Ньютона метод выбор начального приближения

Поскольку тр,- (0), I = 1,. . п) не имеют физического смысла, вопрос о выборе начального приближения для них может вызвать определенные затруднения. Большое значение может иметь предыдущий опыт решения подобных задач. Как уже указывалось (см. стр. 81), для определения начальных приближений в методе Ньютона возможно применение методов первого порядка. [c.160]

Очевидно, что достаточно вычислить два интеграла в формуле (3.107), чтобы затем получать решения для любого а. практически без дополнительных вычислительных затрат. Таким образом, в процессе вычислений фактически проводятся лишь итерации алгебраического уравнения (3.108), которое решается методом Ньютона. Выбор этого метода обусловлен тем, что при а = 1 аппроксимирующий потенциал является разложением исходного потенциала в ряд Тейлора до второго члена и при малых приращениях дает удовлетворительное приближение. Следовательно, а должно быть близко к 1. Известно, что если в начальном приближении мы находимся недалеко от корня, то метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью. Использование уравнения (3.107) дает возможность записывать необходимые в методе производные по параметру а в аналитическом виде. й [c.81]

Позднее этот метод был распространен [350] на случай Многокомпонентной системы, равновесие в которой описывается моделью вида (38). Как и во всех других модификациях метода Ньютона, в данном случае стоит задача выбора хорошего начального приближения и демпфирования приращений по итерируемым переменным в тех случаях, когда значения производных очень велики. В алгоритме использован метод расчета начального профиля концентраций, основанный на применении линейных равновесных соотношений вида [c.170]

В другой работе В. Г. Громова [36] применепа 9-точечная разностная симметричная трехслойная схема, исследованная в [35]. Система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом Ньютона. В качестве нулевого приближения в методе Ньютона использовался результат экстраполяции по двум предыдущим слоям. При таком выборе начального приближения достаточно проводить лишь одну итерацию. С помощью этого метода были рассчитаны параметры ла Минарного пограничного слоя на осесимметричном затупленном теле в смеси N, О, N0, 0 и N2 с учетом шести реакций в газовой фазе. Коэффициенты переноса и массовые диффузионные потоки рассчитывались по формулам Гирш- [c.233]

Как было показано ранее, уравнения (VII.7) имеют единственное решение в области неотрицательных концентраций компонентов. Поэтому в программе РАВНОХИМ вначале строится область для /, где все значения а затем в этой области — важнейший момент алгоритма—выбирается начальное приближение искомых значении В этом выборе начального приближения используются следующие особенности уравнений (VII.7). Правая часть каждого из уравнений — дробь, в знаменателе которой стоят концентрации некоторых компонентов в соответствующих степенях (поэтому вблизи нулевой концентрации эти дроби стремятся к оо), а также то, что гиперповерхность Ф( ) является выпуклой вблизи точки равновесия (Зельдович Я. Б., 1938). В результате наиболее быстрый по Сравнению с другими методами метод Ньютона практически всегда обеспечивает решение системы (VII.7), поскольку требуемый в этом методе Якобиан системы (VII.7) определяется аналитически. [c.432]

У/, удовлетворяющих граничные условия на другой границе, осуществляется путем "стрельбы" от одной границы слоя до другой. Обычно при использовании этого метода возникает необходимость в его модификации путем применения метода Ньютона [119], метода дополнительной прогонки [119] или повторной стрельбы [125]. Эти модификации связаны с численной неустойчивостью метода стрельбы и его сходимостью лишь в узкой окрестности решения [126]. Поэтому большое значение в реализации метода имеет выбор начального приближения. В работах [125, 127] в качестве такого приближения берется гольдмановская аппроксимация постоянного поля. В [81-83, 121] проблема решается путем последовательного решения краевой задачи с возрастающим значением плотности тока /, рассматриваемого как параметр, изменяющийся ступеньками с [c.280]

Первый метод основан на использовании уравнений стационарного пламени в эйлеровых координатах. Вторая форма этих, уравнений получается при опускании производной по времени в уравнениях типа (4.19) (ср. с лагранжевым представлением,, когда в левой части опускается производная по пространственной координате). Ход вычислений в основном совпадает, как показано в [99], с алгоритмом решения нестационарных уравнений, за исключением того, что шаги по времени заменяются итерационными шагами по методу Ньютона в направлении решения. Скорость сходимости, если последняя имеет место, весьма велика, однако вычисления с непосредственным применением схемы Ньютона могут оказаться неустойчивыми, поскольку отсутствует стабилизирующее влияние члена, связанного с производной по времени, при малых (или при больших значениях Р в уравнении (4.23) и в соответствующих конечно-разностных уравнениях). Для уменьшения чувствительности алгоритма к выбору начального приближения возможно, конечно, применение релаксационного метода, такого, например, как использовавшийся в работах [54, 19]. Однако более важным оказывается то обстоятельство, что область сходимости для алгоритмов расчета стационарного пламени увеличивается вместе с загруб- [c.102]

Для приближенного решения уравнений используют различные методы метод проб, метод хорд, метод касательных етод Ньютона), метод итераций [46, 47]. Оценивая достигаемую эффектнвнЛть использования методов приближенного решения уравнений, следует отметить, что наиболее эффективным, и потому наиболее распространенным, является метод Ньютона. Его применяют для решения любого уравнения с одним неизвестным, но он особенно удобен при решении многочленных уравнений высоких степеней. Правда, эффективное использование этого метода требует предварительного знания приближенного значения корня или хотя бы порядка его величины. Метод хорд менее Эффективен, но его удобно использовать для решения уравнений, когда порядок величины корня неизвестен и за начальное приближение корня берут одно из крайних значений интервала изоляции корня. Метод пробных подстановок является самым простым из рассмотренных, и при удачном выборе последовательных приближений он тоже может оказаться достаточно эффективным, но все же этот метод целесообразен лишь для определения порядка величины корня. Очень эффективен комбинированный метод, основанный на совместном использовании различных методов приближенного решения уравнений. Например, если применять совместно метод хорд и метод касательных, то интервал изоляция будет сужаться с обоих концов и это ускоряет процесс вычисления корня с заданной точностью. С достаточной эффективностью можно сочетать метод проб с методом Ньютона или методом хорд. [c.20]

Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология