Ньютона способ

Вычислив приближенное значение искомого корня, мон по затем вычислить и значение многочлена / (а ) при х = х. , т. е. значение / х и применить потом к числам х ж I (Ж1) тот же способ Ньютона для вычисления второго приближения [c.150]

Решаем теперь уравнение (47а) по способу Ньютона [c.151]

Однако макроскопические свойства системы могут быть выведены и иным путем — из анализа микроскопических свойств объектов и сил взаимодействия, существующих между ними. Наиболее простой и бесхитростный способ решения такой задачи состоит в том, чтобы, зная исходные данные (начальные условия), решить соответствующее уравнение связи для каждой частицы. Ситуация при этом носит достаточно общий характер — если объекты системы достаточно велики и подчиняются законам классической физики, то необходимо решать уравнения классической механики (Сравнения Ньютона) при знании начальных координат и импульсов каждого объекта если же речь идет о микрообъектах, подчиняющихся законам квантовой механики, то необходимо решать волновое уравнение Шредингера при знании начальных волновых функций и сил взаимодействия. Единственные затруднения такого прямолинейного анализа состоят в том, что, во-первых, число объектов в реальных системах весьма велико (например, при нормальных условиях Т = = 29.3 К, Р = 1 ат, в 1 см содержится N = 2,7-10 молекул — число Лошмидта, что означает необходимость решения 3-2,7-10 8-10 уравнений при 6-3-2,7 х X 10 5-10 значениях начальных условий) и, во-вторых, точные значения начальных условий неизвестны. Поэтому необходим иной подход [11]. [c.24]

По-видимому, наиболее универсальным и удобным для применения ЭВМ является модифицированный метод Ньютона — Рафсона [123], сочетающий преимущества метода касательных и способа логарифмической линеаризации нелинейной части системы. В [26 ] предложена иная организация расчета, состоящая в том, что решение ищется не относительно самих неизвестных, а относительно поправок к ним До = которые и прини- [c.153]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

Распространенным способом решения системы нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона — Рафсона, в основе которого используется линеаризация исходной системы в окрестности некоторого начального приближения с последующим уточнением решения. Линеаризация производится разложением функции в ряд Тейлора до членов первого порядка включительно. [c.301]

При интерполировании по Ньютону многочлен Р (х), удовлетворяющий условию (11 —25), может определяться двумя способами [c.306]

Заметим, что многочлен Лагранжа, построенный по этим же точкам, совпадает с многочленами Ньютона. Следовательно, если дана га + 1 узловая точка, то независимо от способа построения многочлена степени не выше п проходяш его через заданные точки, последний определен однозначно в пределах ошибок округления. [c.308]

Метод весьма просто применим также и к нахождению приближенных решений систем нелинейных уравнений, не содержащих параметра X. В этом случае необходимо только предварительно преобразовать исходную систему к виду (5.10). Заметим, что эффективность решения в значительной мере будет зависеть от способа введения параметра X. Так, в частности была использована глобальная гомотопия Ньютона [c.269]

Преимущества и недостатки метода Ньютона применительно к задаче оптимизации рассмотрены в работе [11, с. 268] остановимся на наиболее существенном недостатке. Метод Ньютона требует определения матрицы Якоби — левых частей системы уравнений (II, 8). В случае расчета стационарных режимов ХТС аналитическое определение матрицы Якоби обычно требует очень трудоемкой подготовительной работы. Конечно, положение изменится, когда будут созданы системы программ моделирования ХТС, использующие математический аппарат сопряженного процесса [1, с. 139], позволяющий вычислять требуемые производные. Однако, поскольку таких программ, полностью автоматизирующих аналитическое определение матрицы Якоби, пока еще нет, метод Ньютона с аналитическим вычислением производных применяется очень редко. В связи с этим ставится задача использования метода Ньютона с некоторой аппроксимацией матрицы Якоби. Наиболее простым способом получения аппроксимации матрицы Якоби является разностный. В этом случае элементы р матрицы J подсчитываются следующим образом [c.31]

Рассмотрим частный случай, когда /, —квадратичные функции. Тогда, если мы используем первый способ для получения матриц В< ), то, начиная с -го шага и далее, будем иметь точные значения гессианов функции а, следовательно, в соответствии с формулой (У,59), — точное значение гессиана функции / т. е. через п шагов будет работать метод Ньютона. [c.186]

Элементы математической логики необходимые и достаточные условия. Прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Бином Ньютона. Формулы сокращенного умножения. Определение функции. Способы задания функции. [c.148]

Графически способ Ньютона можно рассматривать как линейную экстраполяцию функции (рис. 1-4) в точке [а ,,, / (х )1 до значения (х +1, 0). Наклон экстраполяционной линии составляет / (а ,,). Если функция / х) линейна, то значение для рас- [c.19]

На рис. 1-4 показано применение способа Ньютона для нахождения положительного корня х = 2 + 2 / 2), который удовлетворял бы уравнению (1,8). Простые итерации в этом случае не дают решения способ Ньютона, наоборот, обеспечивает быструю сходимость до искомого результата. Кроме того, очевидно, что если начальное значение х лежит вправо от х =- 2, то способ Ньютона дает сходимость при значении корня х = = (2+2 /2). В случае, когда начальная величина х лежит влево от X = 2, этот способ дает сходимость при корне х = = (2—2У 2). Если взято начальное значение х = 2, способ Ньютона оказывается непригодным, так как f (2) = 0. Если же, наконец, в окрестности значения искомого корпя оказывается точка перегиба, указанный способ может не дать сходимости . [c.19]

Прежде чем применять способ Ньютона, следует определить поведение функции в окрестности значения корня и соответственно [c.19]

Способ интерполирования. Некоторые ограничения способа Ньютона можно обойти применением способа интерполирования (1Д4). Преи де всего выбирают два произвольных значения х и вычисляют отвечающие им значения функции. Допустим, что х = 2, а X., = 0,5 это соответственно дает / (2) = —8 и / (6,5) [c.20]

Очевидно, способ интерполирования, приемлем даже в случае непригодности способа Ньютона, т. е. если взято значение х, дающее f х) = 0. Если же функция линейна, искомое значение х определяется, так же как и при способе Ньютона, уже после [c.20]

Способ Ньютона — Рафсона. Распространение способа Ньютона на функции с несколькими переменными называется способом Ньютона — Рафсона . Этот способ обосновывается аналогично способу Ньютона. [c.21]

Графическая интерпретация способа Ньютона — Рафсона представлена на рис. 1-6. Уравнение (1,20) можно изобразить геометрически в виде проекций на плоскости, параллельных плоскостям / — а и — у. Эти проекции начинаются в точке (х , у ) па поверхности функции /1 (х, у) и кончаются в точке У,1+1)- На рис. 1-6 показано, что первая проекция имеет наклон [c.21]

Рис. 1-6. Графическая иллюстрация способа Ньютона — Рафсона.

Таким образом, нужно найти некоторое значение Т, при котором / (Г) = 0. Поскольку каждое значение возрастает с температурой, то / (Г) имеет только один положительный корень. ДJ[Я определения искомого корня используется способ Ньютона. Если считать, что Т — значение Т, полученное после п последовательных приближений, то улучшенное значение Т (обозначается как 2 +1) для п -Ь 1)-го приближения определяют по формуле Ньютона [c.25]

Для того чтобы показать на практике применотгае способа Ньютона К решению уравнений высших степеней, вернемся опять к определению равновесного состава газовой смеси, получающейся при дегидрировании и изомеризации циклогексана [c.150]

Неравновесная задача рассматривается в разд. 3.4, Что же касается равновесных и стационарных процессов (режимы 1 и 3), то практические детали реализации решения алгебраической системы (3.70) и задание конкретной кинетической модели как раз и определяют -все разнообразие известных подходов к анализу предельных явлений, позволяя в частных случаях получать различные асимптотики, поддающиеся аналитическому рассмотрению. Так, для случая 3 система (3.70) для механизма окисления водорода вида Г а = 1+—4+, 12, 14-, 15, 18+, 20+, 9- (М = = Нз, Оз), 11+(М = На, Оа) — см. табл. 2) впервые была рассмотрена в [57]. Подробный анализ этой модели, как и некоторых других, проведен в гл. 4. Заметим, что численное решение для случаев 1 и 3 можно реализовать любым способом, причем наиболее удобен пз них модифицированный метод Ньютона — Рафсона. [c.161]

Программа метода наименгших квадратов. Если число экспериментальных точек равно п + i n — степень полинома), то для определения коэффициентов полинома можно воспользоваться интерполяционными формулами Лагранжа, Ньютона (глава 11, стр. 302), если же число точек больше степени полинома, то наиболее распространенным способом оценки коэффициентов является метод наименьших квадратов (см. глава И, стр. 319). [c.442]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Таким образом, если методы Ньютона и Гаусса — Ньютона можно применять только для функций (систем), для которых rang Bk = И) то для алгоритма X это ограничение отпадает и данный алгоритм можно рассматривать как расширение алгоритма VHL В работе [96] предлагается способ отыскания псевдообратной матрицы В тех случаях, когда матрица первых производных не может быть задана, приводится метод получения аппроксимации [c.142]

Однако если разорвать потоки 14 — 10 и 7—8, для согласования условно-выходных и условно-входных переменных нужно решать систему нелинейных уравнений (27Уз + 2)-го порядка. Тако разрыв схемы позволяет значительно снизить порядок решаемой системы, что особенно сказывается при наличии большого числа параллельных агрегатов. Например, для схемы одного из заводов, СК где N<2 = 1, а Л з = 2, при разрыве первым способом получается система 20-го порядка, вторым — 6-го. При реализации процесса в одну техноло1 ическую цепочку эта разница не так значительна (системы 6-го и 4-го порядков). Однако опыт расчета подобной схемы на машине Минск-22 показал, что при одинаковых начальных условиях и методе решения системы уравнений (метод Ньютона) число итераций сократилось незначительно, а время расчета — в 1,5—2 раза за счет уменьшения объема вычислений на. каждой итерации. С увеличением значений ТУз преимущество второго способа разрыва схемы перед первым по числу итераций и времени расчета существенно возрастает. [c.303]

Как только будет получено постоянное значение величины SUMY, последняя сравнивается с единицей. Если сумма концентраций равна единице в пределах допустимой ошибки, то полученная температура отвечает условиям равновесия в противном случае вновь корректируется температура и выполняется еще одна итерация по температуре. Последующие уточнения температуры производятся по способу Ньютона . В программе предусмотрен соответствующий контроль сходимости решения. [c.61]

Затем переменная ЗиМХ сравнивается с единицей, и если она не равна последней, то вместе со своей предыдущей величиной она используется для расчета нового значения температуры по способу Ньютона. Как и в предыдущей программе, здесь предусмотрен контроль на сходимость решения по методу Ньютона. Если сумма концентраций компонентов жидкой фазы равна единице в пределах допустимого отклонения, значит найдены равновесные значения температуры и состава и основная программа вызывает подпрограмму вывода для печати результатов. Для расчета равновесия тех же компонентов в других условиях необходимо повторить [c.63]

Если расчет протекает нормально, то новое значение X (1) вычисляется по способу Ньютона с учетом линейной зависимости между X (1) и SUMY. В том случае, если новое значение X (1) положительно, управление передается метке 540 к началу внешнего цикла. Если же начальные значения параметров физически нереализуемы, то новое значение X (1) должно быть или отрицательным или нулевым. В этом случае переменной X (1) присваивается предыдущее положительное значение и управление передается основной программе. И, наконец, если в расчетах использовалось вириальное уравнение в терминах давления, то этот факт отмечается при печати. [c.170]

Монография Ч. Холланда может оказаться полезной всем, кто хочет иметь достаточно надежные методики расчета многокомпонентной ректификации на ЭВЦМ. Но отметим, что некоторые практические рекомендации автора (например, для решения системы уравнений способом Ньютона — Рафсона при расчете ректификационных колонн со стриппинг-секциями) неточны и подлежат дальнейшей корректировке. [c.11]

Способ Ньютона. Одним из часто применяемых способов решения задачи методом последовательных приближений является способ, предложенный Ньютоном. Допустим, что необходимо найти значение х, при котором / (х) = 0. Способ Ньютона состоит в использовании при итерациях двух первых членов ряда Тейлора для / (ж) в окрестности, некоторого значения х, скаж ем х . [c.18]

Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22]

Способ Ньютона для расчета температур кипения применили Амундсон и Понтинен , а также Листер и др. Они установили, что этот способ дает очень быструю сходимость при определении ге.мпературы кипения. Тем не менее методика расчета все же должна включать и некоторую проверку для того, чтобы [c.25]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология