Определение неизвестных параметров распределений

Дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между независимыми переменными, неизвестными (искомыми) функциями и их производными, широко используются в химической технологии для описания нестационарных процессов, а также процессов с распределенными параметрами. Например, концентрация реагента, вступающего в реакцию, является функцией времени пребывания, условий ведения процесса, и для того чтобы определить закон ее изменения во времени, необходимо составить дифференциальное уравнение, решение которого и устанавливает необходимую функциональную зависимость. Аналогично для определения числа ступеней разделения в процессе периодической ректификации необходимо определить состав кубового остатка и дистиллата как функции степени отгона. Это можно осуществить путем решения системы дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. [c.347]

Характер аналитических задач, решаемых с помощью важнейшего из этих методов — инструментальной или регистрационной колоночной ЖХ,— определяется природой используемых стационарной и подвижной фаз, а также принципом детектирования элюатов. Универсальные детекторы (рефрактометрический, диэлькометрический, транспортные и др. [109, 111, 2541) использовались для количественного анализа самых различных ГАС (аминов [255, 256], порфиринов [257], жирных кислот [258, 259], фенолов [260], сернистых соединений [261 ]) в условиях адсорбционной или координационной хроматографии, а также для определения молекулярно-массового распределения высокомолекулярных веществ [69, 109, 262, 2631 при эксклюзионном фракционировании или разделении на адсорбентах с неполярной поверхностью, например, на графитирован-ных углях. Качественная идентификация элюируемых веществ в этих случаях проводится по заранее установленным параметрам удерживания стандартных соединений и при изучении смесей неизвестного состава часто затруднена из-за отсутствия таких стандартов. Групповая идентификация ГАС отдельных типов существенно облегчается при использовании специфических селективных детекторов спектрофотометрических (УФ или ИК), флю-орометрического [109, 111, 254 и др.], пламенно-эмиссионного [264], полярографического [111], электронозахватного [265] и др. [c.33]

Параметрические методы и связанные с ними статистические критерии предполагают известным вид функции распределения генеральной совокуп -ности, и проверка гипотез сводится определению неизвестных значений параметров распределений. [c.232]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ [c.55]

При обработке наблюдений обычно не удается получить эмпи- рическую функцию распределения. Даже простейший анализ условий проведения опытов позволяет с достаточной степенью уверенности определять тип неизвестной функции распределения. Окончательное уточнение неизвестной функции распределения сводится к определению некоторых числовых параметров распределения. По выборке могут быть рассчитаны выборочные статистические характеристики (выборочное среднее, дисперсия и т. д.), которые являются оценками соответствующих генеральных параметров. Оценки, [c.24]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

Б практической работе, однако, общепринято пользоваться методом наименьших квадратов и в тех случаях, когда отсутствуют сведения не только о теоретических (генеральных) дисперсиях а2, но и о выборочных s . Насколько оправдан такой подход, неизвестно. Между тем степень приближения можно оценить, воспользовавшись расчетом вероятностных моделей некоторых простых случаев (например реакции первого порядка). Несмотря на определенный интерес данного вопроса, он до сих пор никем не рассматривался. Следует заметить, однако, что если справедливо предположение о нормальном законе распределения опытных концентраций, то оценки кинетических параметров, получаемые максимизацией выражения (7), будут несмещенными, достаточными и асимптотически нормальными и в тех случаях, когда вместо в (7) подставляются значения s . Что касается дисперсии определяемых параметров, то, исходя из общей теории максимального правдоподобия [33], можно утверждать, что оценка неизвестных параметров 0 по формуле (8) будет более точна, чем по (7). [c.90]

Во втором случае тип закона распределения заранее неизвестен, однако результаты испытаний показывают, что эмпирические функции распределения могут быть приближены плавно меняющимися функциями распределения. Из предварительной обработки экспериментальных данных видно, что качественный характер поведения эмпирических функций распределения не меняется от партии к партии. Задача исследования заключается в определении семейства функции распределения, для которого качественное поведение функций распределения соответствует полученным экспериментальным данным.При этом преимущественно выбираются те функции распределения,для которых можно предложить соответствующие теоретические обоснования, Затем задача сводится к оценке по результатам испытания неизвестных значений параметров или функций от них. Указанное положение соответствует в настоящее время состоянию теории гетерогенной нуклеации. [c.80]

При формулировке метода определения параметров модели будем считать, что располагаем неадсорбируюпщмся индикатором, так что обмен между проточной и застойной частями системы происходит в основном за счет конвекции и диффузии ( 1= 2=А). Неизвестными параметрами модели при этом будут являться число ячеек п, объем проточной части Уг, объем застойной зоны константа скорости обмена к. Применение в качестве индикатора радиоактивных изотопов позволяет измерить на выходе из аппарата две функции распределения одну в проточной зоне и вторую — по средней концентрации в полном сечении аппарата. Для каждой из этих кривых можно найти первый начальный и второй центральный моменты распределения. Тогда для определения неизвестных параметров модели следует воспользоваться уравнениями (7.85) и (7.91), где надо положить к =к =к, а также уравнениями (7.94) и (7.95). Решая совместно эти уравнения, получим [c.387]

Рассмотрим следующую общую постановку задачи. Пусть в некотором случайном эксперименте наблюдается случайная величина X, функция распределения которой зависит от параметра в. Значение параметра неизвестно и нуждается в определении. Для этого получают случайную выборку некоторого объема наблюдений над величиной (х,, Хг.....х ), являющуюся источником информации относительно неизвестного параметра 6. [c.24]

Прямой метод определения параметров моделей многофазных потоков, в случае многофазных систем или систем с ярко выраженной структурной неоднородностью, когда распределение объема между фазами или неоднородностями неизвестно, анализ структуры потоков индикаторными методами в известной мере затруднен. Трудности анализа функций отклика системы на типовые возмущения по составу потока обусловлены сопутствующими помехами, вызванными такими явлениями, как молекулярная диффузия в поры и капилляры твердых частиц, в пленки и карманы в пространстве между этими частицами, конвективная диффузия в застойных зонах системы, адсорбция и десорбция индикатора на поверхности частиц и стенок, ограничивающих поток и т. д. [c.29]

Проверяемая гипотеза называется сложной, если гипотетическая функция распределения объекта известна с точностью до параметров объекта. Например, принимается ячеечная модель объекта, но неизвестно число ячеек, или принимается диффузионная модель, но неизвестно численное значение коэффициента диффузии и т. п. В этом случае, прежде чем приступить к проверке гипотезы, сначала определяются но выборочным значениям результатов эксперимента необходимые параметры математической модели объекта. Определенные по результатам эксперимента параметры уменьшают число степеней свободы системы на величину, равную числу этих параметров. Так, если число неизвестных параметров равно I, то в результате общее число степеней свободы уменьпштся до r=v—Z—1. [c.258]

Даже простейший анализ условий проведения опытов позволяет с достаточной степенью уверенности определять тип неизвестной функции распределения. Окончательное уточнение неизвестной функции распределения сводится к определению некоторых числовых параметров распределения. По выборке могут быть [c.29]

Наряду с методами, описанными в [12, 13, 5], основанными на линейности определенных зависимостей У1 х), щироко распространен метод подбора вида дефектной структуры с помощью различных моделей. В этом методе задается тот или иной тип дефектов, их распределение по узлам или междоузлиям решетки и характер взаимодействия между дефектами. Затем записывается большая сумма по состояниям и через нее после математических преобразований выражается зависимость активности компонента от состава фазы. В эту зависимость входит ряд неизвестных параметров, таких, как колебательные вклады, энергии образования и взаимодействия дефектов. Эти неизвестные параметры полагаются, как правило, постоянными, не зависящими от состава фазы и температуры и вычис- [c.89]

Цель регрессионного анализа — определение оценок неизвестных параметров 0. Ниже изложена процедура получения таких оценок для функций т х, 0), линейных по параметрам, которая опирается только на существование конечных дисперсий для наблюдаемой переменной и не использует вид функции плотности распределения. [c.154]

Математика. Рассматривается распределение температуры и концентрации в одномерном потоке следовательно, нужно решить обыкновенные дифференциальные уравнения. Из-за сильной нелинейности функции скорости реакции уравнения нелинейны, поэтому их невозможно решить аналитическими методами. Будем использовать методы приближенного решения, которые включают предположение о вероятной форме функций для зависимых пере-менных> определение значений неизвестных параметров в этих функциях с помощью интегральных форм основных дифференциальных уравнений. Этот метод следует запомнить, так ак он часто позволяет получать довольно точное решение без обращения к помощи ЭВМ. [c.193]

Таким образом, определение доверительных границ вещественного одномерного параметра сравнительно несложная задача. Такой подход может быть положен в основу метода получения доверительных оценок функции g (0) от многомерного неизвестного параметра 0 = (0i,..., 0 ) и векторных данных х = (xi,..., Хт)- Множество = 0 g (0) = g назовем атомом, соответствующим значению g. Построение у-доверительных границ для g (0) будем производить на основе некоторой вещественной статистики Т = Т (х). Пусть F t, 0) — функция распределения этой статистики. Как и ранее, введем две функции от 0 [c.371]

В том случае, если для определения параметров парабол начальных и конечных участков кривых распределения продуктовых фракций не хватает уравнений для определения всех неизвестных параметров, составляют дополнительно уравнения равенства первых производных аппроксимирующих парабол в смежных точках, соответствующих температуре 10, 90, 96, 98 % выкипания, что позволяет получать аппроксимирующие линии в контрольных точках более плавными. Такой метод аппроксимации, когда используют уравнения второго порядка и их производных, называют аппроксимацией сплайнами . Ниже приведен пример расчета. [c.85]

При определении физико-химических параметров комплексов нами использовались эксперименты, в которых функции распределения, как правило, неизвестны. Однако можно утверждать, что распределение ошибок не является логарифмически нормальным и ошибки не пропорциональны измеряемой [c.116]

На практике среднеквадратическое отклонение а случайной величины, как правило, неизвестно. В связи с этим возникает задача определения закона распределения среднего х, не зависящего от а, которую удалось решить английскому статистику Стьюденту. Распределение Стьюдента находит очень широкое применение в теории статистического оценивания параметров и в статистической проверке гипотез. Дадим его определение. [c.26]

В ходе экспериментальных и теоретических исследований процессов кристаллизации устанавливают зависимости коэффициента распределения от самых разнообразных параметров. При этом стремятся к установлению корреляционных зависимостей, позволяющих путем экстраполяции или интерполяции оценивать значения коэффициента распределения для неизвестных значений параметров. Как и термодинамические методы, корреляционные методы оценки позволяют рационально спланировать экспериментальное определение коэффициента распределения и скорректировать его результаты, если они не подчиняются ранее установленным корреляционным зависимостям. [c.19]

Выясним теперь, насколько важны полученные результаты. Как мы установили, обпще законы сохранения в кинетической теории совпадают с уравнениями гидродинамики для массы, скорости и энергии. Это означает прежде всего, что определения тензора давлений, вектора теплового потока и диффузионной скорости, принятые в кинетической теории, по меньшей мере согласованы с обычными гидродинамическими определениями. Между ними, однако, существует важное различие. В уравнениях, полученных выше, тензор давлений, вектор теплового потока и скорости диффузии определены через функции распределения, которые на данном этапе неизвестны. Следовательно, законы сохранения кинетической теории имеют лишь формальный смысл. Наоборот, в гидродинамике уравнения для массы, скорости и энергии дополнены так называемыми определяющими уравнениями которые связывают внутренние напряжения, вектор теплового потока и диффузионные скорости с градиентами макроскопических параметров (плотности, скорости, температуры). Например, закон теплопроводности Фурье связывает вектор потока тепла с градиентом температуры при помощи коэффициента теплопроводности. Аналогично закон Ньютона гласит, что тензор напряжения пропорционален тензору скоростей деформации и что константой пропорциональности служит коэффициент вязкости среды закон Фика выражает линейное соотношение между скоростью диффузии и градиентом плотности (с коэффициентом диффузии в качестве константы пропорцдональности). Разумеется, феноменологические уравнения гидродинамики ничего не говорят о том, как вычисляются константы пропорциональности (так назьшаемые коэффициенты переноса, или кинетические коэффициенты) входяпще в определяющие уравнения — фактически их значения устанавливаются только из эксперимента. Важно, однако, отметить, что уравнения для массы, скорости и энергии вместе с определяющими уравнениями образуют замкнутую систему при заданных начальных данных эту систему можно решить при соответствующих граничных условиях. [c.78]

Ясно, наконец, что для определения величин вероятностной селективности в принципе возможно использовать общий зерновой состав материала и основную нормированную функцию распределения В. Это можно сделать двумя путями. Во-первых, можно написать серии дифференциальных уравнений при различных значениях у с селективными параметрами в качестве неизвестных. Затем с помощью вычислительной машины их можно решить одновременно. Недостаток этого метода заключается в том, что используемые данные, полученные опытным путем, не постоянны, а это приводит к аномалиям в результатах вычислений. Может оказаться, что вероятность селективности данной крупности будет отрицательной, что противоречит физическому [c.244]

В случае поверочного варианта анализа при заданной общей высоте движущегося слоя несколько осложняется нахождение константы интегрирования С в уравнении (3.67) для нижней зоны слоя, поскольку влагосодержание материала на выходе из слоя Ык здесь подлежит определению. По этой причине все остальные искомые величины также оказываются функциями и . Выражение (3.68) для С используется в решении (3.67), записанном для условий на фронте критического влагосодержания и л = /,кр = икр, при этом решение (3.68) относительно искомой координаты Лкр вновь приводит к соотношению (3.74). Аналогично температура сушильного агента на входе в верхнюю зону сушки в периоде постоянной скорости /кр определяется равенством (3.75), профиль температуры сушильного агента по высоте верхней зоны — уравнением (2.30), а использование профиля (2.30) при интегрировании второго уравнения (3.65) в пределах от Лкр до Н и, соответственно, от Ыкр до Ыо вновь дает распределение влагосодержания материала по высоте верхней зоны в виде уравнения (3.78). В отличие от проектного варианта здесь все рассчитываемые параметры процесса оказываются функциями неизвестной величины конечного влагосодержания [c.102]

Отметим также, что структура фазовой диаграммы, изображенной на рис. 8.2, остается невыясненной при отходе от линии Г в глубь модулированной фазы. Мы видели, что при увеличении разности Т - Т к основной гармонике /со добавляются кратные гармоники, и пространственное распределение параметра порядка 1в фазе 2 становится сложным. О нем, в сущности, ничего сказать невозможно, поскольку неизвестны решения нелинейного уравнения (31.11). В следующем параграфе будет показано, что аналогичное нелинейное уравнение минимизации может быть решено в определенных предположениях, что позволит вскрыть замечательные явления в поведении температуры модулированной фазы. Возможно, что и уравнение (31.11) описывает подобные явления, но в настоящее время это остается неизвестным. [c.189]

Уравнение получило более сложный вид. В нем появилигь комплексы тс в качестве числовых множителей при операторах, которые применяются уже не к абсолютным, а к относительным переменным. Если бы значения комплексов можно было выбирать произвольно, то мы имели бы уравнение с неопределенными коэффициентами, т. е. в сущности не одно уравнение, а бесчис ленное множество различных уравнений. В действительности, по постановке задачи, значения всех комплексов точно фиксированы и, следовательно, перед нами одно вполне определенное уравнение. Таким образом, задано уравнение, связывающее межд - собой переменные Х , Х2,..-, Х в совокупности с условиями единственности, выраженными в тех же переменных X (в виде безразмерных распределений). Но в таком случае неизвестная переменная должна определяться решением как однозначная функция своих аргументов, причем все переменные являются относительными числами X, а параметры — безразмерными комплексами 1с. Именно это и требовалось доказать. [c.44]

Зная закон распределения и его основные параметры, можно определить вероятность появления интересующих нас случайных величин, в частности количества отказов мащин, находящихся в эксплуатации. Но законы распределения заранее неизвестны, и для их определения нужно производить специальные опыты, наблюдая за эксплуатацией машин. [c.348]

Наиболее полно ориентационный порядок в жидких кристаллах и их растворах может быть описан ориентационной функцией распределения, показывающей вероятность нахождения молекулы в определенном направлении по отношению к директору. Однако такие функции для индивидуальных жидких кристаллов и тем более для жидкокристаллических растворов неизвестны. Вместо этого ориентационный порядок обычно характеризуется параметрами порядка. Единственный параметр порядка S, определяемый уравнением (1), достаточен для простейшего случая цилиндрически симметричной нематической структуры, образованной жесткими молекулами цилиндрической формы. Поскольку в действительности такие системы встречаются редко, то описание ориентационного порядка с помощью единственного параметра S является достаточно грубым приближением. [c.246]

Наиболее распространенный способ, применяемый для доказательства образования Б.,— сравнение результатов турбидиметрич. титрования исследуемого сополимера, составляющих его гомополимеров и их физич. смеси. Для идентификации Б. широко используют элементный химич. анализ в сочетании с массовым методом (распространен термин весовой метод ) определения количеств отмываемых гомополимеров и составлением баланса исходных и полученных после реакции веществ. Осуществление химич. реакций в цепях Б. может дать сведения о длине, способе соединения и распределении полимерных блоков в макромолекулах (если эти параметры неизвестны из условий синтеза). Напр., для определения состава и способа соединения разнородных полимерных блоков Б. стирола и метилметакрилата можно использовать реакцию циклизации [c.135]

Уравнения (8)—(10) позволяют ре ить двоякую задачу с одной стороны, вычислить критические значения параметров роста для получения однородного распределения примеси при известных значениях остальных величин с другой стороны, на основании петрографических и химических определений величин 2, Дс вычислить обычно неизвестные величины D, (grad что весьма существенно при разработке технологии выращивания качественных монокристаллов. [c.225]

Химическая кинетика не может быть основана на концепции прямых химических превращений исходных реагентов I в продукты реакции К по схеме 1 К, ибо эта схема не в состоянии учесть влияние катализаторов и ингибиторов. Широкое признание получила концепция переходного состояния, допускающая существование в реагирующей системе промежуточных стехиометрических наборов П на более высоком энергетическом уровне, чем наблюдаемые исходные наборы I и конечные К [2]. Эта концепция рассматривает химические превращения исходных реагентов в конечные как две последовательные обратимые химические реакции / г П и И К, сумма которых приводит к балансу химических преобразований 1 К. Таким образом, химическая реакция описывается здесь системой двух кинетических уравнений учетом нормировки общего числа молей стехиометрических наборов N =N1 + -ЬЛ к+Л п- При этом термодинамические параметры гипотетического третьего компонента П оказываются неизвестными. Все это усложняет вычислительную процедуру. Для устранения затруднений предлагается более удобная концепция самопроизвольного распада реагентов, т. е. распада стехиометрических наборов / и /С, потенциальный уровень которых С выше определенного уровня устойчивости химических соединений Оп, т. е. ОСн. Вероятность превращений или доля перевозбужденных, т. е. распадающихся, наборов следует из канонического распределения микросостояний и вычисляется так [c.93]

Полученная им функция распределения для вофатита-К5 весьма близка к распределению Гаусса. Однако оказалось, что те же экспериментальные данные удовлетворительно описываются и уравнением обмена на бифункциональном ионите при соответствующем подборе параметров функциональных групп, так что выбор между этими вариантами затруднителен. Таким образом, наблюдается определенная нечувствительность изотермы обмена к виду функции распределения, что, конечно, обесценивает полученные результаты. Следует отметить, что Хегфельдту, по-видимому, остались неизвестными результаты работы Тодеса с сотрудниками, так как он при анализе не учитывает многие важные их положения. [c.117]

Дистилляционные методы идентификации. В качестве параметра сравнения поведения неизвестных и предполагаемых химических форм микропримесей может служить коэффициент разделения а. В зависимости от числа химических форм примеси одного и того же элемента, их относительной летучести и относительных количеств можно использовать различные дистилляционные методы, применяемые при определении коэффициента разделения [5—7]. По нашему мнению, наиболее прост экспериментально и гибок методически метод равновесной перегонки, предполагающий проведение анализа характера распределения примесей как в паровой, так и в жидкой фазах по ходу перегонки. Эти два метода расчета, информационно взаимно дополняющие друг друга, обобщены Зфавнениями [c.59]