Распределение вероятностей многомерное

Распределение (7.6.6) является многомерным обобщением биномиального распределения. Теперь рассмотрим ансамбль подобных систем, в котором полное число N не является постоянным, а распределено по Пуассону со средним значением <.V>, Тогда распределение вероятности в этом большом ансамбле есть [c.188]

Найдем функцию распределения вероятностей (т) длины ртутной (надкритической) части поры т, если запирание происходит в /с-ом звене. Эта функция описывает вероятность того, что длина поры пе превышает т. Для этого надо многомерный закон распределения длин всех звеньев проинтегрировать по допустимым значениям и [c.119]

Поскольку турбулентные поля являются случайными полями, то каждому ие них можно сопоставить некоторую систему многомерных распределений плотностей вероятности. В сипу того, что турбулентные поля могут быть статистически связанными друг с другом, естественно предположить, что существуют и совместные распределения плотностей 178 [c.178]

Вычисление термодинамической вероят. ности. Состояние каждой простой молекулы в газе определяется тремя пространственными координатами (х, у, г) и тремя координатами движения или импульсов mvx, mVy, ти ). Если считать, что эти величины изменяются непрерывно, то любому макросостоянию будет отвечать бесконечно большое число микросостояний. Различие между микросостояниями выявится, если задать узкие интервалы координат и импульсов, а затем сравнивать количества молекул, соответствующие этим интервалам. В статистической термодинамике состояние молекул представляют в воображаемом многомерном пространстве , которое в отличие от геометрического пространства называется фазовым — пространство координат положения и импульсов. Разобьем фазовое пространство на ряд ячеек с ребрами х, у, (12, й (тЮх), й (ши ), (1 (ти ). Объем таких ячеек равен йх с1у йг с1 mVл) й тОу) х X й mVг). В данную фазовую ячейку попадают молекулы, координаты которых заключены в пределах от л до л + х, от у цр у йу, от г до 2 + йг. Все молекулы системы можно распределить согласно значениям их координат по соответствующим ячейкам фазового пространства. Молекулы, находящиеся в разных ячейках, становятся различимыми. Этот постулат, принятый в статистике Больцмана, позволяет найти число микросостояний, определяющих данное макросостояние системы, т. е. найти термодинамическую вероятность. Таким образом, для нахождения термодинамической вероятности надо подсчитать число комбинаций, которыми может быть осуществлено распределение молекул по фазовым ячейкам. Оно равно числу перестановок из наличного числа молекул. Учитывается, что перестановки внутри фазовой ячейки не дают нового микросостояния, поскольку там молекулы неразличимы. Допустим, что имеется всего три молекулы, которые могут размещаться только в двух ячейках фазового пространства. Обозначим ячейки клетками, а молекулы — цифрами. Рассмотрим такое макросостояние, когда в одной ячейке имеется две молекулы, а в другой одна. Очевидно, данное макросостояние реализуется тремя перестановками молекул между ячейками, т. е. тремя микросостояниями [c.100]

I89, 156, 157, 184]. Пусть в образце имеется несколько типов (/) гетерогенностей с различной активностью (Тт))- Тогда распределение гетерогенностей по образцам описывается полиномиальным законом распределения, который при указанных далее условиях хорошо аппроксимируется многомерным распределением Пуассона. Вероятность, что число капель, содер- [c.74]

В данном случае нет необходимости вновь рассматривать теорию лоджий. Однако следует подчеркнуть, что она представляет метод многоэлектронного разбиения, требующий, чтобы соответствующие границы были определены в многоэлектронном конфигурационном пространстве и чтобы функции вероятностей многоэлектронных зарядовых распределений были максимизированы в этом многомерном пространстве. Соответствующие функции распределения P (Q) имеют вид [c.25]

Таким образом, определение вероятности выполнения совокупности условий работоспособности предполагает вычисления многомерных интегралов распределения. Такая задача не имеет простого решения. [c.84]

Вероятность того, что Я( ) = 1, приблизительно равна объемной доле арматуры в пластике. Будем считать, что объемное содержание арматуры во всех однотипных образцах и деталях, а также в макроскопических элементах структуры этих изделий одинаково и равно Ра- Тогда математическое ожидание Х(х) равно Ра и постоянно относительно координат. Если ввести более общее предположение, что многомерные функции распределения случайных величин 1(a i), (хг),. .. Я(х ), зависят лишь от взаимного положения точек M(xi), М(х2),. .., М(х ), то Х(х) как функцию координат можно считать статистически однородным случайным полем. Надо сказать, что предположение о статистической однородности поля ь(х) является уже весьма ограничительным. Из него, в частности, вытекает отсутствие разброса всех макроскопических свойств материала. В то же время такое предположение позволяет использовать для решения задач о прогнозировании свойств аппарат наиболее разработанных разделов теории вероятностей. [c.206]

Особенно важен учет флуктуаций при описании плазмохимических реакций, протекающих в турбулентной среде. Поскольку турбулентные поля являются случайными полями, то с каждым из них можно сопоставить некоторую систему многомерных распределений плотностей вероятности. В силу того, что турбулентные поля могут быть статистически связаны друг с другом, естественно предположить, что существуют и совместные распределения плотностей вероятности этих полей. [c.281]

Важность этого раздела для эмпирического анализа временных рядов заключается в том, что при интерпретации корреляционной функции (и, как мы увидим ниже, соответствующего спектра) необходима определенная осторожность в случае, если процесс негауссовский. Может, однако, оказаться, что после некоторого преобразования, основанного на эмпирической плотности вероятности, распределение будет более близким к нормальному. Например, неотрицательная величина, такая, как температура или давление, возможно, стала бы более близкой к нормальной, если бы был использован логарифмический масштаб. Заметим, однако, что если даже такое преобразование и приближает одномерную плотность к нормальной, оно не обязательно оказывает такое же действие и на многомерные распределения. [c.210]

Наиболее всеобъемлющая полная характеристика случайного процесса — многомерная плотность вероятностей Р Х1, Х2, t2,. .., Хп, tn) Зная эту характеристику, можно определить все другие характеристики случайного процесса. Практически для большинства задач управления достаточно ограничиться одномерной плотностью вероятностей Р(Хи ti). Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, так как большинство процессов в газовой практике описывается им. При использовании в качестве статистической модели управляемых параметров стационарного нормального случайного процесса значительно упрощаются и сокращаются расчеты основных статистических характеристик этих параметров, таких, как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Однако принимать заранее нормальный закон нельзя, всегда следует провести проверку того или иного параметра на нормальность. В противном случае можно допустить серьезные ошибки и получить неверные выводы. [c.42]

Описание турбулентной диффузии значительно упрощается, если используются уравнения для совместного распределения вероятностей скорости и концентрации. Такой подход развивался Кузнецовым [19766], Допазо 1976], Онуфриевым [1977], Сабельниковым [1979, 1981, 1983],Поупом 19816], Либби и Брэем [1981] (см.такжеобзор Либби и Вильямса [1981]). В этом случае вообще отпадает необходимость введения каких-либо гипотез о характере турбулентной диффузии. Однако возникают две новые трудности. Первая связана с многомерным характером уравнения для совместной плотности распределения вероятностей скорости и концентрации. Вторая возникает при описании пульсаций давления. Вследствие указанных трудностей рассматриваемый подход не привел пока к каким-либо конкретным результатам. [c.66]

Предположим, что для этой модели распределение вектора констант и представляет собой многомерное нормальное распределение N (ио,У) со средним значением (математическим ожиданием) и ковариационной матрицей V. Очевидно, что это будет субърктивное распределение вероятностей, которое выражает что-либо, что известно заранее о векторе и. [c.126]

В случае двух случайных величин двумерная плотность распределения р(х,у) каждой точке на плоскости ху, окруженной окрестностью О (рис. V. 4), ставит в соответствие вероятность попадания в эту окрестность. Для каждого значения X = хо сечение двумерной плотности распределения дает условную плотность распределения р(у1хо) (рис. V. 5). Исследование многомерных плотностей распределения часто бывает сложным, поэтому, как и в случае одной случайной величины, стремятся воспользоваться приближенными характеристиками этой функции. [c.125]

Рассмотренная процедура обобщает на многомерный случай способ построения плотности расгтределения вероятности, когда первоначально строят ступенчатую гистограмму, вид которой подсказывает характер аналитической зависимости, характеризующей плотность распределения. [c.132]

Фазовое пространство в статистич. механике-многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщенные координаты и сопряженные им импульсы , ( = 1, 2,. .., М) системы с М степенялш свободы. Для системы, состоящей из N атомов, и p соответствуют декартовой координате г и компоненте импульса р (а = х, V, нек-рого атома ] тл М = ЗМ. Совокупность координат и импульсов обозначаются д я р соответственно. Состояние системы изображается точкой в фазовом пространстве размерности 2М, а изменение состояния системы во времени-движением точки вдоль линии, наз. фазовой траекторией. Для статистич. описания состояния системы вводятся понятия фазового объема (элемента объема фазового пространства) и ф-ции распределения /(р, д), к-рая характеризует плотность вероятности нахождения точки, изображающей состояние системы, в элементе фазового пространства вблизи точки с координатами р, д. В квантовой механике вместо фазового объема используют понятие дискретного энергетич. спектра системы конечного объема, т.к. состояние отдельной частицы определяется не им-пулы ом и координатами, а волновой ф-цией, к-рой в стационарном динамич. состоянии системы соответствует энергетич. спектр квантовых состояний. [c.416]

В 5 было показано, что однородный твердый раствор, будучи переохлажденным в область диаграммы равновесия, заключенную между кривой растворимости и спинодальной кривой (см. рис. 16, б), становится метастабильным, т. е. термодинамически устойчивым относительно образования произвольных малых концентрационных неодноррдностей и неустойчивым относительно образования равновесной смеси фаз. В этой ситуации (см. 3) состояние однородного твердого раствора отвечает точке условного минимума на гиперповерхности свободной энергии в многомерном пространстве функций распределения концентрации. Каждая точка этого пространства определяется N координатами, представляющими собой вероятности заполнения соответственно N узлов решетки атомами одного компонента, т. е. определяется конкретной функцией распределений атомов по объему кристалла. Система может выйти из метастабильного состояния в состояние абсолютного минимума свободной энергии, преодолев самый низкий перевал на гиперповерхности свободной энергии, отделяющий оба минимума. Этот перевал является наиболее доступным местом, через которое система может выйти из состояния условного минимума в состояние абсолютного минимума с минимальным увеличением свободной энергии. [c.80]

Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая формулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния . Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют и имеют одинаковую математическую структуру. Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собственным состояниям оператора Л, т. е. по функциям ехр (— сОпО X X фп (р, ч) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное независимое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния ехр ( Есог г )-фп (01,. . 0N) становятся связанными с собственными колебаниями такой системы. Задача с начальными данными, решение которой дается выражением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы (п 1 бЛ 1 п ). Коэффициент — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (п 1 бЛ 1 п ) пропорциональны вероятности того, что взаимодействие бЛ индуцирует переход от множества п к множеству п. Для очень слаб1ых взаимодействий, когда е, имеют место только переходы первого порядка тогда как если 8 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения (0). В переходах второго порядка бЛ означала индуцирует изменение от п" до п, а затем от п до п. [c.77]

Системы с конечным радиусом взаимодействия как марковские поля с многомерным временем. Если радиус взаимодействия гамильтониана Н 1 онечен и Ф — конечное множество, то условные вероятности (1.2) определены всюду. Формулы (1.2) показывают, что условная вероятность конфигурации ф(7) зависит не от всей конфигурации ф(2" — V), а лишь от конфигурации в / -окрестности границы, К — радиус взаимодействия. Таким образом, предельные распределения Гиббса для таких гамильтонианов можно рассматривать как марковские поля памяти К с многомерным временем. Теория таких полей при й > 1 существенно отличается от теории при й = 1, т. е. от теории слоншых цепей Маркова памяти К. В следующей главе будет показано, что при й > 1 во многих естественных случаях одному гамильтониану отвечает несколько предельных распределений Гиббса. [c.22]

Решить уравнения Колмогорова с помощью разделения переменных, рассматриваемого в начале параграфа, удается не всегда, особенно в многомерном случае. Если же существует стационарное распределение, то, чтобы найти его, можно использовать другие методы. Условия обитания природных популяций в типичных ситуациях, как правило, изменяются довольно медленно. Поэтому в канодый момент времени популяция находится как бы в равновесии со средой. Вероятностный характер этого равновесия выражается стационарным распределением плотности вероятности fix), определение которого представляет более простую задачу, чем отыскание фундаментального решения. Так как в стационарном случае производная плотности по времени равна нулю, то вместо (3.15) мы имеем уравнение M f = 0. В одномерном случае это означает, что поток вероятности (3.16) в стационарном распределении равен нулю, т. е. fix) удовлетворяет уравнению [c.340]