ошибке классификации они могут давать максимальные значения в неоптимальных ситуациях и могут оказаться минимальными в полезных ситуациях. Критерием оценки важности /-Г0 признака для дискриминации классов I и V служит критерий Фишера [c.248]

Сравнительная оценка энергий активации трубных сталей в растворах солей угольной кислоты для различных сталей трубного сортамента, проведенная в лабораторных условиях УГНТУ, показала их практическое равенство в пределах ошибки эксперимента. В условиях эксперимента, очевидно, не были учтены все условия эксплуатации. Поэтому было проведено прямое определение энергии активации процесса по результатам реальных отказов магистральных газопроводов. Ее среднее значение для различных труб оказалось равным 2670 кал/моль. По порядку величины полученное значение совпало с ранее определенной И. Г. Абдуллиным в лабораторных условиях величиной [1]. Табулированные значения F(T) приведены в табл. 1.5. [c.55]

Результаты измерений обычно содержат случайные ошибки, поэтому статистич. оценки вьшолняют только при наличии серии измерений-т. наз. случайной выборки. Для оценки измеряемого значения к.-л. величины или исследуемой зависимости ее от внеш. условий по данным выборки рассчитывают т.наз. выборочные параметры, характеризующие статистич. распределение ошибок в проведенном эксперименте. Такое распределение, как правило, подчиняется т. наз. нормальному закону, конкретный вид к-рого определяют два параметра-выборочное среднее и выборочная дисперсия (см. ниже). [c.323]

Квадратичные правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия (4 4 11) квадратична по параметру 6 В более общем случае, если модель линейна по параметрам, а ошибки распределены по нормальному закону, логарифмическая функция правдоподобия является квадратичной формой от параметров 9г. Следовательно, функция правдоподобия сама является многомерным распределением, и ее можно описать с помощью средних значений (выборочных оценок максимального правдоподобия) и матрицы ковариаций этого распределения Из (3 1 19) мы видим, что матрица вторых производных [c.154]

В табл 6 1 представлены характеристики, полученные из выборочных спектров, сосчитанных по 50, 100, 200 и 400 членам Поскольку теоретический спектр равен константе, флуктуации Сгг(/) можно охарактеризовать, сосчитав среднее значение, дисперсию и среднеквадратичную ошибку величин С,г ) при изменении частоты Видно, что для каждого из рядов среднее значение близко к единице— теоретическому спектру Следовательно, значения Сгг(/) группируются около некоторой центральной величины Однако, как видно из табл 6 1, дисперсии не уменьшаются с ростом N, что говорит о том, что выборочные оценки спектра, сосчитанные по 100, 200 или 400 членам, не лучше оценки, сосчитанной по 50 членам [c.258]

Статистические ошибки счета. При использовании счетчика с известной эффективностью счета (см. ниже) измеренное число распадов в единицу времени никогда не равно средней скорости, определяемой основным законом распада, но колеблется около нее с некоторой статистической погрешностью. Это происходит от того, что каждый акт распада является независимым случайным событием. Измеренная интенсивность счета приближается к среднему значению только при очень большом количестве импульсов. Для Оценки точности измерения ограниченного числа [c.140]

Основная ошибка различных исследователей лежит не в точности измерения локальных температур, а в оценке среднего температурного напора, который следует определять методом графического интегрирования экспериментально полученной температурной кривой, а не как среднее логарифмическое значение из начальных и конечных разностей температур. [c.60]

Здесь осредненная по времени концентрация обозначена через с, а через с — флуктуация около среднего значения. Величина называемая коэффициентом вихревой диффузии , является функцией скорости сдвига. Определение коэффициента вихревой диффузии составляет основную задачу экспериментальных исследований. Разумно предположить, что импульс и масса переносятся в турбулентных потоках аналогичным образом— с помощью механизма турбулентных пульсаций. Вот почему для оценки используются те же самые гипотезы, что и для оценки вихревой вязкости [112]. К сожалению, эти гипотезы содержат ряд эмпирических констант, определение которых может оказаться неточным, что может привести к серьезным ошибкам при вычислении коэффициентов массопереноса. [c.123]

Чтобы смысл установления контрольных пределов стал более ясным, рассмотрим данные, сведенные в табл. 52. Для нормального распределения ошибок средняя величина диапазона значений подгрупп с увеличением числа наблюдаемых групп приобретает все большее значение для оценки стандартной ошибки совокупности. Умножение среднего значения диапазона [c.605]

Для оценки точности наблюдения по квадратичной ошибке среднего значения сравнивают ее с точностью отсчетов на применяемых приборах. Если она лежит в пределах точности отсчетов, го измерения проведены удовлетворительно. [c.14]

Выборочная дисперсия среднего значения и средняя квадратичная ошибка среднего арифметического. Для оценки воспроизводимости полученных результатов вычисляют также выборочную дисперсию среднего значения (среднего результата) [c.267]

Точность анализа характеризуется рассеянием результатов анализа относительно их среднего значения. При оценке точности нужно указывать 1) внутрилабораторную ошибку воспроизводимости, полученную аналитиком в [c.26]

Рассмотрим в качестве примера применение г-критерия для оценки совместимости следующих четырех параллельных определений 8102 мартеновском шлаке 28,6, 28,3 28,4 и 28,2%. На стр. 39 и 45 для этих результатов было подсчитано среднее значение и квадратичная ошибка, которые оказались равными ж = 28,38, 5д. = 0,17. Произведем подсчеты, необходимые для применения г-критерия [c.170]

В полуколичественных методах анализа руд и минералов, в которых содержание элементов определяется визуальным сравнением почернения линий (появления линий) в спектрах анализируемых и эталонных проб, результаты анализов представляются в виде шкалы интервалов концентрации определяемых элементов (например, 0,001—0,003—0,005—0,01—0,03— 0,05—0,1—0,3—0,5—1% и т. д.). Следовательно, полуколичественный анализ руд и минералов приводит фактически к сортировке проб в зависимости от содержания исследуемого элемента по клеткам шкалы интервалов концентраций. Так, например, если истинное содержание меди в пробе составляет 0,007%, то спектральный анализ считается правильным, если проба отнесена к интервалу концентраций 0,005—0,01, и ошибочной, если проба отнесена к любому другому интервалу концентраций. При таком способе оценки содержания определяемых элементов в пробах точность очень невелика. Опыт показывает, что при многократном анализе одного и того же эталона ошибка определения составляет около 50% и более от среднего значения определяемого элемента (истинного содержания элемента) в эталоне. Примерно такого же порядка ошибки имеют место и при анализе проб с тем же минералогическим составом, что и эталон. Величина ошибок значительно возрастает, когда приходится анализировать пробы, более или менее отличающиеся по минералогическому составу от основы эталона (или неоднородные пробы). [c.161]

В зависимости от ряда факторов, характеризующих состояние поверхности металла и грунта, стационарный потенциал стали может отличаться от среднего значения на 0,2 В. Если амплитуда колебаний разности потенциалов труба— земля соизмерима с этой величиной, возможна ошибка в оценке коррозионной опасности на трубопроводе. Ошибки можно избежать, если обработку диаграммной ленты производить относительно показаний прибора в период отсутствия блуждающих токов. На диаграммной ленте это обычно прямая линия. [c.108]

Например, если вб = 0, 1, то это значит, что оценка в среднем на 10% больше, чем <р. Если 8г=0,1, то это значит, что разброс 1ф относительно среднего значения оценки имеет среднеквадратичное отклонение, равное 10% значения <р. Нормированная ошибка гг часто называется коэффициентом вариации оценки. [c.50]

Результатами расчета являются матрица преобразованных переменных средние значения, средние отклонения, среднеквадратичные отклонения, третьи моменты, коэффициенты асимметрии, аналоги эксцесса, корреляционные матрицы для исходных и преобразованных переменных и для математической модели и оценки коэффициентов и остаточные ошибки уравнения регрессии, критерии значимости коэффициентов (по Фишеру и Стьюденту), критерии Фишера для проверки информационной способности уравнения, критерии Смирнова — Груб-бса для автоматического отбрасывания грубых ошибок эксперимента или опечаток, остатки (отклонения результатов вычисления по уравнению от результатов наблюдений), критерий Мизеса для проверки нормального распределения остатков. [c.14]

Часто для оценки точности применяемой методики ставят специальную серию опытов, многократно повторяя анализ одной и той же пробы. На проведение большой серии опытов требуется много времени, в течение которого может неконтролируемым образом измениться среднее значение результатов анализа. Значительно проще и удобнее определять ошибку воспроизводимости по текущим измерениям. [c.33]

Заметим, что в том случае, когда высота осреднения (zr) больше, чем высота излома h , то D , определяемый формулой (38), изменяется в пределах от 0,5 до k h . Поэтому, если за принять величину 0,75 kyh , то ошибка при оценке среднего значения Dj не будет превосходить 25%. Что же касается усреднения величины скорости ветра, то при логарифмической зависимости изменение ее с высотой невелико. Так, если = 1 м, а Zq = 1 см, как принято в расчетах М. Е. Берлянда, то на высоте 10 м ы = 1,5 а на высоте 200 м и = 2,2 щ (и — скорость ветра на высоте 1 м от поверхности земли). Поэтому, если принять за среднее значение величину 1,8 щ, то в пределах от 10 до 200 м отклонение от среднего значения не будет превышать 20%. [c.110]

Использование статистических методов для оценки ошибки и интерпретации результатов — это использование лишь простейших приемов. Математическая статистика приносит наибольшую пользу тогда, когда эксперимент ставится наилучшим образом. Эта проблема — проблема наилучшего планирования эксперимента так же решается при помощи математической статистики. Планирование эксперимента применяют, как для решений простейших вопросов, таких, например, какое наилучшее число нараллельных определений для оценки среднего значения, так и для сложных задач, например для постановки совместного опыта. Поэтому математическую ста- [c.220]

С целью выяснения причин расхождения и факторов, влияющих на него, была исследована воспроизводимость результатов юпределения пористости, для чего привлекались данные по тем же образцам, полученные по той же методике, но в другой лаборатории и в другое время. Рис. 4 дает картину такого сопоставления пористости. Видно, что и на зтом графике наблюдается довольно значительный разброс точек. Коэфициент корреляции R = 0,95, значения среднеквадратичного отклонения и средней относительной ошибки соответственно / = 1,59%, Р=10,2%. Из этого сравнения видно, что эталонный метод сам по себе характеризуется достаточно высокой степенью погрешности. Разница в относительной ошибке оценки пористости между методами (2,7%) намного меньше, чем относительная ошибка эталонного метода. Это позволяет сделать вывод о том, что пористость метолом ЯМР определяется не хуже, чем обычными методами. [c.107]

Как было показано в разд. 44.3, при измерении какого-либо параметра различными аналитическими методами происходит небольшой,, но неизбежный случайный разброс результатов. При оценке результатов измерений, например, методами, приведенными в разд. 44.7, этот разброс тем или иным образом сказывается на результатах анализа. Из данных по случайному разбросу результатов анализа эталонной пробы можно определить случайный разброс, или точность, метода анализа, а из отклонения среднего значения от известного теоретического найти лравильность, или систематическую ошибку, метода. Если аналогично оценить операции отбора пробы и подготовки ее к анализу, то можно сделать соответствующие выводы о методе анализа в целом. Эти выводы имеют особенно важное значение для аналитической практики, но на их получение тратится много времени, поскольку необходимо осуществить весь ход анализа. Часто соответствующие рекомендации касаются только принципа проведения анализа или в лучшем случае собственно метода [c.461]

Можно показать [4], что если нет никакой причины предполагать а prion, что какое-нибудь одно значение 0 более вероятно, чем другие, то оценка ), соответствующая выборочной оценке среднего правдоподобия (4 4 15), является оценкой с наименьшей среднеквадратичной ошибкой при любом объеме выборки Это не означает, что для всех значений б выборочная среднеквадратичная ошибка этой оценки равномерно меньше, чем для любой другой оценки Это значит лишь, что после усреднения по всем значениям 0 полученная полная среднеквадратичная ошибка будет наименьшей [c.156]

Заметим, что, даже еслп бы оценки Lio(/) и Qi2( ) были несмещенные, оценки (9 2 12) — (9 2 14) все равно имели бы смещение. Однако это смещение было бы мало но сравнению со смещением, вызванным огсеченисм концов взаимной корреляционной функции и ее несил1метрнчностью относительно нуля Поэтому можно считать, что среднеквадратичная ошибка из-за этого не увеличится Так как все оценки (9 2 1 ) — (9 14) являются нелинейными функциями от оценок Lio(j), Qi2(f), Сц(/), 22U), то для нахождения их моментов нужно разложить эти нелинейные функции в ряд Тейлора, как показано в разд 3 2 5 и в [2] В качестве примера найдем среднее значение и дисперсию сглаженной оценки взаимного амплитудного спектра (9 2 12) [c.139]

В 1961 г. Волд теоретически рассмотрел влияние покрытия сферических частиц слоями веществ, различающихся значениями константы Гамакера, на энергию взаимодействия модифицированных частиц в органической среде [22]. Неожиданно было найдено, что минимум энергии притяжения наступает тогда, когда значение константы Гамакера оболочки частицы отличается от значения константы среды (так называемый эффект Волда). В последующем анализе рассмотренного вопроса [23] в оригинальной работе была обнаружена алгебраическая ошибка, и было дано правильное значение константы Гамакера поверхностного слоя частицы, при которой реализуется минимум энергии притяжения. Эта новая оценка позволила рассматривать частицу совместно с ее оболочкой как составную. При подходящих значениях константы Гамакера оболочки среднее значение константы для составной частицы оказывается более близким к значению, соответствующему дисперсионной среде, чем это было бы для голой частицы. Таким образом, реальная сила притяжения оказывается уменьшенной и в этом случае так же, как это имеет место для [c.23]

При оценке экспериментального материала ужно принять во внимание, что точность, с которой определены ступенчатые константы, существенно различается для разных систем аммиачных комплексов. В случае комплексов меди (II), для которых по различным причинам ступенчатые константы определены с самой высокой точностью, вычисленные значения остаточного эффекта непрерывно увеличиваются с числом присоединенных молекул аммиака. Это, вероятно, следует рассматривать как экспериментально установленный факт. Однако ступенчатые константы для систем комплексо кадмия, кобальта (II), никеля и цинка едва ли известны с достаточной точностью, чтобы сделать надежное заключение относительно изменения величины остаточного эффекта. [Это особенно справедливо для системы комплексов цинка, где остаточный эффект отрицательный и поэтому определен довольно неточно (см, стр. 165).] Очень интересно сравнить два средних значения остаточного эффекта и А д, которые, как видно, находятся в хорошем соответствии во всех случаях, когда такое сравнение возможно. Это тем более важно потому, что среднее арифметическое, зависит только от первой и последней ступенчатых констант системы, и, тогда как Н д определяется главным образом отношением средних констант системы комплексов. Поэтому весьма вероятно, что незакономерное изменение вычисленных значений отдельных остаточных эффектов в большой степени обусловлено экспериментальными ошибками. [c.59]

Приведенные в табл. 2.20 анионы во всех таких случаях дают корреляции с г > 0,99. Средняя стандартная ошибка оценки IgflM у ПАР Для этих систем составляет 0,45, тогда как точность определения отдельных значений равна около 0,3. [c.315]

При вычислении ошибок воспроизводимости по формулам (3.16) и (3.17) мы исходим из того предположения, что результаты анализа т проб можно рассматривать как случайную выборку из т генеральных совокупностей. Для вычислений мы объединяем между собой только те пробы, которые можно рассматривать как выборки из таких генералышх совокупностей, которые, несмотря на различные средние значения, имеют одинаковую дисперсию. В этом случае каждое из значений. .., можно рассматривать как оценку для одной и той же генеральной дисперсии. Такое объединение различных по составу проб можно делать, конечно, только в известных пределах —до тех пор, пока ошибка воспроизводимости остается независимой от среднего значения. Без каких-либо дополнительных исследований можно быть уверенным, что это условие во всяком случае выполняется, когда крайние значения концентрации определяемого компонента находятся в отношении 1 3. Для вычисления дисперсии здесь можно объединить результаты анализа, полученные за длительный интервал времени, так как результаты расчетов не зависят от возможного изменения средних значений под влиянием факторов, медленно меняющихся во времени. [c.52]

В качестве примера произведем проверку гипотезы линейности градуировочных графиков, приведенных на рис. 34. На осиовании предыдущего опыта мы можем дать оценку ошибки воспроизводимости результатов измерений по одной спектрограмме восп = 0,025. При построении графиков для каждого эталона бралось среднее значение, полученное по 12 спектрограммам. Следовательно, для градуировочного графика, построенного [c.271]

КЬгОб, он тем более примечателен, поскольку подтверждает правильность принципов, выбранных для оценки поведения радионуклидов при плазменной денитрации. В процентном отношении к их содержанию в исходном растворе содержание этих нуклидов в среднем составляет 93, 100 и 100 % соответственно. В табл. 4.21 приведены два средние значения содержания указанных радионуклидов в порошке без учета и с учетом данных опыта №3 по Ки-103 и Яи-106. Можно предположить, что существенное отклонение результатов анализа по Ки-103, Ки-106 и Ри-239 в опыте № 3 от данных других опытов связано с ошибками при подготовке проб к анализу. [c.232]

Число реализаций при вычислении параметров усреднением по ансамблю или длина реализации при агнализе путем усреднения по времени всегда конечны. Это означает, что переход к пределу при —>-оо в уравнениях (1.1) — (1.3) или при Г—>-оо в уравнениях (1.4) —(1.6) практически неосуществим, и, следо-. вательно, можно получать лишь некоторые оценки искомых средних характеристик, а не их истинные значения. Ошибки, оценивания за счет конечности объема выборки имеют важное, значение для интерпретации и практического применения результатов анализа. Поэтому в данной книге большое внимание уделено выводу формул, определяющих ошибки оценок параметров, которые чаще всего встречаются в практических задачах. Наиболее важные формулы обсуждаются в гл. 11 ив разд. 2.4 и 3.4. [c.14]

Ранее уже отмечалось, что оценивание плотности вероятности по формулам (2.6) и (2.7) с использованием интервала конечной ширины Лх и реализации длины Т связано с наличием как систематической, так и случайной ошибок. Систематическая ошибка является следствием конечности Лх, в силу чего формула (2.7) дает среднее значение плотности по интервалу Хо Ах/2. Значение оценки р(хо) привязывается к середине интервала лишь по соображениям удобства. Но в действительности р(хо) не равно р(хо), если только первая производная р(х) по X не равна постоянной, р х)=йр х)1(1хфс. Рис. 2.9 иллю- [c.51]

Расчет и оценка надежности полученных результатов анализа. Корректное решение задачи химического анализа помимо основного результата обязано содержать оценку надежности полученного результата с помощью двузначного критерия — довгерительного интерва.га (интервал возможных вариаций искомой величины) и соответствующей ему надежности (доверительная вероятность). Помимо этого всегда желательно указывать кратность (повторность) определений и характер оценки погрешности (погрешность в оценке единичного анализа, погрешность определения среднего значения, погрешность метода). И наконец, если имеется возможность объективной оценки систематической ошибки (см. главу П), необходимо оценить правильность выполненного анализа. [c.14]