Ковариационная функция оценки

В разд 5 I 5 было показано, что обладающую наименьшей среднеквадратичной ошибкой оценку функции отклика некоторой системы на единичный импульс можно было бы выразить через ковариационные функции входа и выхода. На практике невозможно знать эти ковариационные функции точно, и, следовательно, необходимо оценивать их по записям конечной длины [c.210]

В разд 5 3 1 будут выведены выборочные оценки наименьших квадратов для функции отклика на единичный импульс в случае, когда в распоряжении имеются конечные записи входа и выхода. Будет показано, что результаты получаются аналогичные тем, которые были выведены в разд 5.1 5, с той разницей, что теоретические ковариационные функции заменяются их выборочными оценками. Кроме того, будет показано, что этот подход приводит к вычислению по данным таких функций, которые являются естественными выборочными оценками авто- и взаимных ковариационных функций В разд. 5 3 2 определяются другие выборочные оценки [c.210]

Это наводит на мысль определить выборочную оценку взаимной ковариационной функции следующим образом. [c.212]

После того как 5 выражена через выборочные оценки ковариационных функций или выборочные ковариационные функции, выбо- [c.213]

В предыдущем разделе мы видели, что выборочная ковариационная функция Схх и) появилась соверщенно естественно в качестве выборочной оценки теоретической ковариационной функции Ухх(и) Оценку, соответствующую (5 3 5), можно записать в виде [c.213]

Свойства оценок ковариационных функций [c.214]

Сейчас мы выведем свойства оценок ковариационных функций j, u) и (и), связанные с первым и вторым моментами, предполагая, что сигнал x(t) (О t Т) является реализацией стационарного случайного процесса X(i), обладающего следующими свойствами- [c.214]

Yxx(w), а дисперсии пропорциональны Т. Следовательно, эти две оценки ковариационных функций являются асимптотически состоятельными Таким образом, ковариационную функцию E[X(t)X(i+ + и)] процесса X (t) можно оценить с произвольно малой ошибкой с помощью единственной достаточно длинной записи В таком случае для ковариационной функции среднее по времени, взятое по одной бесконечной записи, равно среднему по ансамблю, и поэтому ковариационная функция называется эргодической Во многих книгах этому свойству уделяется большое внимание, но в действительности оно не представляет большого физического интереса, поскольку наблюдаемые временные ряды имеют конечную, а не бесконечную длину [c.220]

Оценивание корреляционной функции. Иногда требуется сравнить два временных ряда, масштабы измерения которых могут быть различными, так что больше подходят выборочные оценки корреляционных, а не ковариационных функций. Выборочные оценки корреляционных функций можно получить, разделив рассмотренные выше выборочные оценки ковариаций на выборочную оценку дисперсии. Таким образом, получаем [c.222]

В разд. 5 33 было показано, что среднеквадратичная ощибка оценки ковариационной функции Схх(и) имеет порядок 1/Г, и поэтому ее распределение концентрируется все теснее около ухх и) при Г- оо. Таким образом, Схх(и) является состоятельной оценкой ухх(и). Другими словами, средняя по времени величина Схх и) сходится к средней по ансамблю величине ухх(и) Это [c.269]

Оценка Схх (f) есть преобразование Фурье оценки ковариационной функции Схх (и), причем Схх ( ) = 0 вне интервала —Т < Т. Если внутри интервала —Т 7 функция Схх(и) представляется некоторой периодической функцией ср ( ), такой, что [c.305]

В (7.1.1) выборочная оценка Схх к) ковариационной функции равна [c.8]

В разд 53 1 было показано, что разумной оценкой взаимной ковариационной функции при условии, что средние значения процессов равны нулю, является функция [c.93]

Д гц. Как и в разд. 7.1.1, число запаздываний ковариационных функций, используемых в спектральных оценках, обозначается через L Сглаженные выборочные спектральные оценки нужно вычислять в точках О, 2F,. ., V2, где F в два-три раза больше L Корреляционное окно может быть одним из трех окон, описанных в разд. 7 1 1 [c.144]

Предположим, что выборочная взаимная ковариационная функция имеет пик в точке 5, причем 5 может быть и положительным, и отрицательным. Тогда в выравненных выборочных оценках используется центрированная взаимная ковариационная функция, имеющая пик в нуле. Таким образом, выравненная выборочная оценка взаимной ковариационной функции имеет вид [c.162]

Далее можно пользоваться формулами, приведенными в разд 9 3 1, применяя их к выравненным выборочным оценкам взаимной ковариации Формулы (9 3 6) и (9 3 7) для четной и нечетной частей выборочной взаимной ковариационной функции переходят в [c.162]

КОВАРИАЦИЯ ОЦЕНОК КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ [c.174]

Способы оценивания ковариационных функций и спектральных плотностей при помощи аналоговых устройств и цифровых ЭВМ детально описаны в [3.1]. Здесь же оценивание рассматривается с точки зрения возможных ошибок. Все оценки приводятся в виде выражений, содержащих интегралы, которые легко заменить суммами и тем самым преобразовать к виду, удобному для вычисления на ЦВМ. Нужно только обратить внимание на следующие замечания, связанные с особенностями выборок из случайных процессов, о которых говорилось в разд. 1.2.3. Во-первых, непрерывная реализация длины Т превращается в последовательность N равноотстоящих выборочных значений без существенной потери информации, если [c.78]

Уравнение (3.18) дает несмещенную оценку ковариационной функции стационарного эргодического случайного процесса x(t)) по одной выборочной функции x(t), O i r, а именно [c.79]

Аналогично из уравнения (3.16) получаем несмещенную оценку взаимной ковариационной функции двух стационарных эргодических процессов x(t) и y(t) по двум реализациям x(t) и y(t), измеренным на одном и том же временном интервале [c.79]

Хотя выражения (3.81) и (3.82) и дают прямой метод оценивания ковариационных функций, современные устройства цифровой обработки сигналов позволяют более эффективно оценивать ковариационные функции путем вычисления финитного обратного преобразования Фурье оценок спектральной плотности, и поэтому этот способ в настоящее время более распространен. Используя соотношения (3.32) и (3.40), получаем [c.79]

Следовательно, требуемая ковариационная функция и ее зеркальное отражение (рис. 3.14) окажутся разделенными, как показано на рис. 3.15. Отбрасывая значения оценки при х>Т, получим оценку ковариации на интервале с устраненным [c.80]

Спектральные плотности можно оценивать, применяя финитное преобразование Фурье либо к ковариационным функциям на основе формул (3.29) и (3.30), либо непосредственно к реализациям случайного процесса с использованием формул (3.46) и (3.47). С момента появления в 1965 г. алгоритмов быстрого преобразования Фурье ([3.2] последний подход стал преобладающим. При таком подходе на практике операцию нахождения математического ожидания в уравнениях (3.46) и (3.47) нужно выполнять путем оценивания спектральных величин для каждого набора реализаций, а затем полученные результаты усреднять по всем наборам. В случае стационарного эргодического случайного процесса требуемые наборы реализаций можно получить из одной реализации путем разбиения ее на части нужной длины (рис. 3.16). Если имеется набор из па таких реализаций Xk(t), (к—1)Г Г, =1, 2,. .., па, стационарного эргодического случайного процесса х(1) . то оценка спектраль- [c.81]

Систематические и случайные ошибки, характерные для оценок ковариационных функций и спектральных плотностей, исследованы в работах [3.1, 3.6, 3.7]. В табл. 3.2 дана их сводка. Статистические ошибки для более сложных функций анализируются в гл. 11. Выражения для случайных ошибок оценивания ковариационных функций, приведенные в табл. 3.2, могут служить лишь ориентиром, поскольку они получены в предположении, что спектр постоянен по всей полосе шириной В. Величина смещения для оценки взаимного спектра является оценкой сверху. Если обе реализации имеют спектральный пик на одной и той же частоте, то нужно брать наименьшее Вг. Нако- [c.86]

Вернемся еще раз к системе с одним входом и одним выходом (рис. 5.1), и пусть теперь ее частотная характеристика H(f) известна или сделана ее оценка методами разд. 5.2. Предположим далее, что входной процесс x(t) известен или получена оценка его спектра Gxx(f). Соотношения (4.3) и (4.8) позволяют найти ковариационную функцию и спектральную плотность реакции y(t) [c.124]

Вклад отраженного шума больше, чем прямого, потому что громкоговоритель, обладающий определенным направленным действием, был повернут в сторону бокового отражателя. На рис. 6.3, в приведена взаимная ковариационная функция при наличии только заднего отражателя. Пик, соответствующий прямому пути, и на этот раз не изменился, а второй пик подобного вида появился при Тз=5,0 мс, что соответствует общей длине пути, проходимого шумом, отраженным от задней поверхности, с/з=1,70 м. Наконец, на рис. 6.3, г представлена взаимная ковариационная функция при наличии обоих отражателей. Отчетливо видны три пика, соответствующие трем отдельным трактам. Все оценки производились при =256 усреднениях с разрешением по времени Те=А/ = 0,012 мс. [c.133]

Тогда оценка Яху(т ) взаимной ковариационной функции в первом приближении имеет вид [c.284]

Сейчас мы выведем свойства оценок ковариационных функци и (и), связанные с первым и вторым моментами, пред полагая, что сигнал х(() (О Т) является реализацией ста ционарного случайного процесса Х(/), обладающего следующим свойствами [c.214]

Равенство (5 3.19) показывает, что в общем случае соседние значения оценок ковариационных функций будут сильно коррелиро- [c.217]

Иногда полезно получить грубую выборочную оценку формы спектра, не вычисляя сначала ковариационную функцию и затем сглаженную выборочную оценку по формуле (7 16). В частности, если нужно предварительно отфильтровать данные, как, например, в некоторых задачах из гл 9—И, то грубый пробный анализ может оказаться достаточным, чтобы приближенно синтезировать хорошую частотную характеристику фильтра Поскольку такой пробнтлй анализ легко выполнить и без вычислительных машин, он служит также полезным упражнением, показывающим, какого рода информация содержится в спектре [c.38]

Спектральный анализ данных о партиях продукта. /. Предвар1 рительный анализ Проверка данных о партиях продукта н рис 5 2 не выявила какого-либо очевидного тренда Поэтому был использована выборочная оценка ковариационной функции (7 1 2) [c.44]

Были вычислены выборочные ковариационные функции исход ного и отфильтрованного рядов, и затем с помощью окна Бартлетта получены выборочные спектральные оценки при разных значениях точки отсечения Ь Выборочные оценки спектра отфильтрованного ряда переставали изменяться, когда А достигало значения 30, в то время как для исходного ряда потребовались юраздо большие значения Ь Чтобы сравнить эти два спектра ня высоких частотах, на рис. 7 19 приведены выборочные [c.53]

Следовательно, из-за введения поправки на среднее значение смещение увеличилось на величину порядка 1/Г Выборочная взаимная ковариационная функция имеет те же самые недостатки, что и выборочная автоковариационная функция, п, в частности, ее соседние значения сильно коррелированы В Приложении П9 1 показано, что ковариация оценок различных запаздывании 1 и Ыг дается формулой Бартлетта [c.94]

Заметим в заключение, что наличие смещения в оценке функции когерентности можно иногда с успехом использовать для анализа систем, в которых эффекты реверберации проявляются только на выходе. В частности, иногда нас интересует лишь непосредственный вклад входного процесса в процесс, наблюдаемый на выходе системы. Если ширина полосы частот источника достаточно велика, так что максимумы взаимной ковариационной функции Rxyii), соответствующие прямому тракту и первому отраженному сигналу, отстоят друг от друга на заметное расстояние, то оценку непосредственного вклада входного процесса можно получить, правильно выбрав длину реализаций. Допустим, что взаимная ковариационная функция, связывающая процессы x(i) и может быть представлена в виде (6.2). Пусть ti и тг — моменты, при которых наблюдаются максимумы взаимной ковариационной функции, соответствующие сдвигам по времени для сигналов, поступающих в приемник непосредственно и после первого отражения, и пусть за- [c.229]

В предыдущем разделе мы видели, что выборочная ковариаци-)нная функция Схх(и) появилась совершенно естественно в каче- тве выборочной оценки теоретической ковариационной функции /XX(и). Оценку, соответствующую (5.3.5), можно записать в виде [c.213]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология