Лаггера

Начнем количественный анализ данных распределения по молекулярным весам с разложения функции распределения по нормированным присоединенным полиномам Лаггера р п (2) [c.384]

Такие представления широко используются в статистике, где они известны под названием рядов Пуассона — Шарля [32]. Здесь а>0 и — 1 — пересчетные параметры, которые выбираются по желанию экспериментатора, а / М) будет определяться после нахождения неизвестных коэффициентов разлон ения с . Нормированные присоединенные полиномы Лаггера имеют вид [c.384]

Нормированные присоединенные полиномы Лаггера (г) пропорциональны [c.384]

В. Конечные разложения Лаггера и оптимизация методом Гаусса [c.385]

Это уравнение можно упростить. Но, прежде чем делать это, заметим, что правая часть уравнепия содержит пять членов. Следовательно, можно будет привести в точное соответствие правую и левую части уравнения по крайней мере по пяти отдельным точкам М (/с = 1,. . ., 5) путем обращения системы линейных уравнений относительно с . Степень соответствия конечного разложения по уравнению (14-53) функции F М) в точках М, отличных от Мй, будет изменяться в зависимости от М , поэтому М следует выбрать так, чтобы свести ошибки к минимуму. Эту проблему решил Гаусс [33], который показал, что оптимальными будут точки Mj = XJa, где — пять корней присоединенного полинома Лаггера пятой степени, т. е. [c.385]

Следовательно, в уравнении (14-54) будем заменять М каждым из значений Mk = XJa по очереди и, воспользовавшись известными свойствами [31] нормированных присоединенных полиномов Лаггера, получим систему из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными [c.385]

В таблицах приведены также величины матрицы р[. Таким образом, если потребуется построить график весового распределения Mf М) либо плотности числового распределения / (М), можно рассчитать с путем матричного умножения а 1г+1 на Н [уравнение (14-52)], затем подставить полученный результат в уравнение (14-53) и воспользоваться таблицами нормированных присоединенных функций Лаггера [c.386]

МОСТЬ быстрой СХОДИМОСТИ ряда заключается в том, что появляющаяся в виде множителя в правой части уравнения (14-53) функция аМУ ехр(— аМ) при указанном выше выборе а и я будет наиболее точно описывать кривую М/ М), а поправки на отклонение указанной функции от кривой Mf М), обусловленное последующими членами присоединенного полинома Лаггера, станут в данных условиях минимальными. [c.387]

Можно сразу же возразить, что для такого выбора параметров а и я предварительно должны быть известными три первых момента Х1, хг, Хз. Но это не представляет серьезного препятствия, поскольку уже при небольшом опыте нетрудно подобрать соответствующие начальные приближения а и , рассчитать с их помощью три первых момента и затем воспользоваться полученными приближенными значениями моментов для более точного выбора величин а и 5 с помощью уравнений (14-56). Поскольку величины з ограничиваются приведенными в таблицах дискретными значениями, первое из уравнений (14-56) может выполняться лишь приближенно, но второе уравнение можно получить точно, коль скоро величина уже подобрана. Можно рекомендовать для первой итерации значение 5 = 1 и любое значение для величины а, которое не выводит выбранные точки за пределы экспериментальной области исследованных молекулярных весов. Если читатель проследит за всеми стадиями численного расчета в приведенном в разд. III,Д примере, то он более отчетливо уловит механизм процесса итераций, чем при ознакомлении с приведенным здесь описанием. Представление функции конечным разложением Лаггера, оптимизацию этого разложения по методу интегрирования Гаусса и выбор оптимальных значений пересчетных параметров можно провести до конца и получить оценки для пяти моментов экспериментальной кривой распределепия Л1,. . ., цз- Однако нулевой момент [c.387]

Подставив эти величины в уравнение (14-53) при значении а = 1,905-Ю , получим полное выражение для весового распределения с помощью таблиц нормированных присоединенных функций Лаггера (г)- Получен- [c.391]

Присоединенные функции Лаггера (г) [c.395]

Математически ход значений Р (г) отвечает функциям Лаггера. [c.71]

Распределения по молекулярным весам описывают также с помош ью функций, содержащих более чем два параметра. В общем случае кривая, соединяющая две точки, может быть представлена рядом, содержащим бесконечное число ортогональных функций. Подобное представление подробно разбирается в гл. 14. Ряды полиномов Лаггера использовали для представления функции распределения по молекулярным весам полимеров в работах [23—25]. Хердан [26] использовал для этой же цели полиномы Эрмита. Коэффициенты подобных рядов можно связать с моментами распределения. Чтобы оценить коэффициенты при членах более высокого порядка, необходимо определить моменты распределения высших порядков. Как Уолес, так и Хердан для оценки третьего и четвертого моментов распределения использовали величины и наряду с М и Величина Мх+1 определяется соотношением [c.353]

До сих пор все внимание концентрировалось па нахождении коэффициентов с путем конечных преобразований дискретного набора данных. Практический результат подобных расчетов должен заключаться в дифференцировании экспериментальной кривой распределения Р М), поскольку дифференциальную кривую или кривую весового распределения Mf (М) можно построить путем подстановки рассчитанных величин в уравнение (14-53). Для теоретических целей, однако, большой интерес представляют величины поэтому было бы полезным развить излагаемый метод так, чтобы можно было получать моменты непосредственно, минуя промежуточную стадию расчета коэффициентов с . Нетрудно внести соответствующие дополнения в схему расчета, поскольку, согласно уравнению (14-52), коэффициенты с связаны с моментами л посредством элементов матрицы Я = (А г)> которая представляет собой таблицу коэффициентов нормированных присоединенных полиномов Лаггера [уравнение (14-49)]. Элементарные сведения из теорий матриц позволяют показать, что если необходимо рассчитать с для пяти выбранных точек Р (М ) с помощью матрицы то величины й Хг+1 можно получить для тех же точек, но с помощью матрицы = Q, кбторую также можно протабулировать. Именно [c.386]

Приложение к настоящей главе состоит из семи таблиц, по одной на каждое значение 5, начиная от8 = 0идо5 = 3 через интервалы по 0,5. Первая строка таблиц содержит величины пяти корней полинома В следующей строке приведены значения квадратной (5-5) матрицы Q и сразу же после этого (за исключением случая я = 0) — пять величин со , необходимых для расчета (Хо- Наконец, после значений треугольной (5-5) матрицы Н приведены величины первых пяти нормированных присоединенных функций Лаггера [c.388]

Использовать орбитали Слейтера — Ценера удобнее, чем полные водородоподобные АО (2.208) они достаточно точны для многих расчетов. Однако при рассмотрении электронов на различных квантовых уровнях возникают затруднения, связанные с тем, что ОСЦ с одинаковыми / и /п, но различными п не ортогональны друг другу. У атома водорода ортогональность таких орбиталей, разумеется, обеспечена тем, что присоединенные полиномы Лаггера образуют ортогональный набор. [c.95]

Аналогичное рассуждение позволяет сопоставить соответствующие р- и й-кО. Первый член в присоединенном полиноме Лаггера для -орбитали включает член с г , поэтому такая орбиталь в области, близкой к ядру, спадает еще быстрее, чем соответствующая р-орбиталь, и эффективный заряд ядра Zd и энергия связи для -орбитали будут еще меньше. [c.147]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология