Однородность функции

По теореме Эйлера однородные функции т-го измерения обладают следую-щ им свойством [c.174]

В соответствии с теоремой Эйлера для однородных функций первой степени уравнение (121.6) принимает вид [c.346]

Изобарный потенциал раствора является однородной функцией масс первого измерения. Такими же функциями масс при постоянных р к Т являются внутренняя энергия, энтальпия, энтропия, объем раствора и др. [c.174]

Термодинамические свойства системы (см. 56) обычно подразделяются на интенсивные и экстенсивные. К интенсивным относятся свойства равновесной системы, не зависящие от количества вещества и одинаковые для всей системы, такие, как температура, давление, концентрация, молярный объем и другие молярные свойства. В противоположность интенсивным экстенсивные свойства растворов н любых других систем пропорциональны количеству вещества, зависят от массы системы. К экстенсивным относятся такие свойства системы, как энтальпия, объем, теплоемкость и т. п. Если, например массы всех компонентов, составляющих систему, увеличить в п раа при постоянных температуре и давлении, то интенсивные свойства системы (концентрация, молярный объем и др.) не изменятся, а экстенсивные (общий объем, теплоемкость и т. д.) возрастут также в п раз. Величины, связанные такой зависимостью, в математике называются однородными функциями первой степени. Более строго одно- [c.345]

Для определения понятая парциальной молярной величины обычно используется теорема Эйлера об однородных функциях. Известно, что функция G x, у, z,. . . ) называется однородной функцией т-го измерения, если она удовлетворяет условию [c.28]

Энтальпия раствора Н—однородная функция масс величины постоянны при любых изменениях масс. Подставив величину Я, равную [c.176]

Отсюда следует также, что /г , как однородная функция степени ноль удовлетворяет условиям [c.43]

Линейным однородным преобразованием плоскости называется такое отображение, при котором каждой точке М (х, у) этой плоскости, заданной относительно общей декартовой системы координат, приводится в соответствии точка М (х, у ), координаты которой выражаются через координаты точки М линейными однородными функциями [c.200]

Показатель степени множителя к в правой части уравнения (V, 15)— показатель однородности—в данном случае равен единице, и функция называется однородной функцией первого измерения (если бы показатель однородности был равен 2, 3,. ..т, то функция имела бы измерение второе, третье,. .. т-е). [c.174]

Не только интегральные экстенсивные свойства растворов являются однородными функциями масс и удовлетворяют условию (V, 20). Изменения этих величин при образовании раствора из чистых компонентов (при постоянных р и Т) также являются однородными функциями масс компонентов. [c.175]

Надо отметить, что термодинамические потенциалы могут быть выражены как однородные функции не только масс компонентов, но и других экстенсивных свойств системы, например объема раствора или его внутренней энергии. [c.176]

Если реакция не простая, а сложная, то возникает проблема связи различных химических потенциалов (точнее, их изменений) между собой. Для этого необходимо построить новое характеристическое уравнение по независимым переменным. Используем то обстоятельство, что, например, свободная энергия Гиббса есть, во-первых, однородная функция первого порядка но отношению к n , и, во-вторых, что она является величиной экстенсивной. Тогда сразу можно записать [c.38]

Экстенсивное свойство системы является однородной функцией первой степени по отношению к массам компонентов. Одно из важнейших свойств однородных функций характеризуется теоремой Эйлера. Если [c.346]

Функции, для которых это условие справедливо, называются однородными функциями со степенью однородности т]. [c.83]

Ядро коалесценции в турбулентном потоке с учетом молекулярного и гидродинамического взаимодействия частиц (5.53) является суммой двух однородных функций с показателями однородности Т1 = 0,5 и Т1 = /з (см. с. 94). Раскладывая каждую однородную функцию в ряд по методике, изложенной в начале этой главы, представим ядро коалесценции (5.53) в виде [c.120]

Исследования показали целесообразность применения функций распределения для нахождения трещин в заготовках. Функции распределения сопоставлены с результатами исследования разрезов заготовок. Трещины нарушают статистическую однородность функции распределения. Ил. I. Список лит. 2 назв. [c.271]

В квантовой механике атомов и молекул V - сумма кулоновских потенциалов. Используя определение Л. Эйлера для однородных функций степени т (в данном случае те = -1) [c.243]

Для описания гомогенных смесей важно математическое понятие однородной функции. [c.139]

Рассмотрим гомогенную смесь, содержащую К различных компонентов в количествах / , п2,...,п (Моль соответственно. Существенно, что некоторые из термодинамических функций, описывающих такие системы, являются однородными функциями состава. [c.139]

Из последнего уравнения следует, что для однородных функций первого порядка можно написать, полагая а = 1, [c.140]

Для любой термодинамической величины Ф(Г, Я, л,), являющейся однородной функцией первого порядка по отнощению к переменным л,, можно написать уравнения, аналогичные уравнениям (9.1) и (9.2) [c.140]

Соотношения (1.57) и (1.59) называются в химической термодинамике парциальными молярными условиями. В соответствии с теоремой Эйлера соотношение (1.60) характеризует парциальные молярные величины как однородные функции нулевого порядка, т. е. для всех I [c.22]

Рассмотрим ситуацию с термодинамическими потенциалами. Очевидно, что однородной функцией первого порядка относительно л, является энергия Гиббса С(Г, Р, л,) [c.140]

В то же время энергия Гельмгольца А = А(Т, У, л,) не является однородной функцией относительно л,. Действительно, если изменить все величины л, в одинаковое число раз путем механиче- [c.140]

СКОРО изменения размера системы, то объем системы также изменится в то же число раз. Следовательно, энергия Гельмгольца не будет однородной функцией только переменных л,. Если же объем при изменении величин л, поддерживать постоянным, то будут меняться концентрации компонентов в системе и, следовательно, взаимодействия между ее частями. Это приведет к нелинейному изменению величины А с изменением величин Таким образом, энергия Гельмгольца не является однородной функцией только переменных л,. [c.141]

Аналогичным путем можно показать, что внутренняя энергия и энтальпия также не будут однородными функциями величин л,. Следовательно, из всех четырех термодинамических потенциалов только энергия Гиббса является однородной функцией относительно переменных л,, и именно ее чаще всего используют при термодинамическом описании смесей. [c.141]

Так как Ф — однородная функция первого порядка, то она не зависит от N. Это следует из (9.12). Действительно, при увеличении содержания в системе каждого компонента в а раз в а раз возрастает не только величина Ф, но и величина N. Следовательно, [c.143]

Это обстоятельство играет важную роль в теории многокомпонентных систем, так как к химическому потенциалу можно применить теорию парциальных мольных величин, а к энергии Гиббса — теорию однородных функций. [c.148]

Рассмотрим для некоторой фазы однородную функцию первого порядка относительно переменных и, Ф = Ф(Г, Р, л,). Это может быть С, V и др. Для ёФ в общем случае можно записать [c.148]

Существенно, что вариантность системы не изменяется при учете уравнений Гиббса—Дюгема, хотя, казалось бы, эти уравнения накладывают дополнительные условия на термодинамическую систему. Действительно, уравнения Гиббса—Дюгема являются следствием однородности функции Ф, и поэтому уравнение [c.150]

Согласно теореме Эйлера, если G есть однородная функция т-го измерения от нескольких перемепш.гх х. у, z, то [c.28]

Выведем некоторые уравнения, связывающие парциальные молярные величины. Поскольку любое экстенсивное свойство является однородной функцией первого порядка от независимых переменных 1, П2,. .., л, то согласно теореме Эйлера, можно записать [c.21]

Легко заметить, что термодинамические потенциалы ( 7, Я, Р и О) являются линейными однородными функциями соответствующих экстенсивных величин (5, V, п. ....п ). Применяя к ним теорему Эйлера О б однородных функциях, получим интегральные вы- [c.153]

Сродство — однородная функция нулевого порядка по переменным Пи. . ., Пк. Следовательно, согласно теореме Эйлера [c.175]

Особенность экстенсивных свойств состоит в том, что при увеличении пли уменьшенни в равной степени количеств всех компонентов смеси значение свойства смеси изменяется в той же степени. Так, при постоянных р, Т п составе смеси 10 молей раствора до гжны иметь вдесятеро большие объем, вес, энтальпию и т. д., чем 1 моль. Следовательно, экстеиспвные свойства О можно при постоянных давлении и температуре считать однородными функциями масс отдельных компонентов системы первой степенп и применить к ним теорему Эйлера. [c.29]

Если Р (X, у) и ( г, у) — однородные функции от и у одной и той же степени, то уравнение Я i/i4-(Э [c.110]

В термодинамике обычно встречаются функции первого (экстенсивные величины) и нулевого (интенсивные величины) порядков. Рассмотрение однородных функций нулевого порядка особого интереса не представляет, поэтому офаничимся анализом свойств однородных функций первого порядка, к которым относятся, например, С, V 1 др. [c.139]

Наряду с переменными и, в термодинамических функциях присуп -ствуют также температура и давление, поскольку среди всех наборов стандартных переменных только они являются интенсивными величинами. Например, объем системы при постоянных температуре и давлении является однородной функцией первого порядка относительно количества отдельных компонентов. Следовательно, [c.140]

Полная поверхностная энергия слоя на основании (XIII.87) и (XIII.88) является однородной функцией первой степени факторов емкости 5 , и п р. Следовательно, мы можем записать [c.346]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология