Собственные значения оператора полного момента

Отметим, что собственное значение оператора абсолютной величины момента (2.81) всегда больше максимального значения Щ его проекции на любую выбранную ось. Действительно, при равенстве полного углового момента одной из его проекций L=L две остальные проекции должны точно быть равны нулю. Это означало бы, что все три компоненты углового момента могут быть одновременно точно измерены, что противоречит коммутационным соотношениям (2.73) и, следовательно, принципу неопределенности Гейзенберга. [c.50]

Исключение составляют два оператора - полный орбитальный момент количества движения Ь и полный спиновой момент количества движения 8. Они симметричны, коммутируют между собой, с оператором Но и поэтому могут быть использованы для классификации базисных состояний конфигурации. Особое значение такой классификации связано с тем, что операторы Ь и 8 коммутируют не только с оператором Но, но и с оператором кулоновского взаимодействия электронов. Любой базис конфигурации, в котором операторы и 8 оказываются диагональными, носит название схемы А5-связи, здесь конфигурация представляет собой прямую сумму Г/, 5-подпространств совместных собственных функций операторов и 8 . Схема 15ч вязи - это такой базис конфигурации, который получается объединением базисов, представляющих подпространства Г/,5. На базис / 5 никаких ограничений не наклады- [c.130]

Любую проблему в квантовой механике в принципе можно решить способом, аналогичным тому, который был использован в разд. 1.5. Этим способом часто определяются собственные значения операторов углового момента и Мг, а недавно с его помощью было получено полное решение для атома водорода. В большинстве случаев, однако, такой непосредственный подход оказывается слишком трудным и предпочтительна более простая альтернативная процедура. [c.30]

Нормальный эффект Зеемана наблюдается для некоторых СОСТОЯНИЙ сложных атомов. Как будет показано в 78, состояние сложных атамов, содержащих несколько электронов, в некотором приближении можно характеризовать собственными значениями операторов суммарного спина всех электронов S = суммарных орбитальных моментов количества движения L = и полного момента J — L -j- S. Изменение энергетических состояний таких атомов в слабом однородном внещнем магнитном поле также определяется формулой [c.322]

В рассматривавшихся до сих пор примерах атома Не и молекулы Hj не возникало никаких серьезных трудностей при составлении линейных комбинаций детерминантов, дающих собственные функции операторов полного спина и S эти собственные функции можно было выразить в виде функций-произведений, составляемых из пространственных и спиновых функций, каждая из которых оказывалась симметричной или антисимметричной при перестановках пространственных или спиновых электронных координат симметричные спиновые функции соответствовали состоянию 5 = 1, М=0, 1 (триплет) и антисимметричные — состоянию 5=Л1=0 (синглет). Мы говорим, что спины электронов векторно связаны в результирующий спиновый угловой момент 5 = 1 или 5=0 в зависимости от того, параллельны или антипараллельны оба связываемых спина, каждый из которых имеет значение [c.83]

Другими словами, Р ф) [а значит, и полная волновая функция 1])(0, ф)] есть собственная функция оператора г, принадлежащая собственному значению МН. Этот вывод тоже является общим для квантовомеханической задачи об угловом моменте. Всякая приемлемая волновая функция для системы, находящейся в стационарном состоянии, должна быть собственной функцией полных операторов Р и 1г для этой системы. Если система обладает сферической симметрией, то соответствующие уравнения на собственные значения имеют вид уравнений (3.72) и (3.74). [c.54]

Точка инверсии. Точка, инверсия относительно которой может переводить систему в конфигурацию, неотличимую от исходной. Уравнение на собственные значения. Уравнение, в котором результатом действия оператора б на функцию или вектор f является умножение той же функции или вектора на постоянную (собственное значение) А, т. е. уравнение вида Of = Л/. Фермионы. Частицы, для системы которых полная волновая функция должна быть антисимметричной относительно пере становки двух эквивалентных частиц. Фермионы характеризуются полуцелыми значениями собственного углового момента (спина). [c.462]

Волновые функции (62,11) являются одновременно собственными функциями квадратов операторов полного /, орбитального L и спинового моментов с следующими собственными значениями [c.290]

Аналогичное определение вводится и для двух остальных компонент углового момента, 2 х и S y. Используя коммутационные соотношения (4.65), которым подчиняются операторы отдельных электронов, можно вывести коммутационные соотношения и для операторов компонент полного момента. На основании сказанного мы будем считать в общем случае угловым моментом любой вектор, подчиняющийся коммутационным соотношениям (4.65). Для полноты добавим, что оператор квадрата полного углового момента определяется аналогично приведенному выше выражению (4.66), т. е. как сумма квадратов трех его компонент типа (4.76), и что для многоэлектронного атома существуют три взаимно коммутирующих оператора ye, и S z, которые соответствуют трем постоянным движения. Для решения вопроса об измеряемых значениях полного углового момента следует прежде всего выяснить, как выразить эти величины через известные собственные значения слагающихся моментов-Подход, который применяется при сложении двух моментов, [c.64]

Об ЭТОЙ функции иногда говорят как о собственной функции, отвечающей связям (2р ) —и (2ру) —(15)у очевидно, она описывает определенную валентную схему. Можно показать, что эта функция является собственной функцией оператора квадрата полного спинового момента 9 , соответствующей собственному значению 5 = 0. [c.267]

Два других соотношения получают циклической перестановкой индексов X, у, г. Оператор квадрата спинового момента 8 = (5% + + 51) коммутирует с 5 , и 5 , и его собственное значение равно 5 (5 + 1), где 5 — полный спин системы. Теорию спина можно рассмотреть на основе соотношения (1). Прежде всего полезно ввести операторы сдвига [c.320]

Рассмотрим оператор 8/, соответствующий квадрату полного спинового момента электрона /. Спиновые функции а, и р являются собственными функциями оператора 8/ с собственными значениями Ь следовательно, [c.325]

Для целочисленных значений / оператор Р можно выразить через эйлеровы углы а, р и у (рис. IV, 6). Через эти углы можно записать также функции х ,К,М). В результате собственные функции х 1,К,М) могут быть интерпретированы как собственные функции д (/,Л1) простого жесткого ротатора, которые были рассмотрены в разд. -6. Для полуцелого / оператор Р уже нельзя выразить через эти углы, но функции х все еще можно. Если предполагается, что состояние имеет определенный угловой момент /, то проекция этого углового момента на выбранную ось равна К. Если принять другой набор осей, вращательные собственные функции все еще будут соответствовать определенному моменту, связанному с ними, но проекция этого углового момента на новую ось 2 будет, вообще говоря, другой. Эти проекции должны быть квантованы, поэтому очевидно, что любая функция, обладающая заданным полным угловым моментом /, может быть представлена в виде линейной комбинации состояний с угловым моментом / и фиксированными проекциями М этого момента на новую ось г. Если первые волновые функции обозначить К), то [c.131]

Правила коммутации для этих операторов, как легко видеть, аналогичны правилам для орбитальных и спиновых моментов [уравнения (А-11) в гл. 7 и (Г-2) в гл. 8]. Поэтому могут осуществиться состояния, являющиеся одновременно собственными состояниями и одной из компонент, например Дальнейшим следствием правил коммутации (см. [2]) или ([И]) является то, что собственные значения Jl должны иметь вид. ] J - - ), где / — целое число, если имеется четное число электронов, или полуцелое число при нечетном числе электронов. Собственные значения могут быть равны J,==—У, .... /—1, J. Квантовое число / называется квантовым числом полного углового момента. [c.266]

Найдем неприводимые представления группы вращения (точнее, их характеры). При этом мы пойдем несколько кружным путем. Будем искать волновые функции системы с центральным сферическим потенциалом (свободный атом), которые переходят сами в себя при операциях симметрии группы. Легко сообразить, что такими функциями являются собственные функции оператора полного момента количества движения. По существу, оператор момента представляет собой оператор бесконечно малого поворота, а его собственные значения характеризуют поведение волновой функции при повороте. Поскольку характеры матриц данного представления, принадлежащих к одному классу, одинаковы, мы можем выбрать любой угол0. Наиболее удобно выбрать уголб = О (ось г). Тогда оператор [c.55]

Как обычно, мы пренебрегаем спин-орбнтальным взаимодействием, так что оператор Гамильтона Н — функция только пространственных координат [уравнение (2.43)]. Поэтому Н коммутирует с операторами 5 и и, следовательно, любая собственная функция оператора Н должна быть одновременно собственной функцией операторов и а также собственной функцией операторов углового момента Мг и М . Далее, компонента полного спинового момента вдоль оси 2 равна сумме вкладов отдельных электронов то же справедливо для соответствующей компоненты Мг полного углового момента. Каждое микросостояние на рис. 9.1 является собственной функцией операторов Мг и 8г с собственными значениями, которые могут быть легко найдены сложением соответствующих значений для отдельных электронов. Рассмотрим, например, микросостояние /. В нем электроны имеют противоположные спины, так что их вклады в 8г равны - -Ь 2 и —Й/2 соответственно и 5г-компонента полного спинового момента равна -)-й/2 — й/2, т. е. нулю. Аналогично один электрон занимает 2ро-АО с Мх = О, а второй — 2р 1-А0 с Мг = —Ь. Компонента Мг полного углового момента равна, таким образом. О, й или —Ь. [c.461]

Коэффициенты преобразования Окм а, р, у) являются функциями трех эйлеровых углов, связывающими два набора осей друг с другом. Можно также показать, что эти коэффициенты преобразования будут собственными функциями оператора полного углового момента 7, имеющего фиксированные проекции К(Н12л) и M(hl2n) вдоль начальной и конечной осей z соответственно. Свойства этих коэффициентов можно получить из соотнощений коммутации для компонент углового момента, которые, как хорошо известно, не зависят от того, является ли значение / целым или полу-целым. Коэффициентами преобразования будут точные собственные функции операторного уравнения [c.135]

Кпаитовое чпсло, имеющее смысл собственного значения оператора обычно обозначают М, однако мы используем для него обозначение М.], чтобы подчеркнуть его связь с полным моментом импульса. [c.155]

Ограничения изменения спина. Мы видели (гл. 9 и 10), что, если можно пренебречь спин-орбитальным взаимодействием, можно написать атомные и молекулярные волновые функции, которые будут собственными функциями операторов полного спина и S,. Далее, оператор дипольного мол1ента т совершенно не зависит от спина и поэтому коммутирует с операторами спина (это относится также к операторам квадрупольного и магнитного дипольного моментов). Используя теорему V из гл. 3 (стр. 108), мы видим, что,еслиФ и Ф(, являются собственными функциями и с собственными значениями соответственно 5 (S -f 1), 5, (5 -fl), и то [c.502]

Учитывая (67,7) и (67,8), легко убедиться, что полный оператор Гамильтона уравнения (67,1) коммутирует с операторами L , s , /2. Поэгому возможны стационарные состояния, в которых все три величины, соответствующие этим операторам, имеют определенные значения. В этих состояниях зависимость волновых функций от угловых и спиновых переменных определяется функциями (62,11), а операторы угловых моментов mohiho заменить собственными значениями (62,12). Таким образом, уравнение для. радиальной волновой функции стационарных состояний атома водорода сводится к виду [c.310]

Если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие, то функция будет собственной функцией операторов проекции и квадрата полного спинового момента. Иначе говоря, проекция и квадрат полного спинового момента являются интегралами движения системы электронов. Значения этих величин лежат в основе классификации многоэлектронных состояний молекул — молекулярных термов. [c.28]

К сожалению, как мы в этом убедимся на примерах, фактически ситуация оказывается не столь простой, и в действительности автор не знает ни одной соответствующей общей теоремы. Тем не менее оказывается справедливой некая обратная теорема. А именно если множество не инвариантно, то нет надежды найти собственные функции. Рассмотрим в качестве примера метод НХФ для отдельного атома с гамильтонианом (1) 1. Тогда (квадрат углового момента относительно ядра) и 8 (квадрат полного спина) будут коммутировать с Я. Однако, поскольку они являются двухэлектронными операторами, множество детерминантов Слейтера оказывается неинвариантным относительно соответствующих преобразований и. Поэтому нет никакой надежды найти собственные функции и 8 , причем, как об этом говорилось в 8, такая ситуация согласуется в общем случае с действительностью. На самом деле мы можем даже дать некое рациональное объяснение кажущимся исключениям из этого правила. Так, например, мы видели, что метод НХФ допускает решения типа замкнутых оболочек и что они являются собственными функциями ж 8 с нулевыми собственными значениями. Однако это можно рассматривать как следствие того факта, что подобные функции ф не вырождены. А именно все компоненты операторов Ъ и 8 коммутируют с Я, причем, будучи одноэ.чектронными операторами, они порождают преобразования II, относительно которых множество детерминантов Слейтера инвариантно. Поэтому любая функция г должна быть совместной собственной функцией Ь и 8, а стало быть, она должна быть типа 8. Также и в общем случае не должно быть неожиданностью, если мы найдем орбитальные -состояния или спиновые синглеты, поскольку их также можно охарактеризовать как совместные собствен-ные функции одноэлектронных операторов Ь и 8 соответственно. Аналогично собственная функция некоторой [c.121]

В гл. 7 мы покажем, что найденные нами здесь решения уравнения (А-9) являются собственными функциями оператора квадрата полного углового момента относительно начала координат, причем собственным значением является V. Поэтому решения с 1фО соответствуют системам, в которых частицы не проходят через начало координат. Можно показать, что решения с 1 = соответствуют пучкам частиц, движущихся по разным направлениям и проходящих на расстоянии Х/2л ио одну или другую сторону от начала, где X—длина волны де Бройля 2п1Ко- Решения с 1=2 проходят мимо начала координат на удвоенном расстоянии и т. д. [c.140]