Приложение А. Математические понятия

Изучение отдельных глав книги рекомендуется проводить в два этапа. При первом чтении создается общее представление о содержании главы и выясняются ее трудные места. При повторном изучении темы усваиваются сущность вопроса, теоретические положения, их приложения, математические зависимости, уравнения химических реакций. Подавляющее большинство людей легче усваивает прочитанное, если параллельно с чтением книги ведут конспект. Работа над конспектом способствует сосредоточенности внимания, помогает пониманию прочитанного и является средством самоконтроля. Лучшая форма конспектирования учебника — тезисная. Тезис, сформулированный студентами на основе изучения учебника, передает не только содержание книги, но и отношение читающего к изучаемому материалу. Прежде чем записать мысль, необходимо обдумать ее формулировку и выразить ее своими словами. Однако наиболее важные положения и определения целесообразно приводить в виде выписок и цитат. Необходимо заносить в конспекты основные законы и понятия химии, формулы и уравнения реакций, математические зависимости, незнакомые термины и названия. Облегчает усвоение материала, составление графиков, схем и таблиц на основе прочитанного раздела книги. [c.4]

Поскольку предполагается, что основными читателями будут старшие школьники и студенты младших курсов, в приложении приводятся некоторые математические понятия и формулы, не входящие в школьный курс, но содержащиеся в данной книге. [c.8]

Характерно для физической химии широкое использование математики. Математика оказала большую помощь в исследовании явлений природы кроме того, она дает возможность наиболее точно выразить найденные соотношения между явлениями. Изучающий физическую химию постепенно все более и более убеждается в полезности применения математики. В конце книги, в приложении (стр. 749), помещен краткий обзор основных математических понятий и приемов, используемых нами там же сведены наиболее важные уравнения, на которые придется ссылаться. Мы считаем необходимым, чтобы каждый, кто приступает к изучению физической химии по нашей книге, проверил с помощью этого приложения свои сведения по математике, а во всех трудных и неясных случаях обращался к математическим руководствам. [c.15]

Математической основой теории симметрии является теория групп, детальное рассмотрение которой выходит за пределы задач, поставленных в настоящей книге. В данной главе будут представлены лишь некоторые главные понятия, используемые в последующих разделах, нашедшие широкое приложение в структурной химии. [c.184]

Формализация информационных связей математических моделей управления ВХС представляет собой абстрагированное изложение, которое удобно использовать в конкретных приложениях. Так, например, в части III настоящей монографии вводимые здесь понятия применяются для исследования взаимодействия различных моделей выбора водоохранных мероприятий в регионе. Прежде чем переходить непосредственно к указанной формализации, необходимо подробнее проанализировать приемы, применяемые при эвристической декомпозиции комплексной проблемы планирования развития водохозяйственной и водоохранной деятельности. [c.50]

Механика разрушения является основой инженерных методов расчета прочности деталей и конструкций, находящихся в сложно-напряженном состоянии. Математическая теория трещин позволяет рассчитать напряжения вблизи микротрещин. В то же время механический подход оставляет в стороне физические атомно-молекулярные механизмы разрушения и физическую кинетику разрушения в целом. Кинетическая концепция исходит из термофлуктуационного механизма разрушения, общего для всех твердых тел. Суть механизма заключается в том, что химические и межмолекулярные связи в полимере разрываются в результате локальных тепловых флуктуаций, а приложенное напряжение увеличивает вероятность разрыва связей. Современная термофлуктуационная теория прочности полимеров объединяет оба подхода и вводит понятие о безопасном и критическом напряжении. [c.189]

Обычно кинетическое уравнение рассматривается для описания эволюции систем с малой плотностью частиц. В этом случае онО может быть выведено из микроскопических представлений (см. Приложение Б). Для систем с большой плотностью частиц, в которых каждая из частиц все время взаимодействует с другими частицами,, т. е. когда само понятие столкновение теряет смысл, вывод кинетического уравнения математически весьма сложен, поэтому кинетическое уравнение постулируется. Правой части кинетического уравнения, являюш ейся аналогом интеграла столкновений для системы частиц с ма лой плотностью, ча,сто можно придать относительно простой вид. Это удается сделать, например, если эволюции состояний системы может быть представлена как случайный, или стохастический процесс. [c.23]

Подробное изложение теории резонанса сопряжено с известными трудностями. С одной стороны, наиболее интересные и наиболее существенные приложения этой теории относятся к области органической химии, и поэтому ее следовало бы излагать, пользуясь понятиями, наиболее привычными для химиков-органиков. С другой стороны, основы этой теории надо искать в математических недрах квантовой механики, и поэтому изложить теорию полно и строго можно только на математическом языке. Приходится искать какой-то рабочий компромисс. Поскольку автор сам интересовался резонансом с точки зрения химика-органика, окончательный выбор был в значительной степени ближе к качественному, описательному подходу. Но опыт показал, что при попытке полностью игнорировать физические основания теории удается избежать лишь немногих трудностей, а создается гораздо боль- [c.8]

Изложение не отличается математической строгостью. Читатель, желающий ознакомиться с достаточно строгим, но в то же время не оторванным от приложений описанием используемых в книге понятий теории случайных процессов, может обратиться к известной монографии Б. Р. Левина Теоретические осно- [c.5]

Эти задачи обсуждались в переписке двух великих ученых Б. Паскаля и П. Ферма (1601 —1665) и послужили поводом для первоначального введения такого важного понятия, как математическое ожидание , и попыток формулирования основных теорем сложения и произведения вероятностей. Вскоре для. теории вероятностей были определены важные практические приложения страхование, демография и т. д. Настоящую научную основу теории вероятностей заложил великий математик Якоб Бернулли (1654—1705). Открытый им знаменитый закон больших чисел дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта. Дальнейшие успехи теории вероятностей связаны прежде всего с именами ученых А. Муавра (1667—1754), П. Лапласа (1749—1827), К. Гаусса (1777—1855), С. Пуассона (1781 —1840) и др. [c.7]

Обратимся теперь к третьему элементу—функциональной зависимости между случайными величинами, которые образуют случайный процесс, используемый в качестве модели флуктуаций среды. Об этом кратко и на весьма эвристическом уровне уже упоминалось в разд. 1.5. Мы обратили там внимание читателя на существующее в широком классе приложений резкое разграничение временных масштабов, а именно на то, что состояние среды изменяется во много раз быстрее, чем макроскопическое состояние системы. Столь сильное различие временных масштабов привело нас к рассмотрению случайных процессов с чрезвычайно короткой памятью, после чего мы весьма естественно перешли к понятию белого шума — полностью случайного процесса, принимающего при любых 1 независимые значения. Наше обсуждение поневоле было чисто качественным и весьма беглым, поскольку довольно скоро выяснилось, что оно затрагивает довольно тонкие вопросы. Было подчеркнуто, что наивный подход чреват немалыми опасностями и что с белым шумом следует обращаться с должным почтением к его необычным свойствам. В этой главе мы приступаем к созданию того математического аппарата, который понадобится нам, чтобы [c.81]

При самопроизвольном процессе и не изменяется каким-либо характерным образом и поэтому не имеет основного значения при установлении второго закона. Основной функцией при развитии второго закона является энтропия (в соединении, конечно, с понятием абсолютной температуры, от которой зависит ее определение), и наиболее целесообразно рассматривать ее как математическую величину, значительно упрощающую количественное развитие и приложение второго закона. [c.111]

Цель этого приложения — дать общее представление о ма-тематических понятиях, используемых в основном тексте книги. Мы не стремимся ни к математической строгости, ни к полноте изложения. Опущенные доказательства и многие дополнительные вопросы заинтересованный читатель может найти в любом курсе математики. Примеры призваны облегчить понимание вводимых понятий и должны рассматриваться именно под этим углом зрения. [c.537]

В восьми главах книги рассмотрение ведется только на примере переноса тепла. Однако как физические, так и математические аспекты данного вопроса гораздо шире. Поэтому, чтобы показать другие возможности метода, в книге дается приложение. Показано применение вариационного подхода в таких областях физики, как массообмен и термодинамика необратимых процессов. Приводится иллюстрация применения метода Лагранжа к анализу задачи термоупругости. Очевидна также возможность применения данного метода к вязким жидкостям при использовании классической диссипативной функции Релея. Аналогичные методы можно применять также для описания электромагнитных явлений. Показаны более широкие математические возможности анализа, основанного на понятии скалярного произведения. Данное понятие представляет собой эффективное средство преобразования в функциональном пространстве. Оно включает такие методы, как преобразование линейных дифференциальных уравнений в нелинейные с помощью координат типа глубины проникновения. Такое рассмотрение дает возможность свести в единую систему различные методы, известные в прикладной математике под разными названиями. Кроме того, существование порога разрешения в физических задачах позволяет дать более реалистическое определение понятия полноты для обобщенных координат, которое учитывает дискретный характер вещества в противоположность математической модели континуума. [c.22]

Основные термины и понятия теории вероятностей и математической статистики, используемые в справочнике, приведены в приложениях 1 и 2. [c.7]

Хотя формальное описание в теории ХФ ясно показывает, что понятие МО имеет вариационную природу, в вопросах применения МО к химическим задачам как с математической, так и с теоретической точек зрения бывает весьма полезен язык теории возмущений. Удачный пример такого рода дают упомянутые в предыдущей главе работы Фукуи, Дьюара и др., наметившие пути приложения метода МО к органической химии. [c.430]

Наука механика отличается очевидностью, чуть ли не обыденностью своих исходных понятий и подкупающей простотой формулировок основных законов. Представляется, что усвоение механики и успешное приложение ее положений к практике не так уж сложно и доступно многим. Собственно, так и обстоит дело, если иметь в виду самые простейшие случаи объяснения посредством законов механики явлений природы и принципов функционирования машин. Однако уже при небольшом усложнении решение задач механики сопровождается значительными затруднениями, в числе которых математические препятствия далеко не всегда самые главные. [c.5]

Для математической формализации поставленной задачи воспользуемся подходами, применяемыми при анализе устойчивости откосов и склонов в механике грунтов [143, 148, 149]. В Приложении 7 представлены некоторые, необходимые для дальнейшего изложения материала данного Раздела, базовые понятия и оценки механики грунтов на примере известных решений двух модельных задач о предельном равновесии откосов идеальных грунтов [148]. Учитывая то, что на протяженных трассах МТ встречаются типы грунтов с существенно различающимися свойствами [137, 138] - от слабосвязанных песчаных до твердых глинистых грунтов, рассмотрим сначала возможные конфигурации засыпок траншеи с трубой в предельных случаях. [c.328]

Математическая теория горения имеет дело с комбинацией уравнений химической кинетики, с одной стороны, теплопроводности и диффузир — с другой. Скорость реакции всегда зависит от температуры существенно нелинейным образом (обычно по закону Аррениуса). Эта нелинейность является важнейшей характерной особенностью явлений горения без нее исчезают критические условия и теряет смысл самое понятие горения. Отсюда следует, что в отличие от многих других разделов прикладной физики, в теории горения полная линеаризация уравнений недопустима. Теория горения имеет дело с дифференциальными уравнениями, в которые искомая функция (температура) входит существенно нелинейным образом, но ее производные входят линейно. Такие уравнения в математике называются квазилинейными. Общие сведения о квазилинейных уравнениях и их приложениях можно найти в обзоре Гельфанда [52]. Один из разделов этого обзора, составленный Баренблатом, содержит прекрасное изложение основ теории горения с чисто математической точки зрения. [c.284]

Эта замена понятия свободной энергии единицы поверхности гипотетическим поверхностным натяжением является противоположностью применения математического метода принципа возможных перемещений в статике, где вычисления зачастую упрощаются путём рассмотрения изменений энергий при малом перемещении системы и приравнивания суммы этих изменений нулю для получения условия равновесия. В системах, состоящих из поверхностей жидкостей, условия равновесия могут быть получены путём сложения приращений свободной энергии этих поверхностей при изменении их площадей гораздо проще, однако, игнорировать эти изменения площадей и исходить из представления о том, что каждая из поверхностей оказывает некоторое поверхностное натяжение , приложенное к их границам, так как равновесие натяжений обычно самоочевидно. При рассмотрении тех свойств поверхностей, которые связаны исключительно с существованием свободной поверхностной энергии, можно всегда пользоваться понятием поверхностного натяжения. Неотъемлемым свойством поверхностей является свободная поверхностная энергия, обусловленная втягиванием молекул с поверхности. Поверхностное же натяжение представляет собой лишь математиче ское понятие, эквивалентное поверхностной энергии. [c.13]

Нан1и определения функций автокорреляции и взаимной кор- нмяцни очень близко соответствуют понятиям дисперсии и к о в а р и а ц и и из математической статистики. Как будет пока апо в разделе 5.1.1, дисперсия является мерой энергии, и приложениях она часто так и используется. Аналогично будет показано, что ковариация является мерой энергии взаимных функций. [c.93]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология