Область сходимости

Для сложных систем (У.2) при больших к нахождение точного решения потребует выполнения большого числа расчетов поэтому часто ип ут не точное, а приближенное решение этой системы, используя различные итерационные методы. Как правило, программы для ЭВМ при использовании итерационных методов значительно компактнее и время вычислений гораздо меньше. Известен [1] ряд итерационных методов решения системы (У-2), однако каждый из них применим лишь в ограниченной области условий, позволяющих быстро свести итерационным процессом плохое решение к хорошему. Вне этой области сходимость решения будет медленной. [c.142]

Несмотря на то, что применение термодинамических гомотопий значительно увеличивает область сходимости по сравнению с методом Ньютона, для увеличения надежности алгоритмов при моделировании сложной системы взаимосвязанных колонн разделения, теплообменников и клапанов наилучшим будет применение комбинации функций термодинамической гомотопии и дифференциальной гомотопии. [c.276]

В настоящем разделе дается краткий обзор существующих математических методов, которые можно использовать для решения задачи оптимизации непрерывно изменяющихся параметров адсорбционных установок, а также оценка их перспективности с вычислительной точки зрения. Оценка методов делается на основании практического опыта расчетов. В тех случаях, когда опыт применения отдельных методов слишком мал или полностью отсутствует, оценка производится на базе укрупненных проработок применительно к ряду практических задач. В качестве основного критерия сравнения различных методов принят объем вычислений на ЭВМ, требуемый для отыскания решений с заданной точностью. Кроме того, учитываются область сходимости метода, его универсальность по отношению к возможным изменениям описания физико-технических процессов оптимизируемых установок, гибкость и простота многократного применения, трудности и время программирования, наглядность получаемых на ЭВМ результатов. [c.122]

И расходится при плотностях, соответствующих жидкой фазе. При температурах выше критической, согласно грубым оценкам, сходимость вириального ряда разложения начинает падать по крайней мере для практических целей при плотностях, примерно равных критической плотности или в 200—300 раз превышающих плотности идеального газа при нормальных условиях (0° С и 1 атм). Если рассматривается ряд, содержащий несколько первых членов, как это сделано в табл. 1.1, то область сходимости такого ряда ограничивается половиной критической плотности. Вопрос о количестве вириальных коэффициентов, необходимых для получения удовлетворительных результатов, частично изучался в работах [5, 9]. [c.16]

Модификации метода Ньютона можно подразделить на две группы к первой относятся методы, уменьшающие количество вычислений на каждой итерации, ко второй — методы, увеличивающие область сходимости метода. [c.269]

Перейдем теперь ко второй группе методов. Часто используемый прием — это соединение метода Ньютона с одним из методов, имеющих более широкую область сходимости, например, с методом градиента. Тогда вначале работает метод градиента, а метод Ньютона применяется на последнем этапе минимизации, когда с помощью метода градиента уже получено хорошее начальное приближение. [c.269]

Полученный ряд сходится при условии 4Св < Ка. НА. с учетом этого условия в области сходимости ряда уравнение изотермы приобретает удобный для дальнейшей обработки вид [c.146]

V —2 область сходимости которых значительно шире области сходи- [c.338]

Ниже будут рассмотрены примеры анализа области сходимости и варианты улучшения сходимости для задач контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.149]

V2 область сходимости которых значительно п ире области сходи-к [c.338]

С учетом этого условия в области сходимости ряда уравнение изотермы приобретает удобный для дальнейшей обработки вид [c.117]

Каждый итерационный метод характеризуется скоростью сходимости, объемом вычислений на одной итерации и необходимым объемом запоминающего устройства для хранения программы и результатов промежуточных расчетов. Для ряда методов существенной характеристикой служит и область сходимости — множество точек и, из которых итерационная процедура позволяет прийти к какой-либо точке и. [c.36]

После того как ряд просуммирован, можно функцию (х) продолжить за область сходимости, в частности в области больших аргументов. Получим [c.142]

В вещественной области роль круга сходимости играет интервал, во всех точках которого ряд Тейлора сходится. Этот интервал называется областью сходимости. Найти область сходимости — непростая задача. Мало того, что нужно вычислить все производные рассматриваемой функции, привлечь подходящий признак сходимости степенных рядов, нужно еще проверить, что сумма равна исходной функции В комплексной области эта же задача решается до смешного просто. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки го до ближайшей точки, в которой функция не имеет производной. Покажем, как это делается. Пусть, например, / г) = 1/(1 + 2 ) и = 2, а п — любое целое положительное число. Выбранная функция аналитична во всех точках комплексной плоскости за исключением двух точек, 2 = г, в которых знаменатель обращается в нуль. Они и составляют границу области аналитичности (последняя представляет собой всю комплексную плоскость с двумя выколотыми точками). Интересующий нас радиус круга сходимости равен расстоянию от точки го до любой из точек г, то есть корню квадратному из пяти. Если нас интересует только область сходимости ряда Тейлора, то она представляет собой тот интервал вещественной оси, который размещается внутри круга сходимости. В рассматриваемом случае это интервал, заключенный между точками 2 — /5 и 2 + у/Ь. [c.70]

Область значений х, для которых степенной ряд представляет функцию, называется областью сходимости ряда. Без исследования области сходимости разлагать функцию в ряд нельзя. Свойства бесконечных рядов подробно рассматриваются в курсах дифференциального исчисления. [c.578]

Найти область сходимости построенного ряда. [c.212]

Найти радиус и область сходимости степенных рядов (17-21). [c.220]

Функция Разложение в ряд Маклорена Область сходимости [c.74]

Потенциал электрического поля вне сферы с центром в начале координат, полностью охватывающей источники (в области сходимости мультипольного разложения), можно рассматривать как сумму потенциалов неограниченного числа идеализированных источников тока точечных мультиполей, расположенных в начале координат, и формально выразить как [c.195]

Ряды. В физической химии часто применяются представления функций в виде рядов. В некоторых областях изменения переменной достаточно бывает взять только один или два члена ряда, чтобы представить функцию с необходимой степенью точности. Выражение функции может быть значительно упрощено этим способом. Ряды имеют силу только для определенной области изменения переменных, называемой областью сходимости ряда [c.754]

Такой ряд имеет некоторый круг сходимости, радиус которого обозначим с центром в точке г = 0. Таким образом, область сходимости [c.532]

Область сходимости этого ряда определяется областью сходимости ряда Маклорена — он сходится равномерно при всех значениях [c.411]

Приведенные в таблице методы позволяют решить широкий ряд задач для взаимосвязанных систем разделения, в том числе для систем, приведенных на рис. 5.2, однако при этом авторы не выделяют те задачи, для которых предлагаемые ими методы не работают. Общеизвестно, что метод Ньютона и квазиньюто-новские методы могут не сходиться при решении задач разделения из-за сильных неидеальностей температурного профиля или равновесных соотношений. Поэтому в [16] (см. табл. 5.1) предпринята попытка объединить сфатегию блочной релаксации с методом Ньютона для увеличения области сходимости, что однако не позволило решить все проблемы. [c.237]

Прежде чем приступить к детальному изучению вопроса, рассмотрим некоторые числовые величины, входящие в вириальное уравнение состояния, и отметим некоторые из этих общих характеристик. В качестве примера возьмем аргон при температуре 25° С. Пользуясь табл. 1.1, определим вклад в ру НТ от первых нескольких членов как для ряда по плотности (1.2), так и для ряда по давлению (1.3) при различных значениях давления. Вклады от оставшихся членов, взятые из экспериментальных значений ри1ЯТ, указаны в скобках. Другие газы ведут себя подобным образом, хотя значения температур и давлений будут иными. Очевидно, что при низких давлениях сходимость обоих рядов одинаково хорошая, однако при высоких давлениях оба ряда плохо сходятся, если вообще сходимость существует. Обычно из интуитивных соображений следует, что вириальное уравнение состояния в действительности расходится при высоких плотностях, но природа расходимости и область сходимости окончательно еще не установлены ни теоретически, ни экспериментально. (Весьма обстоятельно этот вопрос рассмотрен в разд. 16 работы [24]). Упомянутые ранее простые случаи указывают на то, что сходимость вириальных рядов в любом случае является асимптотической и что все члены, которыми можно пренебрегать при низких плотностях, становятся существенными при высоких плотностях (очевидным примером могли бы служить члены, изменяющиеся как е ). Лишь недавно было дано математическое доказательство того, что вириальный ряд абсолютно сходится в области ограниченных размеров в соответствии с определенными условиями, налагаемыми на межмолекулярные силы [29]. Хотя точная область сходимости с математической точки зрения до сих пор не установлена, можно считать доказанным существование таких областей. Экспериментально установлено, что при температурах ниже критической вириальный ряд сходится вплоть до плотностей насыщенного пара [c.15]

Математически слабым местом в приведенных выше выводах является вопрос существования (т. е. сходимости) разложения (2.49) для р (или для 1п Н) по степеням г. Мы предположили его существование, и во всех случаях, которые будут рассмотрены, это предположение справедливо. Однако в существовании сходимости нет полной гарантии, и можно представить особые случаи сильно вырожденных или сильно взаимодействующих систем, для которых разложение (2.49) недействительно. (Мы уже упоминали случай полностью ионизированного газа.) Более совершенные методы вывода, в которых большое внимание уде-, лялось развитию группового разложения, были разработаны Стиллингером и Кирквудом [25]. Они нашли, что в общем случае разложение формально можно получить, но коэффициенты будут функциями параметра разложения г. Таким образом, в самом общем случае не представляется возможным явно выделить г для ряда по давлению (2.49) и ряда по плотности (2.55), или, иначе говоря, уравнение состояния в вириальной форме не всегда существует. Тем не менее можно сделать следующий вывод если вириальное уравнение состояния существует, то мы можем рассчитать вириальные коэффициенты из функций распределения. Точная область сходимости до сих пор остается до конца не выясненной, хотя эти разложения схо--дятся в ненулевой области для некоторых потенциалев взаимодействия, как уже отмечалось в разд. 1.4. [c.40]

Если функция 1п х), определяемая (1.104), сходится для всех значений л , она является единсттвенны1м решением уравнения Бесселя. Для определения области сходимости используем признак Коши, находя, отношение (т- -1)-го члена ряда к т-му [c.63]

Выписывать в развернутом виде правые части не будем, отсылая интересующихся к ранее цитированной работе Голдстейна и Розен-хеда в этой статье авторы не пожалели труда, чтобы вычислить величину поправки в замкнутом виде )- К сожалению, вопрос об области сходимости получаемых таким образом рядов функций [c.119]

В этом частном случае при переходе с равномерно меняющимся R изменение Л меньше. Таким образом, построение области перехода с максимальным числом непрерывных производных не гарантирует нахождения минимального фазового простр аиства даже в области сходимости ряда. Для почти адиабатических систем значение АЛ/Л мало для любого разумного параметра вариации. Когда параметры системы становятся все более неадиабатическими, равномерная вариация, которая гарантирует то же число порядков ряда, справедливых во всей области, кажется предпочтительней. [c.75]

Отметим, что первые приближения обоих последних мето тов совпадают. В некоторых простых задачах можно уста новить области сходимости 53]. Вопрос о сходимости мето дов в общем случае остается открытым. [c.10]

В литературе можно чаще найти более полные таблицы преобразовании Лапласа, нежели преобразований Фурье. Может показаться, что в такой ситуации тюлезно знать ( юрмулы перехода от преобразований Лапласа к пpeoбpaзoвaния Фурье, Но при выполнении таких переходов необходимо учитывать как область сходимости преобразования Лапласа, так и вид его, т. е. является ли оно односторонним (интеграл с пределами от О до Ч-оо) нли двусторонним (интеграл с пределами от —оо до -т-оо). Как следствие, формулы перехода могут оказаться весьма сложными [11261 и ие очень пригодными. [c.56]

Первый метод основан на использовании уравнений стационарного пламени в эйлеровых координатах. Вторая форма этих, уравнений получается при опускании производной по времени в уравнениях типа (4.19) (ср. с лагранжевым представлением,, когда в левой части опускается производная по пространственной координате). Ход вычислений в основном совпадает, как показано в [99], с алгоритмом решения нестационарных уравнений, за исключением того, что шаги по времени заменяются итерационными шагами по методу Ньютона в направлении решения. Скорость сходимости, если последняя имеет место, весьма велика, однако вычисления с непосредственным применением схемы Ньютона могут оказаться неустойчивыми, поскольку отсутствует стабилизирующее влияние члена, связанного с производной по времени, при малых (или при больших значениях Р в уравнении (4.23) и в соответствующих конечно-разностных уравнениях). Для уменьшения чувствительности алгоритма к выбору начального приближения возможно, конечно, применение релаксационного метода, такого, например, как использовавшийся в работах [54, 19]. Однако более важным оказывается то обстоятельство, что область сходимости для алгоритмов расчета стационарного пламени увеличивается вместе с загруб- [c.102]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология